北京市第四十三中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题

PAGEPAGE15北京市第四十三中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题试卷满分：150分考试时间：120分钟一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，则=()A． B． C． D．2．若，，则是()A．第四象限角 B．第三象限角 C．其次象限角 D．第一象限角3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A． B． C． D．4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（）A． B． C． D．5.，两点之间的距离为（）A.B.C.D.6．已知向量,且,那么（）A． B． C． D．7．圆的圆心到直线的距离为（）A．2 B． C．1 D．8．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若则 B．若则C．若则 D．若则9.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（）A．36B.C.18D.10.如图,在边长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满意B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A.B.2C.D.3二．填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题纸上）11.已知，，则12.过点（1，0）且与直线平行的直线方程是13.直线的倾斜角为,x轴上截距为14.在中，，则______，的面积为_______.15.已知直线与圆交于两点，若，则____.16.已知点P是直线上的一点，过P作圆的切线，切点为A，则切线长的最小值为_____.三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）BACA1C1B1D17BACA1C1B1D（Ⅰ）求证：平面；【6分】（Ⅱ）求证：平面.【7分】班级班级学号姓名_________________成果装订线内不要答题18.（本题12分）在钝角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（Ⅰ）求的大小；【4分】（Ⅱ）求边和的面积．【8分】19．（本题10分）已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线．（Ⅰ）求直线的方程．【6分】（Ⅱ）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【4分】EBCADP20.（本题15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，,为棱的中点.EBCADP（Ⅰ）求证；【4分】（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；【7分】（Ⅲ）求点A到平面PBD的距离。【4分】21.（本题15分）已知圆C：，直线过定点．（Ⅰ）若直线与圆C相切，求直线的方程；【5分】（Ⅱ）若直线与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．【10分】22.（本题15分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：∥平面；【5分】（Ⅱ）求证：∥平面；【5分】（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得平面平面？说明理由．【5分】参考答案一。选择题1.C2.B3.D4.B5.C6.A7.B8.D9.B10.D二。填空题11.12.13.；14.；15.16.三。解答题17.(Ⅰ)证明：因为正三棱柱，为的中点，所以，底面.…1分又因为底面，所以.…3分又因为，平面，平面，所以平面.…6分(Ⅱ)证明：如图，连接，设，连接，…7分BACA1C1BACA1C1B1DO又因为在中，，所以，…10分又因为平面，平面，所以平面.…13分18【答案】（1）（2），【详解】：（1）因为，所以。。。。。4分（2）因为所以得即所以因为三角形是钝角三角形，所以舍去所以………12分错解：（2）没有留意到三角形是钝角三角形，检验cosA<0得到两组解所以19．答案：（1）（2）1【详解】（），解得，则点的坐标为．由于点的坐标是，且所求直线与直线垂直，可设所求直线的方程为．将点坐标代入得，解得．故所求直线的方程为．.。。。。。。。。。。。。6分（）由直线的方程知它在轴，轴上的截距分别是，，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积．。。。。。。。。。。。10分20【答案】（Ⅰ）证明：因为底面，所以．因为，所以.由于，所以有．…４分（Ⅱ）解：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设，可得，，，.zyxEBCDAP由zyxEBCDAP向量,.设为平面的法向量，则即．不妨令，可得（1,1,1）为平面的一个法向量.所以.所以，直线与平面所成角的正弦值为.…11分（Ⅲ）解：…15分21．【答案】（1）或【分析】（1）通过直线的斜率存在与不存在两种状况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解直线的方程；（2）设直线方程为，求出圆心到直线的距离、求得弦长，得到的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到直线的方程.【详解】（1）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x＝1，符合题意.。。。。。2分②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，解之得.所求直线l1的方程是或.。。。。。。。。。。。5分(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,设直线方程为，则圆心到直线l1的距离又∵△CPQ的面积＝∴当d＝时，S取得最大值2.∴＝∴k＝1或k＝7所求直线l1方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0..。。。。。。。15分【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦长公式，以及三角形的面积公式和二次函数的性质等学问点的综合考查，其中熟记直线与圆的位置关系的应用，合理精确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力，属于中档试题.22.解：（Ⅰ）在三棱柱中，因为侧棱垂直于底面，所以平面．所以．因为，，所以平面．因为平面，所以．………5分（Ⅱ）取中点，连结，．则∥，且，又因为∥，且，所以∥，且．所以四边形为平行四边形．所以∥．又平面，平面，所以∥平面．………10分（Ⅲ）在棱上存在点，且为的中点．连接．在正方形中，因为为中点，所以△≌△．所以．所以．