福建省福州市福建师大附中2024-2025学年高一数学上学期期末考试试题含解析

PAGE20-福建省福州市福建师大附中2024-2025学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）1.方程的解为，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，∵,.∴函数区间上有零点．∴．选C．2.如图，若，，，是线段靠近点的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算即可求出答案.【详解】.故选C.【点睛】本题考查的学问要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算实力和转化实力，属于基础题型．3.有一组试验数据如图所示：则最能体现这组数据关系的函数模型是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将的数据代入依次验证各模型对应的值，解除偏差较大的选项即可得到结果.【详解】当时，，，，当时，，，，可知模型偏差较大，可解除；当时，，当时，，可知模型偏差较模型偏差大，可解除，选择故选：【点睛】本题考查依据数据选择函数模型，关键是能够通过验证得到拟合度最高的模型，属于基础题.4.已知是不共线的向量，，若三点共线，则满意（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据平面对量的共线定理即可求解．【详解】由三点共线，则、共线，所以存在不为零的实数，使得即，又因为是不共线的向量，所以，消解得故选D【点睛】本题考查平面对量的共线定理，需驾驭共线定理的内容，属于基础题．5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中卷一《方田》记载：“今有宛田，下周八步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长8步，其所在圆的直径是4步，则这块田的面积是（）A.平方步 B.平方步 C.平方步 D.平方步【答案】A【解析】【分析】利用扇形面积计算公式即可得出．【详解】∵弧长8步，其所在圆的直径是4步，∴由题意可得：S2×8＝8（平方步），故选A．【点睛】本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．6.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】视察所给式子是二次齐次式，因此可以用“1的代换“，整式除以，再进行化简．【详解】解：，将，代入得，原式．故选：A．【点睛】本题考查三角函数化简求值，考查计算实力，是基础题．7.2011年12月,某人的工资纳税额是元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为()注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去(起征点)后的余额.A.7000元 B.7500元 C.6600元 D.5950元【答案】A【解析】【分析】依据不超过部分的纳税总额可确定月收入必超过元；利用比例关系可计算出月收入超过的额度，进而得到所求月收入.【详解】该人的月收入必超过元该人月收入为元故选：【点睛】本题考查依据给定模型解决实际问题，关键是明确所给的数据表实际体现了分段函数的特点，采纳分段的方式依次求解即可.8.若在上的值域为，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由值域可确定；利用的范围可确定的范围，结合值域和正弦函数图象可确定的值，进而求得结果.【详解】当时，的值域为，解得：故选：【点睛】本题考查依据正弦型函数的值域求解参数值的问题，关键是能够采纳整体对应的方式，利用正弦函数的图象得到角的整体对应的值.9.函数在区间（，）内的图象是()A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=分段画出函数图象如D图示，故选D．10.为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若，则是（）A.以AB为底面的等腰三角形B.以BC为底面的等腰三角形C.以AB为斜边的直角三角形D.以BC为斜边的直角三角形【答案】B【解析】试题分析：依据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算．因此可知，所以可知为故有，因此可知b=c，说明白是一个以BC为底边的等腰三角形，故选B.考点：本试题主要考查了向量的数量积的运用．点评：解决该试题的关键是利用向量的加减法敏捷的变形，得到长度b=c，然后分析得到形态，留意多个变量，向一组基向量的变形技巧，属于中档题．11.若函数在区间上存在最小值,则非零实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先依据的范围求出的范围,依据函数在区间上存在最小值,然后对大于0和小于0两种状况探讨最值,即可求得非零实数的取值范围.【详解】函数在区间①当时,函数在区间上存在最小值可得:②当时,函数在区间上存在最小值可得:综上所述,非零实数的取值范围是:.故选:C.【点睛】本题考查了正弦函数在某区间上取最值时,求非零实数的取值范围.解题关键是能够驾驭正弦函数图像性质,数学结合.12.已知是函数在上的全部零点之和，则的值为（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以函数零点有偶数个，两两关于对称.当时，，且单调递减；，且在上有两个周期，因此当时，与有4个不同的交点；从而全部零点之和为，选C.点睛：对于确定方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知向量、的夹角为，，，若，则实数的值为___________.【答案】【解析】【详解】由题意可得：，且，则：，据此有：，解得：.14.设函数，若对随意的实数都成立，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】依据题意取最大值，依据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.【详解】因为对随意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，取最小值为.【点睛】函数的性质（1）.（2）周期（3）由求对称轴，最大值对应自变量满意，最小值对应自变量满意，（4）由求增区间；由求减区间.15.如图，已知的边的垂直平分线交于点，交于点.若，则的值为.【答案】-16【解析】【详解】试题分析：考点：向量数量积16.函数（）的图像与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为，，，，，，在点列中存在三个不同的点、、，使得△是等腰直角三角形，将满意上述条件的值从小到大组成的数记为，则________.【答案】【解析】【分析】由可求得的横坐标，进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面对量数量积为零，进而求得的通项公式，代入即可得到结果.【详解】由，得：，，，，，……若为等腰直角三角形，则解得：，即同理若为等腰直角三角形，则同理若为等腰直角三角形，则以此类推，可得：故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够依据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面对量数量积为零，构造方程求得结果.三、解答题（要求写出过程，共70分）17.按要求完成下列各题（1）已知，求的值；（2）解不等式：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式可知，依据同角三角函数关系可求得结果；（2）将不等式变为，结合正切函数图象可确定的范围，进而求得解集.【详解】（1）（2）由得：，，不等式的解集为【点睛】本题考查三角函数值求解、依据三角函数值域求解自变量的取值范围的问题，涉及到诱导公式和同角三角函数关系的应用；本题中求解三角不等式的关键是能够结合正切函数图象确定角整体所处的范围.18.已知，，是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求的坐标；（2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解；（2）由向量数量积的坐标运算即可，特殊要留意向量与不能共线.【详解】解：（1）因为，且，则，又，所以，即，故或；（2）由，则，由，解得，又与不共线，则，解得，故与的夹角为锐角时，实数的取值范围为：.【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算，重点考查了运算实力，属基础题.19.函数的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(Ⅰ)求函数的解析式和当时的单调减区间；(Ⅱ)的图象向右平行移动个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到的图象,用“五点法”作出在内的大致图象.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)图象见解析.【解析】分析】(Ⅰ)由函数的最大值为,可求得的值，由图象相邻两条对称轴之间的距离为可求得周期，从而确定的值，然后利用正弦函数的单调性解不式可得单调减区间，取特殊值即可得结果；(Ⅱ)利用函数图象的平移变换法则，可得到的解析式，列表、描点、作图即可得结果.【详解】(Ⅰ)∵函数f(x)的最大值是3,∴A+1=3即A=2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,∴最小正周期T=π,∴ω=2.所以f(x)=2sin(2x-)+1令+2kπ≤2x−≤+2kπ,kZ,即+kπ≤x≤+kπ,kZ,∵x[0,π],∴f(x)的单调减区间为[,].(Ⅱ)依题意得g(x)=f(x-)-1=2sin(2x-),列表得：描点连线得g(x)在[0,π]内的大致图象.【点睛】本题主要考查三角函数的解析式、单调性、三角函数的图象变换及“五点法”作图，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1)代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或依据复合函数的单调性规律进行求解；(2)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.20.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线段表示.（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天.）【答案】（1）；；（2）从2月1日起先的第50天时，上市的西红柿纯收益最大【解析】【分析】（1）依据函数图象可知为分段函数，每一段均为依次函数；为二次函数；由函数图象所过点即可求得函数解析式；（2）令，得到函数解析式，纯收益最大即为最大；分别在和两种状况下，结合二次函数性质确定最大值点和最大值，综合可得最终结论.【详解】（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为（2）设时刻的纯收益为，则即当时，配方得到当时，取得区间上的最大值为；当时，配方整理得到：当时，取得区间上的最大值为综上所述，在区间上的最大值为，此时即从月日起先的第天时，上市的西红柿纯收益最大【点睛】本题考查依据函数图象求函数解析式、利用函数模型求解实际问题，涉及到二次函数最值的求解问题；关键是能够精确的构造出函数模型，利用函数的思想来解决问题.21.如图，为的中线的中点，过点的直线分别交两边于点，设，恳求出的关系式，并记（1）求函数的表达式；（2）设的面积为，的面积为，且，求实数的取值范围．（参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半．）【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用表示可知；由三点共线可知，由此得到，从而构造方程消掉变量即可得到所求函数表达式；（2）设，则，由（1）中结论可表示为关于的函数；利用，结合换元法可将问题转化为对号函数值域的求解问题，通过参数的范围，结合对号函数单调性可确定最值，进而得到所求范围.【详解】（1）为的中点，为的中点又三点共线，故，消去得：当与重合时，，此时（2）设的面积为则面积令，则，当时，；当或时，【点睛】本题考查平面对量基本定理的应用、函数解析式和值域的求解问题；涉及到平面对量基本定理的应用、对号函数的性质的应用等学问；易错点是在求解函数解析式时，忽视自变量的范围限制，造成求解错误.22.定义在上的函数，若已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为；当，函数取得最小值为．（1）求出此函数的解析式；（2）若将函数的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为，求满意条件的的最小值；（3）是否存在实数，满意不等式？若存在，求出的范围（或值），若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，【解析】【分析】（1）利用最大值和最小值确定和，进而得到；利用可求得的取值，进而得到所求函数解析式；（2）由图象平移和伸缩变换原则得到，由与函数的单调性可知只有当，同时取得时，函数取最大值，由此可得到，依据得到最终结果；（3）由偶次根式被开方数大