高考数学一轮复习 10.1 分类计数原理与分布计数原理 理 苏教版

10.1分类计数原理与分布计数原理一、填空题1.有四位老师在同一年级的4个班级中,各教一个班的数学,在数学考试时,要求每位老师均不在本班监考,则安排监考的方法总数是________种．解析由分步乘法计数原理知监考方法总数为.答案92.如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有种．解析依题意用三种颜色为五个顶点染色，可将五个顶点分成三组，模型为2、2、1，则共有=30种不同的染色方法．答案303．如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有________种．解析从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480种．答案4804．4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有________种．解析分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲．共有Ceq\o\al(2,4)种不同选法，第二步给第3位同学选课程，有2种选法．第三步给第4位同学选课程，也有2种不同选法．故共有Ceq\o\al(2,4)×2×2＝24(种)．答案245．从a、b、c、d、e五人中选1名班长，1名副班长，1名学习委员，1名纪律委员，1名文娱委员，但a不能当班长，b不能当副班长．不同选法总数为________种．解析第1类，a当副班长，共有A44种选法；第2类，a当委员，共有C31C31·A3∴不同选法共有A44＋C31C31·A3答案786．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有________种．解析报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)．获得冠军的可能情况有5×5×5×5＝54(种)．答案45547．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有________种．解析如图，甲传给乙时有5种情况；同理，甲传给丙也可以推出5种情况，综上有10种传法．答案108．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是________．解析长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12个，共36＋12＝48个．答案489．将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1＜N2＜N3的所有排列的个数是________．(用数字作答)解析由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)＝4，由分步计数原理满足条件的排列个数是240.答案24010.数字1,2,3，…，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有________种．4解析必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法．对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有22×3＝12种填法．答案1211．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有________场比赛．解析小组赛共有2Ceq\o\al(2,4)场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4场比赛；根据分类计数原理共有2Ceq\o\al(2,4)＋4＝16场比赛．答案1612．从集合U＝{a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1)∅，U都要选出；(2)对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或A⊇B.那么，共有________种不同的选法．解析将选法分成两类．第一类：其中一个是单元素集合，则另一集合为两个或三个元素且含有单元素集合中的元素，有Ceq\o\al(1,4)×6＝24(种)．第二类：其中一个是两个元素集合，则另一个是含有这两个元素的三元素集合，有Ceq\o\al(2,4)×2＝12(种)．综上共有24＋12＝36(种)．答案3613．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有________种．解析如图所示，在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，共有3种不同选法．每种选法中又有2×2×2×2＝16(种)不同路线．∴共有3×16＝48(种)不同的参观路线．答案48二、解答题14．如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有多少种？解析先涂A、D、E三个点，共有4×3×2＝24种涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法；另一类是B与E或D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264(种)．15．如图所示三组平行线分别有m、n、k条，在此图形中(1)共有多少个三角形？(2)共有多少个平行四边形？解析(1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形．(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成Ceq\o\al(2,m)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(2,n)Ceq\o\al(2,k)＋Ceq\o\al(2,k)Ceq\o\al(2,m)个平行四边形．16．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？解析可将星期一、二、三、四、五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人．星期一：可分给5人中的任何一人有5种分法；星期二：可分给剩余4人中的任何一人有4种分法；星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人有4种分法；同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有5×4×4×4×4＝1280种不同的排法．17.中央电视台“开心辞典”节目的现场观众来自四个不同的单位，分别在右图中的A、B、C、D四个区域落座．现有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同色服装，且相邻区域不能同色，不相邻区域是否同色不受限制，则不同的着装方法共有多少种？解析当A、B、C、D四个区域的观众服装颜色全不相同时，有4×3×2×1=24种不同的方法；当A区与C区同色，B区和D区不同色且不与A、C同色时，或B区、D区同色，A区、C区不同色且不与B、D同色时，有2×4×3×2=48种不同的方法；当A区与C区同色，B区与D区也同色且不与A、C同色时，有4×3=12种不同的方法．由分类计数原理知共有24+48+12=84种不同的着装方法．18．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？(2)若B中的元素0无原象，这样的f有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？解析(1)显然对应是一一对应的，即a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．(2)0无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有34＝81(个)．(3)分为如下四类：第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有Ceq\