数学建模武广高铁

B题24-承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：三峡大学参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2011年5月13日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：中国修建高铁的利弊摘要本文是一个对中国修建高铁的利弊定量评估问题，首先我们收集了与武广（武汉与广东，以下同）高铁的有关数据，如武广高铁修建以来的客流量，武广之间各种交通方式（本文只列举飞机、汽车、普速列车）从０７年开始的的客流量等，并用灰色预测对相应的数据进行了预处理，然后我们从在武广之间个人选择最佳的出行方式的角度研究，从而对比四种运输工具的利弊和从武广高铁开通以来对广东、湖南湖北的旅游生产总值的影响的角度，从而得出武广高铁给中国经济效益所带的影响进行了研究。最后通过对武广高铁两方面的研究从而反映出中国修建高铁的利弊问题。第一步：我们从在武广之间个人选择最佳的出行方式的角度研究武广高铁的利弊问题。从武汉到广州，我们从票价，时间，舒适度，环保四个方面对人们选择交通工具（飞机，高铁，普铁，汽车）的影响进行层次分析法(AnalyticHierarchyProcess简称AHP)求解。结果表示如下：飞机高铁普铁汽车选择时对四准则的考虑权重0.966367650.464460720.667900480.89319378考虑权重小的，优先选择。第二步：我们从武广高铁开通以来对广东、湖南湖北的旅游生产总值的影响的角度来研究武广高铁带来的经济效益。根据武广之间各种交通方式从０７年开始的的客流量和广东、湖南湖北的旅游生产总值数据，运用多项式差值拟合得出高铁对其他运输工具客流量的冲击；结果如下表：没修建高铁的客流量（万人）修建高铁的客流量（万人）普列飞机汽车普列飞机汽车2010年3450195971.92200125033.62011年47002409832331135735.38然后通过分析客流量和旅游生产总值之间的关系分析出武广高铁给中国带来的经济效益。2010年武广高铁所产生的经济效益为：1354.6亿元。关键词：层次分析模型灰色预测多项式差值拟合一元线性回归分析法问题重述

1.1问题背景中国这几年高铁发展很快，武汉至广州的高铁已经在2009年12月26日开通，武汉到广州的旅行时间将由原来的约10小时缩短到3小时。然而一些百姓担心，武广线原有的普速列车是否停掉？汽车运输和飞机运输等是否受到影响？百姓会不会“被高速”——被迫承受高铁的高票价？宜昌至武汉的高铁预计2012年建成通车。请你收集某一段高铁（如武汉至广州，宜昌至武汉等）的数据，建立数学模型，定量评估中国修建高铁的利弊。1.2需要解决的问题武广普速会不会被停掉？汽车，飞机运输会不会受到影响？百姓会不会被高速中国修建高铁的利弊2.模型假设假设从武汉到广州各交通工具行驶路程相同。百姓对于交通工具的选择主要是取决于最佳方式（综合于票价，舒适度，时间，环保）。下图是上网找到的飞机，高铁，普速，汽车的一些简单数据，假设他们在一定的时间内是稳定的。3.符号说明武广间选择的交通工具即目标分别代表票价，时间，舒适度，环保4个准则分别代表飞机，高铁，普铁，汽车4个供选择的交通工具即方案第2层各准则对第1层目标的权向量分别各方案对每一准则的权向量层数4.问题分析本题的四个问题其实就是可以简化成为一个问题，就是高铁对于社会的影响（社会包括百姓及各个产业），这就要求我们定量评估中国修建高铁的利弊，于是我们决定考虑从以下两方面进行探究。4.1对比得出从武汉到广州高铁对人们选择的交通工具的影响力现在从武汉到广州人们可选择的交通工具有飞机，高铁，普铁，汽车（部分）。我们通过比较人们在同等条件下选择某一交通工具时对票价，时间，舒适度，环保4个方面的考虑程度得到第一选择交通工具。4.2对比得出从武汉到广州高铁对中国产生的经济效益的影响力通过对07到09年三年内武广的飞机、汽车、普速列车客流量的分析，然后通过多项式差值拟合的方法可以得出如果未修建高铁，武广10到11年内飞机、汽车、普速列车的客流量。由此可以得出高铁对其它运输工具的冲击影响。然后我们在通过分析武广间运输工具的客流量与广东、湖南和湖北的旅游生产总值之间的关系，分析出武广高铁对广东、湖南和湖北所带来的经济效益。5.数据收集与分析5.1数据收集从武汉到广州四种交通工具参考时间，票价武汉至广州运行时间里程（公里）时速（公里/时）参考票价（元）高铁1小时49分钟1069588公里/时一等座780二等座490飞机1小时37分钟873540公里/时经济舱930头等舱1400汽车13小时1023.779公里/时320普速列车11小时24分钟106994公里/时硬座140硬卧下257软卧下445（表1如上从武汉到广州四种交通工具参考时间，票价）07年08年09年10年飞机（万人）840130016001250汽车（万人）45.65462.433.6普速（万人）1500185025002200（表207到09年武汉到广州三年飞机、汽车、普速列车的客流量）07年08年09年10年旅游生产总值旅游生产总值旅游生产总值旅游生产总值广东2077.52334.72708.53320.4（亿元）（亿元）（亿元）（亿元）湖南449.666910541643（亿元）（亿元）（亿元）（亿元）4506079541537湖北（亿元）（亿元）（亿元）（亿元）（表3如上07到10年内广东、湖南、湖北的旅游生产总值）1--34--67--910--121--3飞机288312316324330普速518533547554566汽车7.9648.0328.1248.2468.3504（表4如上2010年到2011年3月内三种运输工具的客流量）2010年1-3月2010年4-6月2010年7-9月2010年10-122011年1-3月武广高铁客流量（万）4946017029901320（表5武广高铁2011年3月以前的客流量）5.2数据处理5.2.1灰色预测模型的建立⑴原始数据，原始数据为2010年1月至2011年3月每三个月为一次数据点的高铁客流量数据（即）表示为0⑵计算生成序列，用GM(1,1)建模时，首先我们对原始数据作一次累加得到序列可以得到相应的的递增系列⑶得到模型的白化方程，首先对计算紧邻均值生成：接着我们根据GM(1,1)建模，写出灰色函数：根据最小二乘参数估计法估计参数矩阵再利用离散数据系列建立近似的微分方程模型，得到GM(1,1)的白化方程即：⑷白化方程的求解，得到预测值表达式，其白色方程的解为时间响应函数通过改变的值我们可以得出原始数据序列的预测值为：5.2.2灰色模型的预测在已知武广高铁2010年1月至2011年3月的客流量前提下，应用灰色预测对剩余9个月的客流量进行预测2010年1—3月2010年4—6月2010年7—9月2010年10-12月2011年1—3月2011年4—6月2011年7—9月2011年10-12月武广高铁客流量（万）4946017029901320170922622994（表6武广高铁2010-2011年间的客流量（粗体标注代表为预测值单位：万人））武广高铁2010-2011年间的客流量用图形表示如下：5.2.3模型的精度检验时间原始数据模拟值关联度相对误差２０１０１－３４９４４９４＝１．００５９２７=0.01032918932918４－６６０１５５７７－９７０２７３７１０－1２９９０９７６２０１１１－３１３２０１２９１４－６１６８９１７０９７－９２２２３２２６２１０－１２２９２６２９９４从表中可知，考虑其他人为因素的影响，故出现了一点误差，但是这都是在允许的误差范围内。6．模型一的建立与求解由横向影响力出发，从武汉到广州，我们从票价，时间，舒适度，环保四个方面对人们选择交通工具（飞机，高铁，普铁，汽车）的影响进行层次分析法(AnalyticHierarchyProcess简称AHP)求解。6.1模型一的准备6.1.1我们将决策问题分解为3个层次最上层为目标层，即从武汉到广州选择交通工具，最下层为方案层，有飞机，高铁，普铁，汽车4个供选择的交通工具，中间层为准则层，有票价，时间，舒适度，环保4个准则，再比较下层中两个具有不同性质的因素对上层因素的影响，从而建立层次结构模型。由于在定性的成对比较下层具有不同性质的因素对上层因素的影响时，相对尺度难以把握（人的主观选择占优），所以我们采用1—9尺度来定性的成对比较。6.1.2成对比较法简介AHP层次分析法的信息基础主要是人们对每一层次各因素的相对重要性给出的判断。在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有5种明显的等级即相对尺度。假设要比较某一层个因素,，，对上层一个因素的影响。每次取两个因素和，用表示和对的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵（也称正互反矩阵），，表示（）。用1—9尺度可以方便地表示。6.2建立层次结构模型方案层：准则层：目标层：武广间选择的交通工具时间舒适度方案层：准则层：目标层：武广间选择的交通工具时间舒适度票价是是事实环保飞机普铁汽车高铁6.3.构造判断矩阵6.3.1交通工具决策问题中比较第2层中,，，4个准则在选择交通工具（）这个目标中的重要性，其成对比较阵为（表示票价与时间对选择交通工具这个目标的重要性之比为）。6.3..2交通工具决策问题中比较第3层中，，，4个方案对第2层的每一个准则的成对比较阵，，，。6.4一致性检验为了检验矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标，定义（为阶判断矩阵最大特征根）。为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要将与平均随机一致性指标进行比较即为一致性比率，当时认为该判断矩阵的不一致程度在容许范围内，可用其特征向量作为权向量。6.5层次单排序计算判断矩阵的最大特征根和特征向量以求得下层所有因素对上层的权值

特征向量0.80720.47850.31100.15060.83260.44630.22310.24040.33130.11040.66260.66260.12140.08260.42360.89390.65080.17060.25910.69304.08754.010444.11174.04580.022920.002600.03720.01530.02550.002900.03630.0170（表7如上交通方式决策问题第2,3层的计算结果）说明：求关于的特征向量时，我们要求其元素都是非负数，实际上。由上表可得所有，故可用特征向量作为权向量。6.6层次总排序6.6.1利用同一层次中所有层次单排序的结果计算针对上一层次而言，本层次所有因素重要性的权值定义：各方案对目标的权向量为组合权向量。对方案，它在票价等4个准则中的权重用（）的第一个分量表示（表4-1中的第一行），而4个准则对于目标的权重又用权向量表示，所以方案在目标中的组合权重应为它们对应项的两两乘积之和，即:0.46446072:0.66790048:0.89319378组合权重大小排序为。则组合权向量6.6.2组合一致性检验定义：则第层对第1层的组合一致性比率为：。最后，当最下层对最上层的组合一致性比率时认为整个层次的比较判断通过一致性检验。在交通方式决策问题中，，，前面有，所以，即通过了组合一致性检验，组合权向量可以作为最终决策的依据。6.7模型一的结果分析由于的各元素是取得其绝对值，故比较组合权重时，应选取权重小的为第一选择。就可以通过层次分析法，可以得到的结果就是高铁为从武汉到广州的第一选择交通方具。下图是07年到11年前5月的客流量的折线图：我们通过以上分析，可以得知汽车运输和飞机运输等受到的影响。根据假设b）百姓对于交通工具的选择主要是取决于最佳方式（综合于票价，舒适度，时间，环保），我们可以很容易得到的结论就是，高铁会在其中有较大的影响，也可以很清楚的看出来，在于长距离的竞争上，高铁对于飞机运输的冲击力很小，而在短途运输上，全票的飞机票和高铁没有竞争力。当然高铁在一些偏远地区，或者不发达的地区短途运输上，不能和汽车运输相比。具体分析如下：500公里-600公里：高铁有颠覆性冲击力（对汽车、飞机分析）1000公里左右：民航会损失30%客源超过1500公里：对飞机影响很小7.模型二的建立与求解通过对07到09年三年内武广的飞机、汽车、普速列车客流量的分析，然后通过多项式差值拟合的方法可以得出如果未修建高铁，武广10到11年内飞机、汽车、普速列车的客流量。由此可以得出高铁对其它运输工具的冲击影响。然后我们在通过分析武广间运输工具的客流量与广东、湖南和湖北的旅游生产总值之间的关系，分析出武广高铁对广东、湖南和湖北所带来的经济效益。7.1模型二的建立模型二我们采用的是多项式插值拟合，通过知道根据观测点的值，构造一个比较简单的函数，使函数在观测点的值等于一个比较简单的函数，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值。故我们通过已知得到10至11年没有修建高铁所产生的客流量。我们又采用了一元线性回归分析法，通过掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式）。当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析。故我们通过建立回归方程式，来分析客流量与旅游生产总值之间的关系。从而得出武广高铁产生对湖南、湖北和广东所产生的经济效益影响。7.2模型二的求解依据07—09年间的飞机、汽车、普速列车的客流量随时间的变化如下图：依据总体的变化情况，可以看出，无论是普速列车、飞机还是汽车的客流量都随时间的增长而增长。而在整个时期内，不同指数曲线的变化规律呈现相同趋势，所以为了更好的研究高铁对其它运输工具的冲击，我们选择客流量较大的普速列车作为研究对象进行对比。我们这里设普列的客流量f（t）为时间t的函数，这里的时间t取07至09三年，我们用对所给出的数据进行插值拟合，我们这里选取多项式拟合，取07年为基础，记为1，单位为年，曲线呈直线变化，因此选择线性插值拟合=。拟合曲线为：=350t+1250.图为拟合数据同实际值之间的比较：依据拟合值与实际值的比较图可以看出，拟合函数曲线与实际的变化曲线基本上接近，但是由于数据较少，为了提高拟合的精度，可以适当提高拟合多项式的次数。所以，我们选取二次多项式进行拟合。拟合曲线为：=150-100t+1450.图为改进后的拟合数据同实际值之间的比较：通过分析拟合曲线的特性，可以对在没有高铁影响下的普速列车、飞机和汽车的客流量进行分析：对求导，即为三种运输工具客流量的变化率（单位时间内普速列车客流量的变化量）。它在一定程度上说明了客流量的变化。的表达式为：=150t-100从的表达式可以看出，随着时间的增长，其客流量的增长量也在不断增大。由此可得出2010年至2011年普速列车的客流量。分别为：2010年客流量为3450万人；2011年客流量为4700万人。下面分析，从09年底修建高铁以后，对普速列车、飞机、汽车的影响；通过灰色预测模型，预测出2011年三种运输工具的客流量。下表为飞机，普速，汽车10年到11年的客流量。07年08年09年10年11年飞机（万人）8401300160012501357汽车（万人）45.65462.433.635.38普速（万人）15001850250022002331通过比较可以看出，修建高铁以后，下图为普速列车的客流量变化根据比较可以看出高铁的修建对普速列车客流量的冲击是巨大的。用同样的方法可以，高铁对飞机、汽车客流量的冲击也是巨大的。没修建高铁的客流量（万人）修建高铁的客流量（万人）普列飞机汽车普列飞机汽车2010年3450１９５９７１．９2200１２５０３３．６2011年4700２４０９８３2331１３５７35.38现在我们通过5年来的飞机、普列、汽车的客流量和高铁2年来的客流量来分析高铁给中国带来的经济效益。首先客流量与旅游生产总值具有线性关系，即客流量越大，旅游生产总值在一定程度上也增大。我们可以用一元线性回归分析法分析。设ｘ为客流量，ｙ为旅游生产总值。一元线性回归方程式为：ｙ＝ａｘ＋ｂ，其中ａ、ｂ为影响两者关系的其他因素（在此不进行列出）。根据07至09年普速列车、飞机、汽车的客流量和旅游生产总值得出：a=1.576，b=-782..915。得出10年三者所带来的旅游生产总值y=6500.4亿元。而实际上产生的旅游生产总值为7858亿元。可知高铁带来的旅游生产总值为1354.6亿元。8.中国修建高铁的利弊分析报告分析目的：通过分析中国修建武广高铁的利弊，反映出中国修建高铁的利弊问题。评估对象：武汉到广州的高铁的利弊评估方法和结论：分别从旅客选择最佳出行方式和高铁对其他运输工具带来的冲击以及高铁带来的经济效益方面对武广高铁的利弊分析。从在武广之间个人选择最佳的出行方式来对比四种运输工具。评估方法：我们从在武广之间个人选择最佳的出行方式的角度研究武广高铁的利弊问题。从武汉到广州，我们从票价，时间，舒适度，环保四个方面对人们选择交通工具（飞机，高铁，普铁，汽车）的影响进行层次分析法。评估结论：人们在选择从武汉到广州的交通工具时，从票价，时间，舒适度，环保考虑飞机，高铁，普铁，汽车的权重分别为0.96636765，0.46446072，0.66790048，0.89319378。相比之下，人们对高铁考虑权重最小，即第一选择为高铁，体现中国修建高铁是一种趋势。另一方面，也体现了高铁发展对其他交通工具的冲击。从高铁对其他运输工具带来的冲击以及高铁带来的经济效益方面评估方法：我们从武广高铁开通以来对广东、湖南湖北的旅游生产总值的影响的角度来研究武广高铁带来的经济效益。根据武广之间各种交通方式从０７年开始的的客流量和广东、湖南湖北的旅游生产总值数据，运用多项式差值拟合得出高铁对其他运输工具客流量的冲击。然后通过分析客流量和旅游生产总值之间的关系分析出武广高铁给中国带来的经济效益。评估结论：根据预测，2010年至2011年间，修建高铁以后飞机、汽车、普速列车所产生的客流量比没修建高铁三种运输工具所产生的客流量分别减少了1761万人，85.92万人，3619万人。2010年修建高铁以后所产生的旅游生产总值比没修建高铁产生的旅游生产总值少1354.6亿元.所以武广高铁使其他运输工具的经济效益大大减少。使武广两地的旅游生产总值大幅提高。综合（1）和（2）所以，武广高铁的修建对中国的经济效益带来提高，使旅客拥有最佳出行方式。但对其他运输行业冲击较大。我们通过对武广高铁的利弊分析，得出中国高铁修建在人口密度较大的地区是利大于弊的。9.模型的评价、改进及推广优点：1.系统性的分析方法。2.简洁实用的决策方法。3.所需定量数据信息较少。缺点：1.不能为决策提供新方案2.定量数据较少，定性成分多，不易令人信服。3.指标过多时数据统计量大，且权重难以确定。4.特征值和特征向量的精确求法比较复杂。参考文献[1]姜启源，数学模型（第二版），高等教育出版社，1993p306-p317[2]戴光全等昆明世博会效应的定量估算本底趋势线模型2000[3]陈怀琛matlab及其在理工课程中的应用指南[4]广东省统计年鉴[5]湖南省统计年鉴[6]湖北省统计年鉴附录模型一中求各判断矩阵的特征值及特征向量的源程序A=[12340.51231/30.5130.251/31/31]A=1.00002.00003.00004.00000.50001.00002.00003.00000.33330.50001.00003.00000.25000.33330.33331.0000>>[d,v]=eig(A)d=Columns1through3-0.80720.7673-0.7819-0.4785-0.6023-0.2203-0.3684i-0.31100.21220.3732-0.1655i-0.1506-0.05900.0296+0.1918iColumn4-0.7819-0.2203+0.3684i0.3732+0.1655i0.0296-0.1918iv=Columns1through34.0875000-0.0478000-0.0199+0.5960i000Column4000-0.0199-0.5960i>>B1=[12431/21221/41/2111/31/211]>>B=1.00002.00004.00003.00000.50001.00002.00002.00000.25000.50001.00001.00000.33330.50001.00001.0000>>[d,v]=eig(B)>>d=0.83260.90870.9087-0.00000.4463-0.1609+0.2362i-0.1609-0.2362i-0.89440.2231-0.0805+0.1181i-0.0805-0.1181i0.44720.2404-0.0899-0.2532i-0.0899+0.2532i-0.0000v=4.01040000-0.0052+0.2038i0000-0.0052-0.2038i00000.0000>>B2=[111/61/6111/61/666116611]B=1.00001.00000.16670.16671.00001.00000.16670.16676.00006.00001.00001.00006.00006.00001.00001.0000>>[d,v]=eig(B)d=-0.33130.1162-0.3313-0.33130.11040.11620.11040.11040.66260.69750.66260.66260.66260.69750.66260.6626v=0000040000000000>>B3=[121/51/71/211/51/85511/37831]B3=1.00002.00000.20000.14290.50001.00000.20000.12505.00005.00001.00000.33337.00008.00003.00001.0000>>[d,v]=eig(B3)d=0.12140.1179+0.0196i0.1179-0.0196i0.10410.0826-0.0063+0.0745i-0.0063-0.0745i-0.08910.42360.0373-0.4439i0.0373+0.4439i-0.34730.8939-0.8841-0.88410.9277v=4.11170000-0.0028+0.6772i0000-0.0028-0.6772i0000-0.1061>>B4=[13311/311/21/41/3211/31431]B4=1.00003.00003.00001.00000.33331.00000.50000.25000.33332.00001.00000.33331.00004.00003.00001.0000>>[d,v]=eig(B4)d=0.65080.80680.8068-0.44230.1706-0.1010-0.2356i-0.1010+0.2356i0.00000.2591-0.2650+0.2634i-0.2650-0.2634i-0.14740.69300.2728+0.2634i0.2728-0.2634i0.8847v=4.04580000-0.0229+0.4299i0