全概率公式及其应用论文

第1页(共7页)浅谈全概率公式及其应用作者：王托洛夫斯基文帅酷之健指导教师：Yangjinying摘要：本文分析了全概率公式的直观意义，介绍了使用全概率公式时寻找完备事件组的两种方法，并通过实例阐述了全概率公式在解决实际问题中的应用。关键字：全概率公式；完备事件组；应用；样本空间引言：概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式正好起到了这样的作用。对一个较复杂的事件，如果能找到一件伴随事件发生的完备事件组,,…，而计算各个的概率与条件概率相对又要容易些，这是为了计算与事件有关的概率，可能需要是用全概率公式，本文就全概率公式及其应用做了详细的叙述。全概率公式及直观意义全概率公式，又称全概公式，是指它实质上是一种分解式，若注意到则求的问题就转化为…这里，，，…,两两互斥，注意到…就应有,,,…，两两互斥，且于是，，…，就成为一个完备事件组，这个完备事件组分割了事件，从而求的问题最后归结为找一个合适的完备事件组的问题，因此当事件比较复杂，直接计算比较难时，设法找一个完备事件组，，，…，使，然后分别求出，再相加，即可求出全概率公式的直观意义是：某事件发生的各种可能原因,，，…，并且这些原因两两不能同时发生，如果是由原因所引起的，则发生时，必同时发生，因而与有关,，，…，，且等于其总和全概率的“全”就是总和的含义，当然这个总和要能求出来，需已知概率,，，…，，通俗地说，事件发生的可能性，就是其诸原因发生的可能性与发生的条件下事件发生的可能性的乘积之和。二、寻找完备事件组的两种方法方法一：从第一个试验入手，分解其样本空间，找出完备事件组。如果所求概率的事件与前后两个试验有关，且这两个试验彼此有关联，第一个试验的各个结果对第二个试验产生影响，而问第二个试验出现某结果的概率，这些问题，即可用全概率公式求解。此时，通常将第一个试验的样本空间分解成若干个互不相容的事件的和，这些事件就是所求的一个完备事件组。假设有两个同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中随机取出两个零件，试求：取出的零件均是一等品的概率；解引进下列事件：={被挑出的是第箱}，={取出的零件是一等品}有条件知,,由全概率公式，知=方法二：从事件B发生的两两互不相容的诸原因找完备事件组。如果事件B能且只能在“原因”，，，…，下发生，且，，，…，两两互不相容，那么这些“原因”，，，…，就是一个完备事件组。例2.采购员要购买10个一包的电器元件。他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如这3个原件都是好的，他才买下这一包。假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含有1个次品。求采购员拒绝购买的概率。解：记={取到的是含4个次品的包}，={取到的是含1个次品的包}，={采购员拒绝购买}则，构成样本空间的一个正划分，且=0.3，=0.7，又由古典概型计算知从而由全概率公式得到上述例题介绍了全概率公式寻找完备事件组的两种方法，对于以上这种简单事件，需先找出完备事件组，然后直接应用全概率公式就可求出我们所需的结果。三、全概率公式的应用在全概率公式的应用中，主要会有四个方面的应用：赌徒输光问题、抛掷不均匀硬币问题、随机分流的不变性、保险公司的索赔额模型。这些应用不仅仅是全概率公式的简单应用，还会与其他知识相结合，例如差分方程，递推计算等。这些知识的结合有效地将全概率公式得到广泛应用。1.赌徒输光问题例3.设甲有赌本元，其对手乙有赌本>0元。每赌一次甲以概率赢一元，而乙以概率输一元。假定不欠不借，赌博一直到甲乙有一人输光才结束。因此，两个人中的赢者最终有赌资元。求甲输光的概率。解：一般地，我们以记甲有赌本元而最终输光的概率，而求此概率的关键是给出下面的事件关系式，其方法称为首步分析法，记事件{甲有赌本i元，但最终输光}={甲第1次赌赢}于是我们有，由上述关系式及全概率公式，我们得到==（1）这是一个常系数二阶差分方程，且满足两个边界条件：为解(1),注意到它等价于故当且时,由得到（2）=令,再利用可解出从而得到，当且(即)时有而当时，还是由(2)式，我们有令,可得．从而有2.抛掷不均匀硬币问题例4.连续地抛掷一个很不均匀的硬币n次，假定这次抛掷并不相互独立:第1次出现正面的概率为,第2次后每次出现与前一次相同的面的概率为.求第n次时出现正面的概率,并讨论时的情况。解令={第n次出现正面},并记欲求之概率为,。这时发生与否与发生与否是密切相关的，若发生了，则发生的概率就为,所以,。同理，。显然，,构成完备事件组。利用全概率公式，我们有由于，故由递推计算可得,则,故（2）若,则,只有当时,才存在且等于.（3）对一般有在解决实际问题时，如果已知的是多维随机变量的联合分布，条件分布及边缘分布，则在求某些事件的概率时仍可以使用全概率公式。3.随机分流的不变性例5.(Poisson分布在随机选择下的不变性,也称为随机分流的不变性)假设某段时间里来百货公司的顾客数服从参数为的Poisson分布,而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率为p,且每个顾客是否购买电视机是独立的,问在这段时间内,百货公司内购买电视机的人数为k的概率有多大？解记X为百货公司售出电视机的台数,而N为这段时间内进入百货公司的人数,故由全概率公式知由于在已知有N=n名顾客进入百货公司的条件下,百货公司售出电视机的台数服从参数为n和p二项分布,即故即X服从参数为的Poisson分布。4.保险公司的索赔额模型例7.保险公司想对其索赔额建立一个模型,以此期望其产品获得好的利润.根据历史数据,认为具有利好风险的投保人,其索赔额的密度函数为:x>0.而认为具有利坏风险的投保人,其索赔额的密度函数则为:,x>0.其中索赔额以1000元人民币为一个单位,现已知指定的投保人具有利坏风险的可能性是30%,问这个投保人的索赔额超过一个单位的概率有多大?解设X表示索赔额,I表示风险的指示变量.则由所给信息可知:设有利坏风险时,I=1,其概率为30%;设有利好风险时,I=0,其概率为70%,从而有:那么由混合型全概率公式可得随机变量X的密度函数为:而我们要求的是索赔额X>1的概率,由密度函数与概率之间的关系可得:..此即索赔额大于一个单位的概率。在这个问题中关键是要求出索赔额在不同风险下的密度函数,为此我们必须把题设的信息数量化,设一个指示变量,从而使问题变得更容易求解。三、结论概率论通过人类的社会实践和生产活动发展起来并被广泛应用于各个领域，在国民经济的生产和生活中起着重要的作用，在日常生活中，周围的许多事物都和概率有着千丝万缕的联系，就拿当今社会最热门的金融业来说，概率论在这门学科中发挥着无法替代的重要作用，全概率公式作为概率论中的计算复杂事件的重要公式，它在生活中更是有着广泛的应用。参考文献[1]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京.高等教育出版社,1983,10[2]张丽.全概率功率公式与贝叶斯公式的应用及推广[J].牡丹江师范学院学报,2005（1）[3]茆诗松,程依明.概率论与数理统计教程[M].北京.高等教育出版社,2004[4]祈红光.浅谈概率统计在决策优化中的应用[J].沙洋师范高等专科学校学报,2005,（5）[5]崔文艳.全概率公式的推广及应用[J].高等数学研究,2008,11（1）[6]郑长波.生活中的概率问题举例[J].沈阳师范大学学报（自然科学版）,2007,25（4）[7]张克军.关于条件概率及其应用的教学研究[J].徐州教育学院学报，2008.23(3)[8]吴松飞.一个概率知识在经济分析上的应用[J].安徽商贸职业技术学院学报(社会科学版),2006,03[9]白瑞云.我们身边的概率问题[J].商场现代化,2006,01[10]王淑玲.概率论与数理统计在经济生活中的应用[J].科技信息,2009,21[11]武兴亮,定根宏.小概率事件及其应用[J].读写算(教育教学研究),2011,13[12]叶裁亮,杨存曲.条件概率的计算公式[J].商洛师范专科学校学报,2002,16(4)[13]桑青松.试论策略型学习者问题解决能力的培养[J].课程.教材.教法，2002（9）[14]金晶亮.非线性测量误差模型的Bayes估计[J].南通大学学报.自然DiscussionontheformulaoftotalprobabilityanditsapplicationAbstract:Thispaperanalyzesthetotalprobabilityformulaoftheintuitivemeaning,describestheuseoftheformulaoftotalprobabilitywhenthecompleteeventgroup