人教A版必修二高中数学第二章 章末复习提升同步课堂导学案【含详细解析】

1．线线关系空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．(1)证明线线平行的方法①线线平行的定义；②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b；④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b；⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(2)证明线线垂直的方法①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；②线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.2．线面关系直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种．(1)证明直线与平面平行的方法①线面平行的定义；②判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α；③平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β.(2)证明直线与平面垂直的方法①线面垂直的定义；②判定定理1：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m，n⊂α，m∩n＝A,l⊥m，l⊥n))⇒l⊥α；③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.3．面面关系两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．(1)证明面面平行的方法①面面平行的定义；②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β；③线面垂直的性质定理：a⊥α，a⊥β⇒α∥β；④公理4的推广：α∥γ，β∥γ⇒α∥β.(2)证明面面垂直的方法①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.4．证明空间线面平行或垂直需注意的三点(1)由已知想性质，由求证想判定．(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．5．“升降维”思想用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决．用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法．平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程.题型一几何中共点、共线、共面问题1．证明共面问题证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．2．证明三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．3．证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．例1如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)GE与HF的交点在直线AC上．证明(1)∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD，又EF∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四点共面．(2)∵G、H不是BC、CD的中点，∴EF≠GH.又EF∥GH，∴EG与FH不平行，则必相交，设交点为M.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(EG⊂面ABC,HF⊂面ACD))⇒M∈面ABC且M∈面ACD⇒M在面ABC与面ACD的交线上⇒M∈AC.∴GE与HF的交点在直线AC上．跟踪训练1如图，O是正方体ABCD－A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点．求证：O、M、A1三点共线．证明∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵M∈AC1，AC1⊂平面ACC1A1.∴M∈平面ACC1A1.又已知A1∈平面ACC1A1，即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上，又O、M、A1三点都在平面A1BD上，所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上，所以O、M、A1三点共线．题型二空间中的平行关系在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．如下图所示是平行关系相互转化的示意图．例2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．解当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝eq\f(1,2)PB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA綊eq\f(1,2)PB，∴PF綊MA.∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD.∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.跟踪演练2如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.证明(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)连接OG并延长交AC于点M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．由Q为PA中点，得QM∥PC，又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.题型三空间中的垂直关系空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法：①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)．(2)判定线面垂直的方法：①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法：①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．例3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.跟踪演练3如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝eq\r(2)，等边△ADB以AB为轴转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解(1)取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，由已知可得DE＝eq\r(3)，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝eq\r(DE2＋EC2)＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.题型四空间角的计算空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角(简称线线角、线面角、面面角)．用直接法：求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法．例4如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2eq\r(3)，PD＝CD＝2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明平面PDC⊥平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．(1)解如图所示，在四棱锥PABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC.故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角．又因为AD⊥PD，在Rt△PDA中，tan∠PAD＝eq\f(PD,AD)＝2，所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD.又因为AD⊥PD，CD∩PD＝D，所以AD⊥平面PDC.而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.(3)解在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB.由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝2eq\r(3)，可得∠PCD＝30°.在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝eq\r(3).由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC.在Rt△PCB中，PB＝eq\r(PC2＋BC2)＝eq\r(13).在Rt△PEB中，sin∠PBE＝eq\f(PE,PB)＝eq\f(\r(39),13).所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为eq\f(\r(39),13).跟踪演练4如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．解(1)∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．