人教A版必修二9.2.4 总体离散程度的估计教学导学案(含答案)

人教A版必修二9.2.4总体离散程度的估计教学导学案【基本知识】1.一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差数据x1，x2，…，xn的方差为eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2，标准差为eq\r(\f(1,n)\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\o(x,\s\up6(－)))2).2.总体方差和标准差(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为eq\o(Y,\s\up6(－))，则称S2＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(N),\s\do4(i＝1))(Yi－eq\o(Y,\s\up6(－)))2为总体方差，S＝eq\r(S2)为总体标准差.(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(k),\s\do4(i＝1))fi(Yi－eq\o(Y,\s\up6(－)))2.(3)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频率为pi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq\o(∑,\s\up6(k),\s\do4(i＝1))pi(Yi－eq\o(Y,\s\up6(－)))2.3.样本方差和标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq\o(y,\s\up6(－))，则称s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2为样本方差，s＝eq\r(s2)为样本标准差.4.标准差的意义标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.*5.分层随机抽样的方差设样本容量为n，平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))1，eq\o(x,\s\up6(－))2，方差分别为seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，则这个样本的方差为s2＝eq\f(n1,n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＋eq\f(n2,n)[seq\o\al(2,2)＋(eq\o(x,\s\up6(－))2－eq\o(x,\s\up6(－)))2].

【课后练习】1.判断正误(1)计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重.()(2)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.()(3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散.()2.下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是()A.平均数 B.中位数C.方差 D.众数3、对于一组数据xi(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为xi＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，则下列结论正确的是()A．平均数与方差均不变 B．平均数变，方差保持不变C．平均数不变，方差变 D．平均数与方差均发生变化4、甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数eq\o(x,\s\up6(－))8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是()A.甲 B.乙C.丙 D.丁5、一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数为1.2，方差为4.4，则原来的数据的平均数和方差分别是（）A.40.6,1.1B.48.8,4.4C.81.2,44.4D.78.8,75.66、在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：班级人数平均分数方差甲20eq\o(x,\s\up6(－))甲2乙30eq\o(x,\s\up6(－))乙3其中eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，则两个班数学成绩的方差为()A.3 B.2C.2.6 D.2.57、甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差8、已知某7个数平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，这8个数的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为s2，则()A.eq\o(x,\s\up6(－))＝4，s2<2 B.eq\o(x,\s\up6(－))＝4，sa2>2C.eq\o(x,\s\up6(－))>4，s2<2 D.eq\o(x,\s\up6(－))>4，s2>29如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为eq\x\to(x)A和eq\x\to(x)B，样本标准差分别为SA和SB，则()A.eq\x\to(x)A＞eq\x\to(x)B，SA＞SB B.eq\x\to(x)A＜eq\x\to(x)B，SA＞SBC.eq\x\to(x)A＞eq\x\to(x)B，SA＜SB D.eq\x\to(x)A＜eq\x\to(x)B，SA＜SB10、已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________.11、若40个数据的平方和为56，平均数为，则这组数据的方差为________12、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________.13、在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由.

【参考答案】1、(1)√(2)√(3)×2、选C由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度.3、选B根据平均数和方差的公式，知平均数增加C，方差不变4、选C由题表中数据可知，丙的平均环数最高，且方差最小，说明技术稳定，且成绩好.5、选A根据平均数和方差的公式，知新数据平均数是旧数据乘以2，再减去80，结果是1.2，所以原数据平均数为40.6，新数据方差是旧数据方差的四倍，结果是4.4，所医院数据方差为1.16、选C由题意可知两个班的数学成绩平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，则两个班数学成绩的方差为s2＝eq\f(20,20＋30)[2＋(eq\o(x,\s\up6(－))甲－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＋eq\f(30,20＋30)[3＋(eq\o(x,\s\up6(－))乙－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝eq\f(20,20＋30)×2＋eq\f(30,20＋30)×3＝2.6.7、由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为eq\f(1,5)×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，eq\f(1,5)×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝eq\f(12,5)，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．8、选A∵某7个数的平均数为4，∴这7个数的和为4×7＝28，∵加入一个新数据4，∴eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(28＋4,8)＝4.又∵这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，∴这8个数方差s2＝eq\f(7×2＋4－42,8)＝eq\f(7,4)<2，故选A9、选B由图可知A组的6个数为2.5,10,5,7.5，2.5，10，B组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10，所以eq\x\to(x)A＝eq\f(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10,6)＝eq\f(37.5,6)，eq\x\to(x)B＝eq\f(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10,6)＝eq\f(70,6).显然eq\x\to(x)A＜eq\x\to(x)B，又由图形可知，B组的数据分布比A均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以SA＞SB.10、根据公式eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2求得方差为0.12511、根据公式eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2求得方差为0.912、∵eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,5)(87＋91＋90＋89＋93)＝90，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,5)(89＋90＋91＋88＋92)＝90，∴seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.答案：213、(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些.(2)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝eq\f(1,50)×4000＝80(分)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq\f(1,50)×4000＝80(分).seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋