人教A版必修二8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积课下分层作业(含答案)

人教A版必修二8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积课下分层作业A基础能力达标1．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)2.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，则四棱锥P­ABCD的体积为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)3．(2019·临川检测)一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为()A.eq\f(3,2) B.eq\f(7,4)C．2 D.eq\f(9,4)4．如图，已知正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．5.若E，F是三棱柱ABC­A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A­BEFC的体积．B核心素养提升6．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．7．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．8．如图所示，已知三棱柱ABC­A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求证：三棱柱ABC­A′B′C′的体积V＝eq\f(1,2)Sa.8.3.1课下分层作业答案与解析A基础能力达标1.解析：选C.因为VC­A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC­A′B′C′＝eq\f(1,3)，所以VC­AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).2.解析：选B.因为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，所以点P到平面ABCD的距离d＝AA1＝1，S正方形ABCD＝1×1＝1，所以四棱锥P­ABCD的体积为：VP­ABCD＝eq\f(1,3)×AA1×S正方形ABCD＝eq\f(1,3)×1×1＝eq\f(1,3).故选B.3.解析：选D．因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，所以棱柱EFCB­E1F1C1B1的体积V＝S梯形EFCB×3＝eq\f(3,4)S△ABC×3＝eq\f(9,4)S△ABC.设甲中水面的高度为h，则S△ABC×h＝eq\f(9,4)S△ABC，解得h＝eq\f(9,4)，故选D.4.解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.因为S侧＝2S底，所以3×eq\f(1,2)·a·h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.所以a＝eq\r(3)h′.因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2.所以32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))eq\s\up12(2)＝h′2.所以h′＝2eq\r(3)，所以a＝eq\r(3)h′＝6.所以S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S侧＝2S底＝18eq\r(3).所以S表＝S侧＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3).5.解：如图所示，连接AB1，AC1.因为B1E＝CF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．又四棱锥A­BEFC的高与四棱锥A­B1EFC1的高相等，所以VA­BEFC＝VA­B1EFC1＝eq\f(1,2)VA­BB1C1C.又VA­A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h，VABC­A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，所以VA­A1B1C1＝eq\f(m,3)，所以VA­BB1C1C＝VABC­A1B1C1－VA­A1B1C1＝eq\f(2,3)m.所以VA­BEFC＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)m＝eq\f(m,3)，即四棱锥A­BEFC的体积是eq\f(m,3).B核心素养提升6.解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1，解得x＝eq\r(2)－1，故题中的半正多面体的棱长为eq\r(2)－1.答案：26eq\r(2)－17.解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2eq\r(2)，其面积为8.答案：88.证明：法一：如图所示，连接A′B，A′C，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．显然三棱锥A′­ABC的体积是eq\f(1,3)V，而四棱锥A′­BCC′B′的体积为eq\f(1,3)Sa，故有eq\f(1,3)V＋eq\f(1,3)Sa＝V，所以三棱柱ABC­A′B′C′的体积V＝eq\f(1,2)Sa.法二：如图所示，将三棱柱ABC­A′B′C′补成一个四棱柱ACBD­A′C′B′D′，其中AC∥BD，AD∥BC，即ACBD为一个平行