附录2 无限大平板含扁椭圆孔的问题

PAGE15-附录2无限大平板含扁椭圆孔的问题A2.1保角变换，曲线坐标中的复势、应力和位移如果是解析函数，并且，我们利用关系式(A2-1)所作的变换即为保角变换.通过保角变换，总可以把z平面上形状复杂而不易求解的单连域S(边界为L),通过一个正则函数，映射为平面（数学平面）上的另一条形状较为简单的曲线，从而使问题的求解变得简便和可能.设,.在平面上每给定一点，平面上必有一点跟它相对应.这样，在平面上每给定一根曲线,平面必有一根对应的曲线(图A2-1).在相应的两曲线上各截取相应的一小段()和(),则有.(A2-2)图A2-1其中和分别为和的辐角的主值.由(A2-1）,有.(A2-3)由(A2-2),.(A2-4)式中,.可以看出,J和的物理意义分别如下：J是保角变换时，z平面上微元线段变换为平面上线段的尺寸放大(或缩小)系数；而是表示z平面上微元线段变换到平面上微元线段时旋转的角度.J和皆是点的函数，即与有关.但对于指定点,J和是完全确定的.显然即为曲线const的切线(向着增加的方向)与z平面x轴之间的夹角(此时)，而曲线const的切线(向着增加的方向)与z平面x轴之间的夹角为.同时对于const和const上的微元线段和有,.这样便建立了对应于z平面上各点的曲线坐标(梁昆淼,1978).由(A2-4)得到，因此.(A2-5)利用局部坐标变换，得到曲线坐标中各应力分量与直角坐标中应力分量的关系，(A2-6)A2.2无限大平板中椭圆孔受均布作用力的问题A2.2.1具有椭圆孔的无限域的问题由Stevenson(1945)在椭圆坐标系中解得.应用椭圆坐标系，定义为,.则.由此得出(a)坐标为常数，令表示直角坐标系中的椭圆孔.椭圆孔的方程为.或写成参数方程为，.若椭圆的半径给出为a和b,则应有，.(b)可以求得和c.当逐渐变大时，以为参数所表示的椭圆也逐渐变大.当时所代表的是无限大的椭圆.当参变量从x轴正向由零到时,任一椭圆上一点就绕椭圆一周(此时=const).根据式(a),任意给定一对参数和，在平面中就对应一个点，因此也称、为平面上点的椭圆坐标，分别相当于极坐标中的和.位移和应力分量的连续性要求这些分量在方向是周期性的，周期为，使当和时，这些分量有相同的值.因此可能选取下列形式的复应力函数(c)其中n为整数.另外，函数也适合单值条件，因此也可以作为复应力函数.A2.2.2无限大平板中椭圆孔，受远场均匀拉力作用，椭圆的长短轴各为2a和2b,与x轴夹角为(图A2-2)(本书采用了与弹性力学一致的符号标注习惯,与岩石力学的标注有所不同).该问题由Inglis(1913)推导了各种条件的应力和位移.设坐标系是将坐标系转动角使其与拉力平行的直角坐标系，于是由坐标变换，边界条件为，在无穷远处.因此，在无穷远处，.(a)图A2-2无限大平板中椭圆孔受单向拉伸的问题为了和有关文献在表达上一致，这里取,柯洛索夫公式成为(A2-7)由(A2-5),其中.(A2-8)将(a)式代入(A2-7)得当时，，在椭圆孔边界上，即时应有取(A2-9)可以验证满足所有边界条件.可以由(A2-7)中的第三式求出相应的位移，并且位移是单值的.由(A2-7)求出孔边的环向应力为.(A2-10)或利用(b)式,得到.(A2-11)这里特别讨论的情形，此时拉力作用方向和椭圆长轴方向垂直，孔边的应力(A2-10)可写为.(A2-12)当或时，，即在椭圆的长轴两端处，代入，.(A2-13)在椭圆的短轴两端处，,,(A2-14)A2.2.3在A2.2.2的情况下，考察一种最重要的情况，即当椭圆孔变得越来越细长时，应力也逐渐变大.当,即时，椭圆变成一条直裂纹，可以得到在任意点应力值是：,(A2-15),(A2-16).(A2-17)其中.(A2-18)在(应力垂直于椭圆长轴)的情况下,孔边最大应力位于椭圆的长轴两端处,可以从(A2-13)直接得到:.(A2-19)应力显示出了奇异性.对于受单轴压力的问题,只须取即可使用(A2-9)、(A2-10)、(A2-11)式.椭圆孔周围的应力的数学已由许多作者进行了讨论，参见铁摩辛柯和古地尔(1951).Inglis(1913)确定了各种条件的应力和位移.王龙甫(1979)和徐秉业(1981)较详尽地介绍了推导过程.(1921-1922)使用了Airy应力函数，Starr(1928)基于Airy应力函数非常仔细地讨论了受纯剪力的裂缝.以上给出的文献均采用椭圆坐标系，这是处理切口问题或椭圆孔问题经典的应用数学方法.但是也可利用其它方法，特别是向圆保角变换？？？.？？？A2.2.图A2-3无限大平板中椭圆孔受双向拉伸的问题将上述问题叠加上一个受远场均匀拉力的作用，与椭圆长轴夹角为+(图A2-3),就得到相应的应力函数、应力分量和位移分量.其中孔边环向应力(A2-11)式替换为(A2-20a或代入(b)式,有.(A2-20b)A2.2.在A2.2.2问题中取，,就得该问题的应力函数、应力分量和位移分量.其中各应力分量为,(A2-21),(A2-22).(A2-23)其中α参见(A2-18).A2.2.在A2.2.5中取,将得到的解与应力函数,导出的应力状态叠加，就得到本问题的解答，即,,(A2-24),(A2-25)按照以上应力函数,并利用(A2-7)式,就得到相应的应力分量和位移分量.其中孔边的环向应力为.(A2-26)以上应力函数的导出涉及到向圆保角变换和孔口问题.有关详细介绍可参见木斯海里什维里(1958)或尹祥础(1985).本部分参考文献[1]梁昆淼.数学物理方法[M].北京:人民教育出版社,1978.[2]木斯海里什维里NI.数学弹性力学中的几个基本问题.赵惠元,译,北京：科学出版社,1958.[3]铁摩辛柯ST,古地尔JN.弹性理论.徐芝纶,译.北京:高等教育出版社,1990.[4]王龙甫.弹性理论[M].北京:科学出版社,1978.[5]徐秉业.弹性与塑性力学-例题与习题[M].北京:机械工业出版社,1981.[6]尹祥础.固体力学[M].北京:地震出版社,1985.[7]Inglis,Stressesinaplateduetothepresenceofcracksandsharpcorners,TransactionsoftheInstitutionofNavalArchitects,1913,55:219–230.[8]StarrAT,1928.Slip