山西省2020年高二数学上学期期中考试卷（一）

山西省2020年高二数学上学期期中考试卷（一）

（考试时间90分钟满分100分）

一、单项选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.

1.一个红色的棱长是3cm的正方体，将其适当分割成棱长为1cm的

小正方体，则三面涂色的小正方体有（）

A.6个B.8个C.16个D.27个

2.过两点A（2,1）和B（3,m）直线的斜率为1,则实数m的值

为（）

A.1B.2C.3D.4

3.下列命题正确的是（）

A.两两相交的三条直线可确定一个平面

B.两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行

C.过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行

D.和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线

4.直线y=2x-2被圆（x-2）2+（y-2）2=25所截得的弦长为（）

A.6B.8C.10D.12

5.一平面过半径为R的球0的半径OA的中点，且垂直于该半径OA,

则该平面截球的截面面积为（）

A.B,喙"C,nR2D.

6.棱长为2的正方体ABCD-AiBiJDi中，E为BC的中点，则线段

DiE的长度为（）

A.1B.2C.3D.4

7.若E,F,G分别为正三角形ABC的边AB,BC,CA的中点，以4

EFG为底面，把AAEG,ABEF,ZSCFG折起使A,B,C重合为一点P,

则下列关于线段PE与FG的论述不正确的为()

A.垂直B.长度相等C.异面D.夹角为60°

8.圆(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上点到直线4x-3y-2=0的最小

距离为1,则r=()

A.4B.3C.2D.1

9.四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA_L平面ABCD,PA=AB=2,

则该四棱锥的外接球的半径为()

A.弧B.2MC.\[2D.2>/2

10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()

二、填空题(每题3分，满分24分)

11.点A(1,2,2)关于原点0的对称点A',则AA，的距离为

12.圆x2+y2=m2(m>0)内切于圆x2+y2+6x-8y-11=0,则m=

13.直线li：x+(1-a)y-3=0与12：(a-1)x+ay+3=0互相垂直,

则实数a=—.

14.直线（m2+l）x-2my=l的倾斜角的取值范围为.

15.给定下列四个命题：

①圆锥是由正方形绕对角线旋转所形成的曲面围成的几何体；

②圆锥是由三角形绕其一边上的高旋转所形成曲面围成的几何体；

③圆锥是角AOB绕其角平分线旋转一周所形成曲面围成的几何体；

④底面在水平平面上的圆锥用平行于底面的平面所截得的位于截面

上方的部分是圆锥.

其中正确的命题为—.（只填正确命题的序号）

16.直线I在两坐标轴上的截距互为相反数，且坐标原点到直线I的

距离为VL则直线I的方程为—.

17.已知圆C的面积被直线y=x平分，且圆C过点（2,0）,则该圆

面积最小时的圆方程为.

18.直线I过坐标原点和点（-1,2）关于直线y=x-1的对称点，则

直线I的方程为—.

三、解答题（本大题共5小题，共46分.解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.）

19.如图，某粮仓是由圆柱和圆锥构成（粮仓的底部位于地面上），

圆柱的底面直径与高都等于h米，圆锥的高为g米.

（1）求这个粮仓的容积；

（2）求制作这样一个粮仓的用料面积.

20.已知E(2,0),F(2,2)分别为正方形ABCD的边AB与CD的

中点.

(1)求正方形ABCD外接圆的方程；

(2)求对角线AC与BD所在直线的方程.

21.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PAJ_底面ABCD,E,F

分别为AD,PC的中点.

(1)求证：EF〃平面PAB；

(2)若PA=AB=2,求三棱锥P-AEF的体积.

22.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAJ_平面ABCD,AC1BD交于点0,

E为线段PC上的点，且ACJ_BE.

(1)求证：AC_L.DE；

(2)若BC〃AD,PA=6,BC=JAD=V2，AB=CD,求异面直线DE与PA

所成的角.

23.已知圆B：(x-1)2+(y-I)2=2,过原点。作两条不同的直线

11,12与圆B都相交.

(1)从B分别作11,12的垂线，垂足分别为A,C,若欣•前=0,|就|二|箴

求直线AC的方程；

(2)若11，%且li,L与圆B分别相交于P,Q两点，求△OPQ面

积的最大值.

参考答案

一、单项选择题

1.B.2.B.3.C.4.C.5.D.6.C.7.D.8.A.9.A

10.B

二、填空题

11.解:由题意，|AO|=VF丽=3,

\,点A(1,2,2)关于原点。的对称点A1,

.•.AA'的距离为6.

故答案为6.

12.解：01x2+y2+6x-8y-11=0即(x+3)2+(y-4)2=36,表示以

(-3,4)为圆心，半径等于6的圆.

再根据圆x2+y2=m2(m>0)内切于圆x2+y2+6x-8y-11=0,两圆的圆

心距等于半径之差，

可W7(-3-0)2+(4-0)2=6-m,

解得m=l,

故答案为1

13.解：Vli：x+(1-a)y-3=0与I2：(a-1)x+ay+3=0互相垂直，

(a-1)+a(1-a)=0,

解得a=l.

故答案为：1

14.解：①当m=0时，斜率不存在，即倾斜角为

②当mWO时，直线的斜率||<|=|碎"1=!（后|出）21

2mN

Ak^l,或kW-1,

即直线的倾斜角的取值范围为弓，卷）U（全等］

综上，直线的倾斜角的取值范围为6，等］.

故答案为弓，等］.

15.解：①由正方形绕对角线旋转所形成的曲面围成的几何体是两个

圆锥的组合体，不正确；

②圆锥是由三角形绕其一直角边上的高旋转所形成曲面围成的几何

体，不正确；

③角AOB绕其角平分线旋转一周所形成曲面围成的几何体，不是封

闭曲线，不正确；

④底面在水平平面上的圆锥用平行于底面的平面所截得的位于截面

上方的部分是圆锥，正确.

故答案为④

16.解：直线I在两坐标轴上的截距互为相反数，

设直线I的方程是：x-y+a=O,

•••坐标原点到直线I的距离为我，

d=^-=V2»解得：a=±2,

故直线方程是：y=x±2,

故答案为:y=x±2.

17.解：由题意，(2,0)到直线y=x的距离为圆的半径，即

此时圆心坐标为y=x与直线y=-x+2的交点，即(1,1),

・•・该圆面积最小时的圆方程为(x-1)2+(y-1)2=2,

故答案为(x-1)2+(y-1)2=2.

18.解：设点M(-1,2)关于直线I：y=x-1对称的点N的坐标(x,

V)

则MN中点的坐标为(工等)，

利用对称的性质得：KMN='/=~~L且—z-_~1=0,

xll22

解得:x=2,y=T,

.••点N的坐标(2,-1),

故直线I的方程是：2x+3y=0,

故答案为：2x+3y=0.

三、解答题

19.解：(1)圆锥的母线长为李》

V5•g)2・h号冗喏)2w2=24h3(加3).

(2)s=n-h-h+n-yKh2E).

20.解：EF的中点为G(2,1),由平面几何知识知AB在x轴上,

(1)外接圆的半径为AGj巧，所以外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)

2=2；

(2)①若ABCD为逆时针排列，则直线AC的斜率为1,

直线AC：y-l=x-2,HPx-y-1=0.

直线BD的斜率为-1,

所以直线BD：y-1=-(x-2),即x+y-3=0；

②若ABCD为顺时针排列，直线AC：x+y-3=0.

直线BD：x-y-1=0.

21.证明：(1)取PB的中点为G,连接AG,FG,

YE,F分别为AD,PC的中点，四棱锥P-ABCD的底面是正方形,

AGFXAE,「.AEFG是平行四边形，:.EF〃AG,

•.•EFC平面PAB,AGc平面PAB,

.•.EF〃平面PAB.

解：(2)VPA=AB=2,PA,底面ABCD,

，三棱锥P-AEF的体积"-MVF-PQ鼻Jx2XlXl》.

00

22.解：(1)VAC1BD,AC1BE,BDABE=E,BDE,

AC±DE.

(2)连接OE,则OELAC,AC1AP,.，.OE〃AP.AZOED(或其补

角)就是异面直线ED与PA所成的角.

在等腰梯形ABCD中，计算可得CO=1,OA=2,...OE=2,又OD=2,且

△OED为直角三角形，，异面直线ED与PA所成的角为45°.

23.解：(1)由平面几何知识可知OABC为正方形，0B中点为(|,1),

0B斜率为1,

二•AC：x+y-1=0.

(2),.,OPJ_OQ,，PQ为圆B的直径，且|OB|=|BP|=|BQ|=V^，设N

OPQ=0,

则|