第2.1节 机械振动 简谐运动（解析版）

其次章·机械振动第01节机械振动简谐运动目目标导航学问要点难易度1．什么是机械振动，简谐振动2．理解弹簧振子是一种抱负化模型，理解平衡位置和位移3．理解弹簧振子的x-t图象，依据图像分析运动变化（s,v,t,a,F）4．会利用简谐振动的对称性分析问题5．利用周期性对t做去整取零★★★★★★★★★★知知识精讲学问点01机械振动和简谐振动1．机械振动：物体在平衡位置四周所做的往复运动，简称振动。平衡位置：做机械振动物体静止时的位置．2、机械振动的动力学缘由：物体在回复力作用下做机械振动。回复力：总是指向平衡位置的力。3、简谐振动①定义：质点在F=-kx的回复力作用下，位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x-t)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐振动．②特点：简谐运动是最简洁、最基本的振动。弹簧振子，单摆是简谐振动【例1】（多选）下列运动属于机械振动的是()A．说话时声带的运动B．弹簧振子在竖直方向的上下运动C．体育课上同学进行25米折返跑D．直立于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动【答案】ABD【解析】声带振动产生声音，A正确；弹簧振子是机械振动，B正确；折返跑不是机械运动，但不是振动，C错误；水面波纹是机械振动，D正确。【例2】若某一过程中振子的速率在减小，则此时振子的（）A．速度与位移方向肯定相反 B．加速度与速度方向可能相同C．位移可能在减小 D．回复力肯定在增大【答案】D【解析】速率减小，振子远离平衡位置，速度和位移同向，A错误；加速度和位移反向，B错误；位移增大，C错误；F=-kx，位移增大，回复力增大，D正确。学问点02弹簧振子及其随时间变化规律1．弹簧振子：一根轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为m的小球就构成一弹簧振子。是一种抱负模型，其振动是简谐振动。如图所示：回复力F＝－kx式中F为回复力，x为离开平衡位置的位移，k是比例常数。对弹簧振子来说k是弹簧的劲度系数，式中的负号，表示回复力的方向与位移方向相反。2．弹簧振子的位移—时间（x-t）图像(1)建立坐标系：以小球的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立坐标轴．小球在平衡位置右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负．※留意：坐标原点只能取平衡点，但可以取振子在不同位置为0时刻．(2)图象：横坐标表示振子振动的时间，纵坐标表示振子相对平衡位置的位移，如下图所示：(3)外形：正(余)弦曲线．振动图像规律：①0-1s，O→A，位移（+）增大，加速度（-）增大，速度（+）减小②1-2s，A→O，位移（+）减小，加速度（-）减小，速度（-）增大③2-3s，O→B，位移（-）增大，加速度（+）增大，速度（-）减小④3-4s，B→O，位移（-）减小，加速度（+）减小，速度（+）增大3．描述振动的物理量振幅：振动质点离开平衡位置的最大距离，标量。（物理意义：描述振动的强弱）上图中A=2cm周期：振动质点完成一次全振动所需时间。（物理意义：描述振动的快慢）上图中T=4s频率：1秒内全振动的次数，f=1/T（物理意义：描述振动的快慢；单位：赫兹）上图中f=0.25s-14．简谐振动图象解读(1)可直接读出振幅A，周期T。间接计算路程：1/4T通过的路程=A。(2)振子在某一时刻相对于平衡位置的位移x大小和方向。(3)依据图像的斜率推断速度v的方向，增大或减小变化趋势。(4)依据F=-kx间接推断受到回复力的大小，方向，从而进一步推断加速度的变化。(5)对称性：速度大小，加速度大小，回复力大小，时间对平衡点具有对称性。5．能量转化：简谐振动是振子动能和弹簧势能之间的转换平衡位置动能最大，弹簧弹性势能=0；最大位移处动能=0，弹簧弹性势能最大。【例3】如图甲所示，一弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为振子静止的位置，其振动图象如图乙所示，规定向右的方向为正方向，试依据图象分析以下问题：(1)在t＝0时刻，振子所处的位置为________，正在向________(选填“左”或“右”)方向运动．(2)A、B两点间的距离为________cm.(3)在乙图中，振子在t＝1s、t＝2s和t＝3s时所处的位置依次是________、________和________．(4)在t＝2s时，振子速度的方向与t＝0时速度的方向________．(5)质点在前4s内的位移等于________cm，其路程为________cm.【答案】(1)O点右(2)6(3)B点O点A点(4)相反(5)012【解析】（1）t=0，依据图像x=0，可得到振子在O处，下一时刻x>0，所以向B运动（2）AB间距离是2A，所以AB=6cm（3）依据图像t=1s时，x=3cm，所以在B点；t=2s时，x=0，所以在O点；t=3s时，x=-3cm，所以在A点；（4）t=0时，振子向右运动，t=2s时，振子向左运动，所以速度方向相反；（5）t=4s时，x=0，所以位移=0，路程为4个振幅，即12cm。【例4】如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是()A．t＝0.4s时，振子的速度方向向右B．t＝0.8s时，振子在O点和B点之间C．t＝0.6s和t＝1.2s时刻，振子的速度完全相同D．t＝1.5s到t＝1.8s的时间内，振子的加速度渐渐减小【答案】D【解析】t=0.4s，振子从B向O运动，速度方向向左，A错误；t=0.8s，振子在O和A之间，B错误；t＝0.6s，振子速度向左，t＝1.2s，振子的速度向右，C错误；t＝1.5s到t＝1.8s的时间内，振子从B向O运动，位移减小，回复力减小，加速度减小，D正确。学问点03简谐运动的函数表达式及图像简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ)．1．x表示离开平衡位置的位移，A表示简谐运动的振幅，表示振动的强弱．2．式中ω叫做“圆频率”，它与周期频率的关系为ω＝eq\f(2π,T)＝2πf.可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢．简谐运动的表达式也可写成：x＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)t＋φ))或x＝Asin(2πft＋φ)．3．式中(ωt＋φ)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，单位为弧度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．4．式中φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．5．相位差：即某一时刻的相位之差两个具有相同ω．的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.【例5】有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20cm，振子在2s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开头计时(t＝0)，经过eq\f(1,4)周期振子有负向最大位移．(1)求该振子的振幅和周期；(2)画出该振子的位移—时间图象；(3)写出该振子的振动方程．【答案】(1)10cm0.2s(2)图见解析(3)x＝10sin(10πt＋π)cm【解析】(1)弹簧振子在B、C之间做简谐运动，故振幅A＝10cm，振子在2s内完成了10次全振动，振子的周期T＝eq\f(t,n)＝0.2s.(2)振子从平衡位置开头计时，故t＝0时刻，位移是零，经eq\f(1,4)周期振子的位移为负向最大，故其位移—时间图象如图所示．(3)由函数图象可知振子的位移与时间函数关系式为：x＝10sin(10πt＋π)cm.考点考点题型考点01简谐振动的规律【例6】(多选)如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是()A．若位移为负值，则加速度肯定为正值B．振子通过平衡位置时，速度为零，位移最大C．振子每次通过平衡位置时，位移相同，速度也肯定相同D．振子每次通过同一位置时，其速度不肯定相同，但位移肯定相同【答案】AD【解析】F=-kx，位移为负值，振子在平衡点左侧，回复力为正，A正确；振子通过平衡位置时位移为0，速度最大，B错误，D正确；振子通过平衡位置时，位移为0相同，但速度方向可能不同，C错误；【例7】(多选)如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，关于振子的运动，下列说法正确的是（）A．振子从A点运动到C点时位移大小为OC，方向向右B．振子从C点运动到A点时位移大小为CA，方向向右C．振子从A点运动到C点的过程中，速度在增大，加速度在减小D．振子从A点运动到O点的过程中，速度先增大后减小，加速度先减小后增大【答案】AC【解析】位移定义为从平衡位置指向振子位置，所以运动到C点，位移为OC，方向向右，A正确；去整取零。t=1.36-1.2=0.16s，振子在其次个1/4周期，向左加速，C正确。考点02简谐振动图像问题【例8】某弹簧振子的振动图象如图所示。依据图象推断，下列说法正确的是A．第1s内振子相对于平衡位置的位移与速度方向相反B．第2s末振子相对于平衡位置的位移为－20cmC．第2s末和第3s末振子相对于平衡位置的位移不相同，但瞬时速度方向相反D．第1s内和第2s内振子相对于平衡位置的位移方向相同，瞬时速度方向相反【答案】D【解析】第1s内位移为正，速度为正，方向相同，A错误；第2s末位移为0，B错误；第2s末速度方向为负，第3s末位移为-20cm，速度为0，C错误；第1s内位移为正，速度为正，第2s内位移为正，速度为负，所以位移方向相同，速度方向相反，D正确。【例9】（多选）将某弹簧振子从平衡位置拉开4cm后放开，同时开头计时，弹簧振子的振动图像如图所示，则在t＝0.15s时()A．振子正在做加速度减小的加速运动 B．振子正在做加速度增大的减速运动C．振子速度方向沿x轴正方向 D．振子的位移肯定大于2cm【答案】BD【解析】由于振子在0.1－0.2s内做减速运动，所以振子在0.1－0.15s内运动的速度大于在0.15－0.2s内运动的速度，故在t＝0.15s时振子的位移肯定大于2cm，选项D正确．考点03依据简谐振动的对称性求时间【简谐运动的对称性】如图所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则有：(1)时间的对称：tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO，tDB＝tBD＝tAC＝tCA.(2)速度的对称①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反．②物体经过关于O点对称的两点(如C与D两点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．【例10】如图所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10cm的A、B两点，历时0.5s，过B点后再经过t＝0.5s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点从离开O点到再次回到O点历时(O点为AB的中点)()A．0.5sB．1.0sC．2.0sD．4.0s【答案】B【解析】由振动的对称性可知：O点为平衡位置，A、B两点对称分布在O点两侧，质点从O点向右运动到B点的时间应为tOB＝eq\f(1,2)×0.5s＝0.25s．质点从B点向右到达最大位移处D点的时间tBD＝eq\f(1,2)×0.5s＝0.25s．所以质点从离开O点到再次回到O点的时间t＝2tOD＝2×(0.25＋0.25)s＝1.0s，故正确选项为B.考点04简谐振动的多解问题【例11】一个质点在平衡位置O点四周做简谐运动。若从过O点开头计时，经过5s小球第一次经过M点，再连续运动，又经过2s它其次次经过M点。该小球做简谐运动的周期可能是多少?【答案】28s,8s【解析】假设质点从O向A运动，M在OA之间，则5+1=6s=1/4周期,T=24s。假设M在OB之间，则5+1=6s=3/4周期,T=8s。方法总方法总结1，简谐振动图像关于平衡点具有对称性。2，求t时刻的运动状态，对周期T去整取零。巩巩固练习1．(多选)关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是()A．做机械振动的物体必有一个平衡位置B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移【答案】AB【解析】AB符合机械振动的定义，AB正确；在平衡位置时位移为0，但路程不肯定为0，C错误；振子位移是振子位置相对于平衡位置的位移，随时间而变化，不是固定值，D错误。2、（多选）简谐振动的特点是（）A．回复力跟位移成正比且方向相反 B．速度跟位移成正比且方向相反C．加速度跟位移成正比且方向相反 D．加速度跟位移成正比且方向相同【答案】AC【解析】F=-kx，所以A正确；过平衡点时位移为0，速度最大，所以速度和位移不成正比，B错误；加速度和回复力成正比，F=-kx，C正确，D错误。3．(多选)弹簧振子以O点为平衡位置，在水平方向上的A、B两点间做简谐运动，以下说法正确的是()A．振子在A、B两点时的速度为零，位移不为零B．振子在通过O点时速度的方向将发生转变C．振子所受的弹力方向总跟速度方向相反D．振子离开O点的运动总是减速运动，靠近O点的运动总是加速运动【答案】AD【解析】振子在A时位移为负，在B时位移为正，瞬时速度都为0，A正确；通过O点速度方向不变，B错误；振子所受弹力和位移反向，不是和速度方向，比如从A向O运动时，速度和弹力同向，C错误；离开O时加速度方向和位移反向，所以减速，D正确。4．如图是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法不正确的是()A．该图像的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿垂直x轴方向移动的C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同【答案】B【解析】原点O处位移为0，所以原点在平衡位置，A正确；小球沿x方向振动，B错误；假如底片不动，拍摄的小球位置会重叠在一起，所以底片沿x轴匀速运动，C正确；拍摄时间相等，位置变化大，表示速度大，即位置变化快，D正确。5．如图甲所示为一弹簧振子的振动图象，规定向右的方向为正方向，图乙为弹簧振子的示意图，弹簧振子在F、G之间运动，E是振动的平衡位置，试依据图象分析以下问题：(1)如图乙所示，振子振动的起始位置是______(选填“E”“F”或“G”)，从初始位置开头，振子向______(选填“左”或“右”)运动。(2)在图乙中，找出图象中的A、B、C、D点各对应振动过程中的哪个位置？A对应______，B对应_______，C对应_______，D对应_______。(3)在t＝2s时，振子的速度方向与t＝0时速度方向________(选填“相同”或“相反”)。(4)振子在前4s内的位移等于________。【答案】(1)E右(2)GEFE(3)相反(4)0【解析】（1）t=0时，位移为0，所以位置为E，位移增大，所以向右运动。（2）由图像可知，A，B，C，D对应于G，E，F，E。（3）t=0时，速度为正，t=2s时，速度为负，所以反向相反。（4）T=4s，所以任意4s内位移为0。6．A、B两物体做简谐运动，在A物体振动20次的时间内，B物体振动15次，A、B两物体振动的周期之比为_______，频率之比为_______，若要求A、B都振动20次，需要的时间之比为_______。【答案】3:4；4:3；3:4【解析】TA=t/20,TB=t/15，所以TA:TB=3:4;f=1/T，所以频率之比为4:3;都振动20次，所需时间之比为周期之比=3:4。7．如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，其振动图像如图乙所示．由振动图像可以得知（）A．振子的振动周期等于t1B．在时刻，振子的位置在a点C．在时刻，振子的速度为零D．从t1到t2，振子正从O点向b点运动【答案】D【解析】从t1到t2，位移从0增大到最大值，所以从O运动到b，D正确。8．(多选)如图所示为质点P在0～4s内的振动图象，下列叙述正确的是()A．再过1s，该质点的位移是正向最大 B．再过1s，该质点的速度方向向上C．再过1s，该质点运动到平衡位置 D．再过1s，该质点的速度为零【答案】AD【解析】T=4s,t=4s时，质点在平衡位置，再过1s，即1/4周期，质点到达最大位移处，速度为0，所以AD正确。9．如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是()A．由P→Q位移在增大 B．由P→Q速度在增大C．由M→N速度是先减小后增大D．由M→N位移始终减小【答案】A【解析】从P到Q位移增大，速度减小，所以A正确，B错误；从M到N速度先增大后减小，位移先减小后增大，所以CD错误。10．(多选)一个质点以O为中心做简谐运动，位移随时间变化的图象如图，a、b、c、d表示质点在不同时刻的相应位置.下列说法正确的是()A.质点通过位置c时速度最大，加速度为零B.质点通过位置b时，相对平衡位置的位移为eq\f(A,2)C.质点从位置a到位置c和从位置b到位置d所用时间相等D.质点从位置a到位置b和从位置b到位置c的平均速度相等【答案】AC【解析】过平衡位置时速度最大，位移为0，回复力为0，加速度为0，A正确；从a到c速度渐渐增大，所以从a到b时间为其一半，位移小于振幅一般，B错误；从a到c为1/4周期，从b到d也是1/4周期，所用时间相等，C正确；从a到b的平均速度小于从b到c的平均速度，D错误。11．做简谐振动的物体，当振子位移为负值时（）A．速度不肯定为正，加速度肯定为正 B．速度肯定为正，加速度肯定为负C．速度肯定为负，加速度肯定为正 D．速度肯定为负，加速度也肯定为负【答案】A【解析】F=-kx，所以位移为负时，加速度肯定为正，远离平衡位置时速度为正，靠近平衡位置时速度为负，即速度可能为正，也可能为负，所以A正确。12．一个质点做简谐运动，振幅是4cm，频率是2.5Hz，该质点从平衡位置起向正方向运动，经过2.5s质点的位移和路程分别是（）A．4cm，24cm B．－4cm，100cm C．0，100cm D．4cm，100cm【答案】D【解析】去整取零。T=1/f=0.4s,去整取零再过2.5s，即等同于再过0.1s，即1/4周期，所以位移为最大，x=4cm。1/4周期路程为A，所以路程为2.5/0.1×4=100cm。13．某质点的振动图像如图，则下列说法正确的是（）A．该质点振动的周期是2sB．在1～2s内质点做初速度为零的变加速运动C．在1.5s和2.5s末，质点的速度相同，加速度相同D．在2.5s和3.5s末，质点的位移相同，速度相同【答案】B【解析】振动周期T=4s，所以A错误；t=1s是振子在最大位移，速度为0，1～2s内加速度渐渐减小，所以做变加速运动，B正确；t=1.5s和2.5s末，由对称性可知，速度相等，但加速度反向，C错误；在2.5s和3.5s末，质点的位移相同，速度反向，D错误。14．如图是甲、乙两质量相等的振子做简谐振动的图像，则（）A．在1－3s内，甲走过的路程是4cm，乙走过的路程是1cmB．甲的最大速度和乙的最大速度大小相等C．前2s内甲、乙两振子的加速度均为正值D．第2s末甲的速度最大，乙的加速度最大【答案】D【解析】在1－3s内，甲走过的路程是3A=6cm，所以A错误；速度用斜率推断，在平衡位置时，甲和乙的斜率不同，所以速度不同，B错误；前2s内甲乙的位移为正，所以加速度均为负，C错误；第2s末甲的位移为0，所以速度最大，乙的位移最大，所以加速度最大，D正确。15．如图甲所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置。如图乙所示是振子做简谐运动的位移—时间图象。下面四个图象中：（1）能正确反映振子加速度变化状况的是 （）（2）能反映振子速度变化状况的是 （）【答案】（1）C（2）A【解析】F=-kx，振子加速度变化图像为C。在O点速度最大，且为正，所以速度图像为A。16．如图所示为一个弹簧振子做简谐振动的图像，以某时刻为计时零点（t＝0），经过1/4周期时，振子具有正方向最大加速度，则其振动图像是（）【答案】D【解析】F=-kx，振子具有正方向最大加速度时，振子位移为负向最大值，D图像表示再过1/4周期到达负向最大值，符合条件，所以D正确。17.一个弹簧振子的振动周期为0.4s，当振子从平衡位置开头向右运动，经过1.36s时（ ）A．振子向右做加速运动 B．振子向右做减速运动C．振子向左做加速运动 D．振子向左做减速运动【答案】C【解析】去整取零。t=1.36-1.2=0.16s，振子在其次个1/4周期，向左加速，C正确。18.一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列叙述中正确的是()A．质点的振动频率为4HzB．在10s内质点经过的路程为20cmC．在5s末，质点做简谐运动的相位为eq\f(3,2)πD．t＝1.5s和t＝4.5