新高考数学一轮复习精讲精练6.4 计数原理及排列组合（基础版）（原卷版）

6.4计数原理及排列组合（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一排队问题【例1】（2022·广东）有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．(1)选5人排成一排；(2)全体站成一排，女生互不相邻；(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；(5)男生顺序已定，女生顺序不定；(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．【一隅三反】1．（2022·河北·藁城新冀明中学）有SKIPIF1<0名男生和甲、乙SKIPIF1<0名女生排成一排，求下列情况各有多少种不同的排法？(1)女生甲排在正中间；(2)SKIPIF1<0名女生不相邻；(3)女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）；(4)SKIPIF1<0名女生中间恰有SKIPIF1<0名男生．2．（2022·全国·高三专题练习）某种产品的加工需要经过SKIPIF1<0道工序．(1)如果工序SKIPIF1<0不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（数字作答）(2)如果工序SKIPIF1<0必须相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）(3)如果工序C，D必须不能相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）3．（2022·全国·高三专题练习）现有8个人SKIPIF1<0男3女）站成一排.(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？考点二排数问题【例2】（2022·江苏）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个?【一隅三反】1．（2022·吉林）从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）2．（2022·全国·高三专题练习）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问（1）能够组成多少个五位奇数？（2）能够组成多少个正整数？（3）能够组成多少个大于40000的正整数？3．（2021·民大附中海南陵水分校）用0、1、2、3、4五个数字:(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．考点三分组分配【例3】（2022·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）为宣传城市文化，提高城市知名度，我市某所学校5位同学各自随机从“趵突腾空”、“历山览胜”、“明湖汇泊”三个城市推荐词中选择一个，来确定该学校所推荐的景点，则三个推荐词都有人选的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·河北·邢台市南和区第一中学）某研究机构采访了“—带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词表达对中国的印象，使用频率前12的关键词为高铁，移动支付，网购，共享单车、一带一路、无人机、大熊猫、广场舞、中华美食、长城、京剧、美丽乡村．其中使用频率排前4的关键词“高铁、移动支付、网购、共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”．若将这12个关键词平均分成3组，且各组都包含“新四大发明”关键词．则不同的分法种数为（

）A．1680 B．3360 C．6720 D．100803．（2022·河北省曲阳县第一高级中学）某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（

）A．72 B．84 C．90 D．96考点四涂色【例4】（2022·浙江·）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（

）A．480 B．720 C．1080 D．1200【举一反三】1．（2022·山东烟台）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事件A：“区域1和区域3颜色不同”，事件B：“所有区域颜色均不相同”，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·河北·藁城新冀明中学）有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（

）A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种3（2022·广东广州）如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（

）A．24种 B．48种 C．72种 D．96种6.4计数原理及排列组合（精练）（基础版）题组一题组一排队问题1．（2023·全国·高三专题练习）高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（

）A．72 B．144 C．48 D．362．（2022·四川成都·模拟预测（理））国庆放假期间，4号到7号安排甲乙丙三人值班，其中，乙和丙各值班1天，甲连续值班2天，则所有的安排方法共有________种.3．（2022·浙江）一位老师随机分发六位同学的作业，恰好只有二位同学拿到自己的作业，则不同的分发数是_____.4．（2022·上海青浦·二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示）5．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）英文单词"sentence”由8个字母构成，将这8个字母组合排列，且两个n不相邻一共可以得到英文单词的个数为（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）6．（2022·河南驻马店）3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．(1)从中选出2名男生和2名女生排成一列；(2)全体站成一排，男生不能站一起；(3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾．(4)全体站成一排，甲、乙必须站在一起，而丙、丁不能站在一起；7．（2022·河北·沧县中学）已知SKIPIF1<0五名同学，按下列要求进行排列，求所有满足条件的排列方法数.(1)把5名同学排成一排且SKIPIF1<0相邻；(2)把5名同学排成一排且SKIPIF1<0互不相邻；(3)把5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且SKIPIF1<0不相邻.8．（2022·全国·高三专题练习）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起．9．（2022·广东·南海中学）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．(1)选5名同学排成一排；(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；(5)全体站成一排，男生排在一起；(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．10（2022·天津市蓟州区第一中学）从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；(2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；(3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；(4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；(5)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.题组二题组二排数问题1．（2022·陕西·长安一中）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）2．（2022·浙江省临安中学模拟预测）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可以表示为“SKIPIF1<0”，26可以表示为“SKIPIF1<0”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9个数字表示两位数的个数为_________.3．（2022·山东泰安）盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6.现从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位、十位与个位数字.(1)一共能组成多少个不同的三位数？(2)一共能组成多少个不同的大于500的三位数？3．（2022·浙江·罗浮中学）用0，1，2，3，4五个数字．(1)可以排成多少个不重复的能被2整除的五位数？(2)可以排成多少个四位数？(3)可以排成多少个四位数字的电话号码？4（2022·河北·藁城新冀明中学）现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？（4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？5．（2022·全国·高三专题练习）从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数.试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个？(3)两个偶数不相邻的四位数有几个？（所有结果均用数值表示）6．（2022·全国·高三专题练习）已知从1，3，5，7，9任取两个数，从0，2，4，6，8中任取两个数，组成没有重复的数字的四位数．（Ⅰ）可以组成多少个不含有数字0的四位数？（Ⅱ）可以组成多少个四位偶数？（Ⅲ）可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数？（所有结果均用数值表示）7．（2022·江苏·泰兴市第一高级中学高二阶段练习）从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，组成没有重复数字的七位数，试问：（1）能组成多少个这样的七位数？（2）3个偶数排在一起的七位数有多少个？（3）任意2个偶数都不相邻的七位数有多少个？题组三题组三分组分配1．（2023·全国·高三专题练习）甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（

）种.A．24 B．96 C．174 D．1752．（2022·河南·郑州四中）5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，则不同的安排方法共有（

）A．30种 B．90种 C．120种 D．150种3．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）将3本不同的画册和2本相同的图册分给甲、乙、丙三人，要求每人至少1本画册或图册，则不同的分法共有（

）A．90种 B．93种C．96种 D．99种4（2022·山东·模拟预测）2022年北京冬奥会共计有7大项､15个分项以及109个小项目，其中北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有的雪上项目北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同的报名方案有（

）A．8 B．14 C．6 D．205．（2022·重庆八中模拟预测）开学伊始，甲､乙､丙､丁四名校长分别去南校门，北校门和东校门组织迎接新生工作，要求每个校门至少安排一名校长，且甲校长必须安排到南校门，则不同的安排方式有（

）A．6种 B．12种 C．15种 D．18种6．（2022·河北·石家庄市第十五中学）近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派5名医务工作者参加登记､接种､留观3项工作，每人参加1项，接种工作至少需要2人参加，登记､留观至少1人参加，则不同的安排方式有（

）A．50 B．80 C．140 D．1807．（2022·浙江）25某高中举办2022年“书香涵泳，润泽心灵”读书节活动，设有“优秀征文”､“好书推荐语展示”和“演讲”三个项目.某班级有7名同学报名参加，要求每人限报一项，每个项目至少2人参加，则报名的不同方案有（

）A．420种 B．630种 C．1260种 D．1890种8．（2022·福建·三明一中）（多选）某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则（

）A．甲乙都不选的方案共有432种B．选甲不选乙的方案共有216种C．甲乙都选的方案共有96种D．这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种9．（2022·广西）（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？题组四题组四涂色1．（2022·重庆九龙坡）随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选择，则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·福建三明）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（

）A．180 B．192 C．300 D．4203．（2021·广西·钦州市大寺中学）如图所示是由一个圆､一个三角形和一个长方形构成的图形，现有红､蓝两种颜色随意为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则相邻两个图形颜色不相同的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·江西·景德镇一中）如图所示，积木拼盘由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为相邻区域，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（

）A．780 B．840 C．900 D．9605．（2021·江西·横峰中学）如图所示的几何体由三棱锥SKIPIF1<0与三棱柱SKIPIF1<0组合而成，现用SKIPIF1<0种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面SKIPIF1<0不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（

）A．SKIPIF1<0种 B．SKIPIF1<0种C．SKIPIF1<0种 D．SKIPIF1<0种\6．（2022·重庆市璧山中学校）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有SKIPIF1<0种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（）A．SKIPIF1<0种 B．SKIPIF1<0种 C．SKIPIF1<0种 D．SKIPIF1<0种7．（2022·广东·揭阳市榕城区仙桥中学）现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（

）A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种8．（2022·全国·高三课时练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（

）A．120种 B．720种 C．840种 D．960种9．（2022·黑龙江齐齐哈尔）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美