第八章平面解析几何

平面解析几何

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第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程

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1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

2.掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式

等)，了解斜截式与一次函数的关系.

<>主干知识•练中回扣。ZHUGASZHISHI1.1\NZHOS<；HVIK(>f忆教材夯基提能

••>知识清单

一、必备知识

1.直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角

①一个前提：直线1与X轴相交；

一个基准：取区作为基准；

两个方向：X轴正方向与直线1向上的方向.

②当直线1与X轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为

③倾斜角的取值范围为笆3).

(2)直线的斜率

①定义：若直线的倾斜角。不是90。，贝IJ斜率k=tan&

②计算公式：若由A(xi,y,),B(X2,y2)确定的直线不垂直于x轴，贝U1<=池三3

X?一耳』

2.直线方程的几种形式

名称条件方程适用范围

y-y丘

点斜式斜率k与点(xo,y°)不含直线X=Xo

k(x—xp)

斜截式斜率k与截距bY=kx+b不含垂直于X轴的直线

y-yi_

y2—y】一不含直线X=Xi(Xi=X2)和

两点式两点(xi,yi),(X2,y)

2X-X]直线y=yi(yi=y2)

X2-X』

x.y不含垂直于坐标轴和过原

截距式截距a与b=+.=]

a-b—点的直线

Ax+By+C=0(A2+平面直角坐标系内的直线

一般式—

B2,0)都适用

二、必记结论

直线的斜率k与倾斜角e之间的关系

00°0°<0<90°90°90°<0<180°

k0k>0不存在k<0

牢记口诀：

“斜率变化分两段，90。是分界线；

遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.

••>对点演练

一、思考辨析

判断下列结论的正误.(正确的打“小，错误的打“X”)

(1)坐标平面内的任何•条直线均有倾斜角与斜率.()

⑵过点M(a,b),N(b,a)(arb)的直线的倾斜角是45。.()

(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大.()

(4)经过点P(x(),y°)的直线都可以用方程y—yo=k(x—X。)表示.()

(5)经过任意两个不同的点P|(X[,y,),P2(x2)y2)的直线都可以用方程(y-yi)(X2—xD=(x

一xD(y2-yi)表示•()

提示：(1)错误.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，但斜率不一定存在.

⑵错误.因为过点M(a,b),N(b,a)(arb)的直线的斜率为-1,故其倾斜角是13为.

(3)错误.因为k=tanO偌)当Oe0,桐，0越大，斜率k就越大，同样0金兀)时

也是如此，但当06(0,兀)且0奇时，不符合。越大，斜率k就越大.

(4)错误.经过点P(x0,y。)的直线只有当其斜率存在时才可以用方程丫-丫0=1<仪-*0)表示.

(5)正确.直线PR的方程不管其斜率存在与否都可以用方程(y-yi)(x2-xi)=(x-xj(y2

-yi)表示.

答案：(l)x(2)x(3)x(4)x(5)4

二、牛刀小试

1.直线x=2的斜率为()

A.0B.2C.4D.不存在

解析：选D因为直线x=2垂直于x轴，故其斜率不存在.

2.直线小x—y+a=O的倾斜角为()

A.30°B.60°C.150°D.120°

解析：选Bk=tana=y[3,X00<a<180°,/.a=60°.

3.(2015・临川模拟)直线kx-y+2=4k,当k变化时，所有直线都通过定点()

A.(0,0)B.(2,1)C.(4,2)D.(2,4)

解析：选C直线方程可化为k(x-4)-(y-2)=0,所以直线恒过定点(4,2).

4.过两点A(0,1),B(-2,3)的直线方程为.

解析：由两点式方程可得='三，整理得x+y-l=O.

3-1-2-0

答案：x+y-l=O

5.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线，则a的值为.

5—3a—3

解析：k=7—-=1,k=-~^=@-3.由于人，B,C三点共线，所以a-3=1,即a

AC6-4AB5-4

=4.

答案：4

<2>热点题型•分类突破<>"""、一・,析考点强化认知

考点一直线的倾斜角与斜率

[1501]⑴直线2xcosa—y—3=O(ad余部的倾斜角的取值范围是()

(2)直线1过点P(l,0),且与以A(2,1),B(O,小)为端点的线段有公共点，则直线I斜

率的取值范围为.

[听前试做]⑴直线2xcosa-y-3=0的斜率k=2cosct,因为ae聿，鼻，所以3cos

因此k=2-cosad[l,小].设直线的倾斜角为0,则有tan0d[l,小].又。e[0,

兀)，所以0G1,即倾斜角的取值范围是，!

(2)

1—0

如图，•..kAP=7T7=l,

,小-0H

kBP=q"7=-W，

kG(-oo,-小］U［1,+co).

答案：(1)B(2)(-00,-小］U［1,+oo)

［探究1］若将题(2)中P(l,0)改为P(-l,0),其他条件不变，求直线1斜率的取值范围.

解：0),A(2,1),B(0,小),

..I-Q_1

,,KAP-2-(-1)-3'

kBP=oW］；)=6

如图可知，直线1斜率的取值范围为去小］

［探究2］若将题(2)条件改为“经过P(0,一1)作直线1,若直线1与连接A(l,-2),B(2,

1)的线段总有公共点”，求直线1的倾斜角a的范围.

—2—(—1)］—(—［)

解：法一：如图所示，kpA=----1----=-1,kpB=----------=L由图可观察出:

直线1倾斜角a的范围是向,U律兀)

法二：由题意知，直线I存在斜率.设直线1的斜率为k,

则直线1的方程为y+1=kx,即kx-y-1=0.

VA,B两点在直线的两侧或其中一点在直线I上.

A(k+2-l)(2k-1-1)<0,即2(k+l)(k-l)<0.

:.-l<k<l.

.,.直线1的倾斜角a的范围是在，；］口［,，兀).

［探究3］将题(2)改为：已知实数x,y满足2x+y=8,当2sxs3时，则制最大值为

;最小值为•

解析：本题可先作出函数y=8-2x(2Wx/3)的图象，把(看成过点(x,y)和原点的直线的

斜率进行求解.

如图，设点P(x,y),因为x,y满足2x+y=8,且2gxS3,所以点P(x,y)在线段AB上

移动，并且A,B两点的坐标分别是A(2,4),B(3,2).因为(的几何意义是直线OP的斜率,

2V2

且koA=2,k<)B=7,所以己的最大值为2,最小值为、

3X3

答案：212

方法•规律

求倾斜角的注意点及其取值范围的一般步骤

求倾斜角时要注意斜率是否存在.求其取值范围的一般步骤为：

(1)求出斜率k=tana的取值范围；

(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角a的取值范围.

一变式训练

已知两点A(一小，3),B(l,一啊,直线1的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线

1的斜率为.

解析：设直线1的倾斜角为a,则直线AB的倾斜角为2a,

3-(一小)

则由题可知tan2a

一小-I_布

所以2a=120。，解得tana=小，即直线1的斜率为小.

答案：A/3

考点二直线方程

［例2］求适合下列条件的直线方程：

(1)直线过点(一3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12；

(2)直线过点(5,10),且原点到直线的距离为5.

［听前试做］(1)由题设知截距不为0,设直线方程为：一=1,

a1幺a

—34

从而---+;o_=1,解得a=-4或9.

a12.一a

故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.

(2)依题设知此直线的斜率可能不存在.

当斜率不存在时，所求直线方程为x-5=0;

当斜率存在时，设其斜率为k,则y-10=k(x-5),

即kx-y+(10-5k)=0.

iin-skia

由点到直线的距离公式得：喂当=5,解得卜=去

+14

故所求直线的方程为3x-4y+25=0.

综上，所求直线的方程为x-5=0或3x-4y+25=0.

方族•规律

求直线方程的注意点

在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.

(1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在；

(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直

线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零.

一变式训练

经过点P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是()

A.8x+5y+20=0或2x-5y-12=0

B.8x-5y-20=0或2x-5y+10=0

C.8x+5y+10=0或2x+5y-10=0

D.8x-5y+20=0或2x-5y-10=0

解析：选D由题意设所求方程为y+4=k(x+5),即kx-y+5k-4=0.由-

482

4|-r-5=5得，k=w或k=w.将k代入可得直线方程.

KDJ

考点三直线方程的综合应用

直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中经常与其他知识结合考查，多以选

择、填空题的形式呈现，难度不大，多为中、低档题目，且主要有以下几个命题角度：

角度一：与基本不等式结合求最值问题

［例3］(2014•四川高考)设mGR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线

mx—y-m+3=0交于点P(x,y),则|PAHPB|的最大值是.

［听前试做］易求定点A(0,0),B(l,3).当P与A和B均不重合时，因为P为直线x

+my=0与mx-y-m+3=0的交点，且易知两直线垂直,则PA_LPB,所以|PA『+|PB|2=|AB|2

ipAi2+|PBF

=10,所以|PAHPB|g-_'-MSI当且仅当|PA|=|PB|=小时，等号成立)；当P与A或B

重合时，|PA|-|PB|=0,故|PAHPB|的最大值是5.

答案:5

角度二：与圆相结合求解直线方程

［例4］(2014•福建高考)已知直线1过圆x2+(y-3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0

垂直，贝也的方程是()

A.x+y—2=0B.x—y+2=0

C.x+y—3=0D.x—y+3=0

［听前试做」依题意，得直线1过点(0,3),斜率为1,所以直线1的方程为y-3=x-0,

即x-y+3=0.故选D.

答案：D

角度三：由直线方程求参数问题

22

［例5］(2015・泰安模拟)已知直线h：ax—2y=2a—4,12：2x+ay=2a+4,当0<a<2

时.，直线h,b与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a=.

［听前试做］由题意知直线h,b恒过定点P(2,2),直线L的纵截距为2-a,直线I2的

横截距为J+2,所以四边形的面积S=；x2x(2-a)+；x2x(a?+2)=a?-a+4=(a-J)+与，

当a=g时，面积最小.

答案：|

方法•规律

与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等

式求解最值.

(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.

(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调

性或基本不等式求解.

口变式训练

L已知直线1过点M(l,1),且与x轴，y轴的正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原

点，则当QA|+|OB|取得最小值时，直线1的方程为.

解析：设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).设直线1的方程为：+*=1,则,+1=1,所以

3DaD

|OA|+|OB|=a+b=(a+b)(；+()=2+^+^>2+2-^^=4,当且仅当a=b=2时取等号，

此时直线I的方程为x+y-2=0.

答案：x+y—2=0

2.(2015•济宁一模)如果直线x—2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,

那么b的取值范围是()

A.[—2,2]B.(—co,—2]U[2,+oo)

C.[-2,0)0(0,2]D.(-00,+oo)

解析：选C令x=0,得y=?,令y=0,得x=-b,所以所求三角形面积为:号|-

b|=1b*2,且b邦，1b2<l,所以b2",所以be［-2,0)U(0,2］.

［课堂归纳——通法领悟］

1个关系——直线的倾斜角和斜率的关系

斜率k是一个实数，当倾斜角aW90。时，k=tana.直线都有倾斜角，但并不是每条直线

都存在斜率，倾斜角为90。的直线无斜率.

2种方法——求直线方程的方法

(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程.

(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件中构造关于待定系数

的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程.

4个注意点——直线方程的4个注意点

(1)利用两点式计算斜率时易忽视X|=X2时斜率k不存在的情况.

(2)用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，

否则会造成失误.

(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式.

(4)由一般式Ax+By+C=0确定斜率k时易忽视判断B是否为。的情况，当B=0时，

A

k不存在；当B#0时，k=-g.

<>能力素养•综合验收。NKNGLIStYZOSCHEY.WSHOI练技,能查漏补缺

•对应学生用书P302

［全盘巩固］

一、选择题

1.直线1：xsin30o+ycos150。+1=0的斜率是()

A坐B.A/3C.一小D.—j

解析：选A设直线1的斜率为k,则k=-丹黑=坐

2.(2015•西安模拟)过点(小，一2)的直线1经过圆x2+y2-2y=0的圆心，则直线I的倾

斜角大小为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

-2-1

解析：选C圆心坐标为(0,1),斜率k=tana=小_0-=-小,，倾斜角a=120。.

22

3.过点A(4,-1)和双曲线/一根=1的右焦点的直线方程为()

A.y=x—5B.y=2x—9

C.y=3x—7D.y=4x—17

X2v2、

解析：选A由于双曲线不-y=1的右焦点的坐标是(5,0),因此过点A(4,-1)和双

y10

X2丫21

曲线§-七=1的右焦点的直线方程为y=yr^x(x-5),即y=x-5.

4.直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限，则a,b,c应满足()

A.ab>0,bc<0B.ab>0,bc>0

C.ab<0,bc>0D.ab<0,bc<0

解析：选A由于直线ax+by+c=0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方

程变形为丫=一&一a易知d<0且一，>0,故ab>0,be<0.

bbbb

5.若实数a,b满足a+2b=3,则直线2ax—by—12=0必过定点()

A.(-2,8)B.(2,8)

C.(-2,-8)D.(2,-8)

角翠析：选Da+2b=34a+8b—12=0,X2ax-by-12=0,比较可次口x=2,y=-8,

故选D.

6.(2013•山东高考)过点(3,1)作圆(x—1)?+/=1的两条切线，切点分别为A,B,则直

线AB的方程为()

A.2x+y—3=0B.2x—y—3=0

C.4x—y—3=0D.4x+y—3=0

解析：选A根据平面几何知识，直线AB一定与点(3,1),(1,0)的连线垂直，这两点

连线的斜率为:，故直线AB的斜率一定是-2,只有选项A中直线的斜率为-2.

7.(2015•深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线11：ax+y+b=0和直线卜：bx+y

+a=0有可能是()

ABCD

解析：选B直线1］：ax+y+b=0的斜率的=-a,在y轴上的截距为-b;直线b：bx

+y+a=0的斜率k2=-b,在y轴上的截距为-a.在选项A中k的斜率-b<0,而1］在y轴

上截距-b>0,所以A不正确.同理可排除C、D.

兀

8.(2015•哈尔滨模拟)函数y=asinx—bcosx的一条对称轴为x=1,则直线1：ax—by+

c=0的倾斜角为()

A.45°B.60°C.120°D.135°

解析：选D由函数丫=闷=25亩乂-卜0$乂的一条对称轴为乂=：知，f(0)=(§,即-b

=a,二直线1的斜率为-1,二倾斜角为135。.

二、填空题

9.若直线1与直线y=l,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),

则直线1的斜率为.

解析：设P(xp,1),由题意及中点坐标公式得xp+7=2,解得Xp=-5,即P(-5,1),

所以k=-；.

答案：一g

10.(2015•中山模拟)过点M(-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为

解析：(1)当直线过原点时，直线方程为y=-1x;

(2)当直线不过原点时，设直线方程为:+1—=1,

即x-y=a.代入点(-3,5),得a=-8.

即直线方程为x-y+8=0.

答案：y=—|x或x—y+8=0

11.(2015・泉州模拟)若点(m,n)在直线4x+3y—10=0上，则n?+i?的最小值是.

解析：因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上，所以4m+3n-10=0,利用rr^+n?表

示为直线上的点到原点距离的平方的最小值来分析可知，m*2*+n2的最小值为4.

答案：4

12.(2015・贵阳模拟)直线1经过点A(l,2),在x轴上的截距的取值范围是(一3,3),则

其斜率的取值范围是.

,2

解析：设直线1的斜率为k,则方程为y-2=k(x-1),在x轴上的截距为1-令-3

K

21

<1-r<3,解得k〈-1或k>T.

K，

答案：(-8,-l)uQ,+8)

三、解答题

13.已知两点A(-l,2),B(m,3).

(1)求直线AB的方程；

(2)已知实数mW—坐一1,小一1,求直线AB的倾斜角a的取值范围.

解：(1)当m=-l时，直线AB的方程为x=-1;

当mW-1时，直线AB的方程为y-2=」~r(x+1).

/m+r7

jr

(2)①当m=-1时，a=2；

②当mA1时，m+le-坐，0)U(0,小］,

•"=尚，(-8，-小］U停+8),

~71兀、(7127fl

二。n-2)U\2,Tj

综合①②知，直线AB的倾斜角ad亲，朗.

［冲击名校］

1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为a,且sina+cosa=0,则a,b满足()

A.a+b=1B.a—b=l

C.a+b=0D.a-b=0

解析：选D因为sina+cosa=0,所以tana=-1.又因为a为倾斜角，所以斜率卜=

-1.而直线ax+by+c=0的斜率k=-奈所以即a-b=0.

2.(2015・杭州模拟)已知f(x)是函数f(x)的导函数，如果F(x)是二次函数，f(x)的图象开

口向上，顶点坐标为(1,小)，那么曲线y=f(x)上任意一点处的切线的倾斜角a的取值范围

是()

「兀2兀~|「兀、

喝TjDbn)

解析：选B由题意知？(x)=a(x-I)?+，5(a>0),所以F(x)=a(x-1了+仍之小，即tan

r-「兀兀、

a>V3,所以2),

3.(2015•太原模拟)已知数列｛aj的通项公式为af(缶)⑺。*),其前n项和Sn=

得，则直线言y+；=l与坐标轴所围成三角形的面积为()

A.36B.45C.50D.55

解析：选B由斯金(n\)，可知2，，=(-尚，

919

又知工=而，，1-寸7=而，即n=9.

，直线方程为高+'=1,且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9),

1U7

直线与坐标轴所围成的三角形的面积为:x10x9=45.

4.已知直线1与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线1的方

程：

(1)过定点A(—3,4)；

(2)斜率为5.

4

解：(1)设直线1的方程为y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分另U是-工-3,3k+

K

4,

由已知,得(3k+4)0+3)=±6,

7Q

解得k|=或k2=

故直线1的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.

(2)设直线I在y轴上的截距为b,则直线1的方程是y=3+b,它在x轴上的截距是-

6b,

由已知，得|-6b・b|=6,/.b=±1.

直线1的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.

第二节两直线的位置关系

考纲下我

1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.

2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.

3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

＜＞主干知识•练中回扣。ZHI＜；\XZHISHII.IAXZHOXCHllKOf•忆教材夯基提能

•对应学生用书P152

知识清单

一、必备知识

1.两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

①对于两条不重合的直线h,b其斜率分别为k1,k2,则有ki=k2；

②当不重合的两条直线h,b的斜率都不存在时，L与1,的关系为平行.

(2)两条直线垂直

①如果两条直线h,b的斜率存在，设为如，k2,则hJJ2k|k2=-l；

②如果L,12中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率40时，h与12的关系为垂

2.两条直线的交点

3.三种距离

『吗=(x]—xi)「+(y)-yi)2

点P1(X1,y,),P2(X2,y2)之间的距离

lAx<)+By(,+C|

点Po(xo,yO)到直线1：Ax+By+C=0的距离

A/A2+B2

两条平行线Ax+By+C|=0与Ax+By+C2©二£2]

=0间的距离、/A*

二、必记结论

常见的直线系方程

:22

(1)过定点P(x(),y())的直线系方程：A(x—Xo)+B(y—yo)+C=O(A+B/0),还可表示为y

—yo=k(x—x())(斜率不存在时可设为x=xo).

(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+G=0(G#3).

(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Bx-Ay+G=0.

(4)过两条已知直线Aix+Biy+Ci=O,A2x+B2y+Cz=0交点的直线系方程：Aix+B〕y

+C।+X(A2X+B?y+C2)=0(其中不包括直线A2X+B2y+C2=0).

•>>对点演练

一、思考辨析

判断下列结论的正误.(正确的打“4”,错误的打“X”)

(1)当直线h和12斜率都存在时，一定有kI=k2h〃12.()

(2)如果两条直线h与b垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.()

(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()

(4)点P(x(),%)到直线y=kx+b的距离为)

(5)两平行直线2x-y+l=0,4x-2y+l=0间的距离是0.()

提示：⑴错误.当直线h和b斜率都存在时，虽然有ki=k2,但有可能重合.

(2)错误.两条直线h与b垂直，它们的斜率之积等于-1,或一条直线斜率不存在，另

一条直线斜率为0.

(3)正确.若两条直线组成的方程组有唯一解时，两条直线必相交.

(4)错误.点到直线的距离公式的使用条件是直线方程必须是一般式.

(5)错误.使用两条平行线间的距离公式的条件是两条直线方程都是一般式且一次项系数

相同.

答案：(l)x(2)x(3)4(4)x(5)x

二、牛刀小试

1.原点到直线x+2y—5=0的距离是()

A.1B./C.2D.y[5

I-5|

解析：选Dd=/=y[5.

11+?22?v

2.(2015・烟台模拟)已知直线h的方程为3x+4y—7=0,直线上的方程为6x+8y+1=0,

则直线h与12的距离为()

83

A.gB，2C.4D.8

解析：选B1]的方程可化为6x+8y-14=0,又因为卜的方程为6x+8y+1=0,所以

1]与b的£巨离d」J；/TA

3.两直线h：3x+4y—2=0和I2：3x+y+2=0的交点为

10

3x+4y-2=0,x=-g,

解析：解方程组

3x+y+2=04

y=3-

104A

交点坐标为9'3>

4.若直线x—2y+5=0与直线2x+my—6=0互相垂直，则头数m=.

解析：:直线x-2y+5=0与2x+my-6=0互相垂直，=-1,Am=1.

答案：1

<>热点题型•分类突破。析考点强化认知

•对应学生用书P153

考点一两条直线的平行与垂直问题

[例1](1)(2015・济南模拟)已知两条直线h：(a—l>x+2y+l=0,12：x+ay+3=0

平行，则a=()

A.-1B.2C.0或一2D.-1或2

(2)已知两直线方程分别为巾x+y=lj：ax+2y=0,若IJb,则a=.

(3)经过两直线h：x—2y+4=0和E：x+y—2=0的交点P,且与直线b：3x—4y+5=

0垂直的直线I的方程为.

[听前试做](1)若a=0,两直线方程为-x+2y+1=0和x=-3,此时两直线相交，不

平行，所以a和.当a#0时，若两直线平行，则有=$4，解得a=-l或a=2,选D.

(2)法一："'•k|k2=-I,即5=-1,解得a=-2.

法二：Vhih,r.a+2=0,a=-2.

[x-2y+4=0,fx=0,

(3)法一：由方程组得即P(0,2).

[x+y-2=0,[y=2,

4

Vl±l3,，直线1的斜率k|=

4

直线1的方程为y-2=-铲，

即4x+3y-6=0.

法二：•.•直线1过直线L和b的交点，

二可设直线1的方程为x-2y+4+Mx+y-2)=0,

即(1+X)x+(X-2)y+4-2X=0.

-1与b垂直,

/.3(1+X)+(-4)(X-2)=0,"=11,

直线1的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.

答案：(1)D(2)-2(3)4x+3y—6=0

［探究1］若将题⑵中条件‘'，卜''改为“h〃12”，其他条件不变，求a的值.

解：Aa=2.

［探究2］题(2)变为：“a=2”是“直线ax+2y=0与直线x+y=l平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

角星析：当a=2时，直线ax+2y=0即x+y=0与直线x+y=1平彳亍；当直线ax+2y=0

与直线x+y=l平行时，-1=-1,a=2.综上所述，“a=2”是"直线ax+2y=0与直线x+y

=1平行”的充要条件，故选C.

答案：C

［探究3］将题(3)中条件“与直线七：3x-4y+5=0垂直”改为“与直线b：3x-4y+5=0

平行“，求此时直线1的方程.

x-2y+4=0,x=0,

解：法一：由方程组得即P(0,2).

[x+y-2=0,ly=2,

3

直线1的斜率不

3

.•.直线1的方程为y-2=]x,即3x-4y+8=0.

法二：,/直线1过直线I,和12的交点，

可，殳直线1的方程为x-2y+4+X(x+y-2)=0,

即(1+X)x+(A.-2)y+4-2X=0.

VI与13平行，3(X-2)-(-4)(l+X)=0,且(-4)(4-2阴5。-2),

2

:,%=斤,直线1的方程为3x-4y+8=0.

方族•规律

用一般式确定两直线位置关系的方法

I[：A]X+B]y+G=0(A；+B：/))

直线方程

b：A2X+B?y+C2=0(A2+B狂0)

h与b垂直

A\A?+B|B=0

的充要条件2

与平行

hb9皖(A2B2c2划

的充分条件

h与b相交M(A2B2#))

的充分条件

1］与b重合111

T=B=r(A2B2C2#O)

的充分条件A?£>25

口变式训练

1.已知两条直线y=ax—2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a=.

解析：因为两直线垂直，所以a(a+2)+1=0,解得a=-l.

答案：一1

2.若直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a—l)y=-7+a平行，则实数a的值为.

a3

解析：显然当a=1时两直线不平行；当arl时，k[=-3k2=~-----,因为两条直线平

行，所以k]=k2,解得a=3或a=-2.经检验，a=-2时两直线重合，故a=3.

答案：3

考点二有关距离问题

[例2](1)(2015•安康模拟)点P到点A(l,0)和直线x=-1的距离相等，且P到直线y

=x的距离等于坐，这样的点P共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

(2)已知两条平行直线h：mx+8y+n=0与卜：2x+my—1=0间的距离为小，则直线h

的方程为.

[听前试做](1)设点P(x,y),由题意知

、（x-1）2+y2=|x+1|,且乎=晟

y=4x,

所以，

|x-y|=1,

y=4x,

x=3-2y[2yx=3+2y[2,

解①得

1,y=2-2y[2y=2+2隹

x=1,

解②得ly=2,

因此，这样的点P共有3个.

m=-4,

①当m=4时，直线11的方程为4x+8y+n=0,

把12的方程写成4x+8y-2=0,

.・ID2|==小解得口=-22或18.

y/16+64

故所求直线1|的方程为2x+4y—11=0或2x+4y+9=0.

②当m=-4时，直线1]的方程为4x-8y-n=0,

把12的方程写成为4x-8y-2=0,

；・L42=小解得n=-18或22.

<16+64v

故所求直线I］的方程为2x—4y+9=0或2x—4y—11=0.

答案：(1)C(2)2x±4y+9=0或2x±4y—11=0

方法•规律

与距离有关问题的解题策略

⑴点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.

(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两

定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便.

口变式训练

已知点P(2,-1),过点P且与原点的距离最大的直线1的方程为,

原点到直线1的最大距离为.

解析：作图可得过点P与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如