初中数学乘法公式

乘法公式

概念总汇

1、平方差公式

平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即

(a+b)(a-b)=a2-b-_____a

说明：

(1)几何解释平方差公式1I

如右图所示：边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形

—b

第一种：用正方形的面积公式计算：a2-b2；

第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为(a+b),宽为(a-b),

它的面积是：(a+b)(a—b)

结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。

所以：a2—b2=(a+b)(a—b)。

(2)在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只

有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公

式。平方差公式的a和b,可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。应用平方

差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算

2、完全平方公式

完全平方公式：两个数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的两

倍，即

(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2

这两个公式叫做完全平方公式。平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式

说明：

不

(1)几何解释完全平方(和)公式b

八

如图用多种形式计算右图的面积

第一种：把图形当做一个正方形来看，所以

a

它的面积就是：(a+b)2

第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的

长方形来看，其中大正方形的的边长是a,小正方形

的边长是b,长方形的长是a,宽是b,所以

它的面积就是：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积

所以：(a+b)2=a2+2ab+b2

(2)几何解释完全平方(差)公式

如图用多种形式计算阴影部分的面积

第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以

它的面积就是：(a-b)2

第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的

长方形来看，S阴影=S大j昉形-S小正方形-2xS长方形

其中大正方形的的边长是a,小正方形的边长是b,长方形的中€是(a-b),宽是b,所以

它的面积就是：a2-Z?2-2-(a-b)-b=a2-2ab+b2

结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积

所以：(a—bf=a2-2ab+b2

(3)在进行运算时，防止出现以下错误：(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2»要注意符号

的处理，不同的处理方法就有不同的解法，注意完全平方公式的变形的运用。完全平方公式

的a和b,可以表示任意的数或代数式，因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘，而可

以扩大到两个多项式相乘，但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式，完全平方

公式有着广泛的应用，尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用

方法引导

1、乘法公式的基本计算

例1利用平方差公式计算：

(1)(3x+5y)(3x—5y)；

(2)(0.5b+a)(-0.5b+a)

(3)(-m+n)(-m—n)

解：(1)(3x+5y)(3x-5y)=(3x)2-(5y)2=9x2-25y2

(a+b)(a—b)=a2—b2

(2)(0.5b+a)(-0.5b+a)=(a+0.5b)(a—0.5b)=a2-0.25b2

IIII

(a+b)(a—b)=a2—b2

(3)(—m+n)(—m—n)=(-m)2—n2=m2—n2

33

(a+b)(a—b)=a2—b2

【知识体验】仔细观察例题，看出两个多项式之间的相同点和不同点，找到两个多项式

的第一项相同，而第二项互为相反数，符合运用平方差公式的条件，利用公式解题，得出结

果

【解题技巧】平方差公式的基本在于找到两个多项式的相同项和不同项，相同项就是a,

不同项就是b和-b,所以多项式中项的位置颠倒时，可以先调换位置，再运用平方差公式

【搭配练习】

用平方差公式计算

(1)(―0.25x—y)(―0.25x+y)

(2)(—2x+3y)(—2x—3y)

(3)(2x—5)(2x+5)—(2x+l)(2x—1)

例2利用完全平方公式计算

(1)(2a+3)2(2)(0.5m-0.2n)2

(3)(-2x-3y)2(4)(L3x)(3x-l)

难度等级：A

解：(1)(2tz+3)2=(2af+2-2a-3+32=4a2+12a+9

(a+b)2a2+2ab+b2

(2)

(0.5m—0.2M)2=(0.5m)2—2-0.5m-0.2n+(0.2n)2=0.25m2—0.2mn+0.04i2

JJJJ

(a—bf=a2-lab+b1

(3)第一种解法：

(-2x-3y)2=(-2x)2-2-(-2%)-3y+(3y)2=4x2+12xy+9y2

，JJ(

(a—bf=a1-2ab+b2

第二种解法：

(-2x-3y)2=[-(2%+3y)]2=(2x+3y)2=(2x)2+2-2x•3y+(3y)2=4x2+12xy+9y2

JJ，(

(a+b)2=a2+2ab+b2

(4)(1-3x^3x-1)=-(3x-i^3x-1)

=-(3x-1)2=-[(3x)2-2-3X-1+12]=-|9X2-6X+1]=-9X2+6X-1

J(JJ

(a—Z>)2=a2-lab+b2

【知识体验】仔细观察例题，题目都应该符合完全平方的形式，然后根据公式写出结果。

第一步确定首尾，分别平方；第二步确定中间项的系数和符号，得出结论。

【解题技巧】第三题给出了两种解法，第二解法实质上是利用了乘方的性质，利用互为

相反数的嘉可以互相转化，改变了原本的形式，便于后续利用完全平方和的公式写出结果，

第一种虽然也可以得出正确结果，但涉及到符号问题较多，容易出现错误。第四题表面上看

上去不可以用乘法公式，但仔细观察可以发现，这两个多项式的每一项只有符号不同，其他

都相同，那么也可以利用乘方的性质，把式子进行转化，后续得出的就是一个带有负号的完

全平方式，但有一点还要注意的是-(3x-1)2中，应该先按照完全平方公式展开，再去掉负

号

【搭配练习】

利用完全平方公式计算

(1)(3«+2)2(2)(4Z?-3c)2

(2)(―O.lj>—0.3^)2(4)(5m-7«)(7H-5m)

2、简便计算

例3利用平方差公式简便计算

(1)103X97(2)59.8x60.2

难度等级：A

解：(1)103X97=(100+3)(100-3)=1002-32=10000-9=9991

(2)59.8x60.2=(60-0.2)(60+0.2)=602-0.22=3600-0.04=3599.96

【知识体验】既然是简便计算，就有巧算的变法，把两个因数分别进行改写，写成相同

的两个数的和与差相乘的形式，利用平方差公式求解。

【解题技巧】如果可以利用公式，那么103和97就分别是相同的两个数的和与差，那

么(103+97)+2得到的就是第一个数，即公式中的a,(103-97)+2得到的就是第二个数,

即公式中的b

【搭配练习】

利用平方差公式简便计算

(1)899X901+1

(2)982

17

(3)14-X13-

88

例4利用乘法公式简便计算

(1)9972(2)1009s(3)942-101x99

解：⑴

997=(1000-3)2=100(f-2x1000x3+32=1000000-600A9=99400S

(2)

100^=(1000^9)2=1006+2x10039+81=10000001800081=101808

(3)942-101x99=(100-6)2-(100+1X100-1)

=10tf-2xl00x6+62-(10tf-I2)

=1002-1200+36-100?+1

=-1200^36+1

=-1163

【知识体验】解题时要注意区分使用哪一种公式，平方差公式一定要是两数和与两数差

乘积的形式，完全平方公式一定是两数和或差的平方形式

【解题技巧】平方差公式是两个不同的数或式子相乘，完全平方公式是一个数或式子平

方的形式，当这两种公式混合在一起的时候要注意区别，分清属于哪一种

【搭配练习】

利用乘法公式简便计算

9972-1001X999

例题讲解

(一)题型分类全析

例1：下列计算正确的是()

A.(_4x)*+3x-1)=-8/_12x--4xB.(x+y/x?+y2)=/+y3

C.(-4a-lX4fl-l)=l-16a2D.(%_2yI=x2-2xy+4y2

【思维直现】根据单项式与多项式的乘法法则，(-4x)・(2X2+3X-1)=-8X3-12X2+4X,所

以A错；利用多项式乘法法则，计算(x+y)(x2+y2),得x'+xjANy+yS,所以B也不对；

利用平方差公式，有(-4a-l)(4a-l)=(-l-4aMl+4a)=(-l产-(4a产=1-I6a2,所以C是正确的；由完全

平方公式，#(x-2y)2=x2-4y+4y2,所以D错.因此,选C.

解：c

【阅读笔记】整式的乘法包括塞的乘法，单项式与单项式的乘法，单项式与多项式的乘

法，多项式与多项式的乘法，乘法公式；在解决问题时，要对号入住，看到题目，就要想到

用什么样的法则。

【题评解说】本题是常规题，都是考察学生的基本概念和基本法则。在做题时可以每道

都做一遍，验证正确或错误的选项。

【建议】如果遇到无法确定的时候，就说明知识点没有掌握清楚，此时的做题原则，就

是排除法，先选出与待选答案相反结论的选项，在排查剩余选项。

【搭配练习】

1、下列关系式中，正确的是()

A.(a—b)2=a2-b2B.(a+b)(a-b)=a2-b2

C.(a+b)2=a2+b2D.(a+b)2=a2-2ab+b2

2、下列计算正确的是()

A.(a+3b)(a-3b)=a2-3b2B.(-a+3b)(a-3b)=-a2-9b2

C.(-a-3b)(a-3b)=-a2+9b2D.(-a-3b)(a+3b)=a2-9b2

例2：多项式4/+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的

多项式可以是(填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况)

【思维直现】根据完全平方公式(a土b)2=a2±2ab+b?的特点，若4/+1表示了a?+b2的

话，则有a=2x,b=l,所以，缺少的一项为±2ab=±2(2x)T=±4x,此时，4x2+l±4x=(2x

+1)2；如果认为4/+1表示了2ab+b?的话，则有a=2x?,b=l,所以，缺少的一项为a?=(2x)

2=4x4,此时，4X4+4X2+1=(2X2+1)2,从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所

指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式.注意到4x2=(2xK，1=仔，所

以，保留二项式4炉+1中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可

以是-1或者-4x2,此时有4/+1/=4X2=(2X)2,或者4炉+1小2=仔.综上分析，可知所加

上的单项式可以是.

解：±4x、4x\-1或-4x2

【阅读笔记】成为一个整式的完全平方，并不一定指的是多项式形式的完全平方，还有

可能是单项式的完全平方。因为整式是单项式和多项式的统称。虽然经常见到的多项式形式

的完全平方，但单项式的完全平方也是成立的

【题评解说】本题是开放性的题目，主要考察学生对于完全平方公式的熟悉程度。如果

能把所有的情况都想清楚，当然更好。

【建议】题目的要求一定要看清楚，只要填写正确的一个即可，其他情况不做强制要求。

【搭配练习】

若一个多项式的平方的结果为4a2+12ab+m2,则m=()

A.9b2B.±3b2C.3bD.±3b

例3计算：

⑴mT"(

(2)(x+y-z/光-y+z)-(x+y+zXx-y-z)

(3)(a-3Z?+2c)2

难度等级：B

【思维直现】仔细观察式子，都可以利用平方差公式和完全平方公式。在使用之前，要

运用乘法的交换律和加法的结合律，还需要用到添括号法则，把式子变成符合公式的标准形

式

NW卜+{!

(2)(x+y-z)(x-y+z)—(x+y+zXx-y-z)

=x+(y-z)][x_(y-z)]-[x+(y+z)][x-(j+z)]

=x--(y-z^]-\x2-(y+z)2]

=x2-(y-z)2-x2+(y+z)2

=(y+z)2-(y-z)2

=y2+2yz+z2-(y2-2yz+z2)

=y2+2yz+z2-y2+2yz-z2

=4yz

(3)(a—3b+2cf=[(a-3b)+2c『=(a-3Z?)2+2-(a-3Z?)-2c+(2c)2

=«2-6ab+9b2+4ac-12bc+4c2

=a1+9b2+4c2-6ab+4ac-12bc

或者(a—3〃+2cy=[«—(3ZJ—2c)]2=a2-2-t?-(3Z?—2c)+(3Z>—2c)2

=cr-6ab+4ac+9b~-12bc+4c2

=«2+9Z>2+4c2-6ab+4ac-12bc

【阅读笔记】乘法公式主要就是平方差和完全平方，展开式子的时候会分成一个单项式

和一个单项式、一个单项式和一个多项式或一个多项式和一个多项式，而且运用一次公式后，

可能还会需要第二次展开，层层递进。

【题评解说】题1只需要交换第二个式子和第三个式子，其余的都很容易看出做法；题

2在使用平方差公式时，最主要的是多项式的变形；题3的多项式是三项，所以在使用完全

平方公式的时候，要把多项式进行拆分，拆成一个单项式和一个多项式的形式

【建议】按照法则，一步一步，每经过一个步骤，对照公式中a、b的形式和结论来求

出最后结果

【搭配练习】

计算：

(1)(c-2b+3a)(2b+c-3a)

11,1,

(2)(A——b)(2a+—b)(3a~H--b~)；

6312

(3)(2a—36+1)2

例4请你观察右边图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助

线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是.

难度等级：A

【思维直现】图中所表示的整个正方形的面积是x?,两个小正方形的面积分别是y2与

(x-y)2,利用这些数据关系，结合图形便可以写出以下乘法公式：(x-y)2=x2-2xy+y2；

解：(x-y)2=x2-2xy+y2

【阅读笔记】乘法公式不只有代数式子，根据几何图形的特征，研究其中蕴含的数学公

式，是“数形结合思想”的具体体现。

【题评解说】本题是数形结合的典型试题，从不同的角度去理解题目，理解其中的含义。

【建议】在进行知识点讲解的时候，需要从代数和几何两个方面，推出乘法公式

例5.计算：(1+；)(1+*)(1+!)(1+[■)+5•

难度等级：C

【思维直现】观察本题容易发现可以利用平方差公式，但缺少因式(1-^),如果能通

2

过恒等变形构造一个因式(1-,)，则运用平方差公式就会迎刃而解。

2

=2'I-扑+扑+/+J2+m

=2义/《11+口+具1+?]+5

=2义[1-弁+畀/

=2义『.+?

=2x1—2x，+,

=2

【阅读笔记】在进行多项式乘法运算时，应先观察给出的算式是否符合或可转化成某公

式的形式，如果符合则应用公式计算，若不符合则运用多项式乘法法则计算。

【题评解说】本题还是考察的平方差公式的运用。当题目有可能转化成所熟悉的式子时,

要创造条件，但同时也不能改变题意，要求能够灵活地，熟练地运用所学解决问题。

【建议】转换成平方差形式的时候，要说明转化的原因，并且举出例子。

【搭配练习】

计算

1、(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)+1

2、(1-—彳)(1——7)(1—―彳)•••(1-—z-)(1———)

2232429210-

例6：已知a+6=3,ab――,求：

2

(1)a~+b?(2)a2+ab+b2(3)a'+b"

难度等级：A

【思维直现】从己知条件出发很难得知题目的真正意图，再看看结论，和完全平方公式

相似，那么完全平方公式的变形就可以满足了，题(1)就是在的基础上减去了2曲；

题(2)可以看做+。2的基础上减去了漏，或是在题(1)的基础上加上了他；题(3)

就是在题(1)结论的基础上，把(。之+^)平方后减去Zx/xk,而即是

2x(axZ?)2o

解：(1)a+Z?=3,cib——

2

(6/+Z?)=a?+2ab+)2

即32=a2+2x-+b2

2

/.a2+b2=32-1=8

(2),:a+b=3,ab=—

2

・，.(a+Z?)—

32=+ab+ab+b2

9=a2+ab+b2+—

2

11

a9+ab+b9=9—=8—

22

(3)cib=3jab——,a?+/?2=8

2

2222

.\(a+b)=(a^+2xaxb+(b^

(a2+。2y=a4+2x(ax。1+b4

即82="+2><1]+b4

：.a4+b4=82-2XW=64--=63-

⑴22

【阅读笔记】完全平方公式的左边式子比较简单，右边是个三项式，所以在此基础上可

以演化出许多其他的式子，可把三项式的其中两项作为一个多项式来看，如/+〃，那就

可以用原来公式中左边的式子减去或加上2曲。无论式子怎样变化，/+〃的关系是不会

变的

【题评解说】本题是完全平方公式的提高题，对学生的要求比较高。必须要在熟悉公式

的基础下，还要灵活运用，逆向思维比较强。

【建议】一开始可以在公式的基础上进行变形，等学生熟悉后，再得出计算结果比较好。

【搭配练习】

己知42+/?2=5,ab=6,求(a+0)2,/+/的值.

(二)思维重点突破

例7观察下列各式(X—1)(x+1)=x2~1,(x-1)(x2+x+l)=x3—1.(x—1)

(x3+x2+x+l)=X4-1,根据前面各式的规律可得(X-I)(xn+xn<H——Fx+1)

【思维直现】由给定的等式，可以发现结果是以X为底数的哥与1的差，并且这个事的

指数比第二个括号中X的最高次塞的指数大1,所以(X-1)(xn+xn4+-+x+l)=

xn+1-l.

解：(X—1)(x^x^+-->+x+l)=xn+1-l

【阅读笔记】找规律的题目，就一定要发现它的规律，虽然第一个式子时平方差公式,

但第二个、第三个式子已经不是了，找到变化过程中变的项和不变的项，结果就很容易得出

了。

【题评解说】此题主要考查用类比思想总结规律，给出特殊的例子，找到一般的规律。

此类题目要求综合能力比较高，还要积累一定的知识，才容易发现规律。

【建议】可以把式子进行对比，每一次的变化只会是式子的部分变化，式子从左到右,

发生了什么样的变化，找到自我变化的式子和因它变化的式子。

【搭配练习】

观察下列各式：

21=1

22=4

23=8

24=16

25=32

26=64

27=128

28=256...

通过观察，用你发现的规律写出89的末位数字是o

例8.甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元，在4月和5月这两个月中，甲超市

的销售额平均每月增长x%,而乙超市的销售额平均每月减少X%o

(1)5月份甲超市的销售额比乙超市多多少？

(2)如果a=150,x=2,那么5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？

难度等级：C

【思维直现】列表分析

3月份4月份5月份

甲超市销售额aa(l+x%)a(l+x%)x(l+x%)=a(l+x%)2

乙超市销售额aa(l—x%)a(l—x%)x(l—x%)=a(l—x%)2

解：(1)a(l+x%)2-6z(l-x%)2

=+2.x%+(%%)2]一一2•x%+(x%)2]

=〃+2〃.x%+tz(x%)2-，-2〃•x%+tz(x%)2

=a+2〃•x%+tz(x%)2-a+2a•x%-^z(x%)2

=4a_x%

(2)当a=150,x=2时

a(l+x%)2-a(l-x%)2

=4ax%

=4x150x2%

=12

【阅读笔记】应用题使用列表的方法可以让题目的数量关系变得清晰，题目中的文字都

用表格和式子来进行表示。能把表格填好，也就意味着题目分析清楚了

【题评解说】本题要求在理解清楚题目意思的前提下，列出式子，并且还需要化简求值。

列出式子是一个难点，化简式子是另一个难点。

【建议】分析问题的时候，建议用列表的方法，把数量关系表示出来，再结合题目，给

出符合题目意思的式子，列完式子后，也可以在代回到原题中，看是否符合

【搭配练习】

如图，点M是AB的中点，点P在MB上分别以AP,PB为边，作正方形APCD和

正方形PBEF,设AB=4a,MP=b,正方形APCD与正方形PBEF的面积之差为Sqc

(1)用a,b的代数表示S。F1£

(2)当a=4、b=l/2时，S的值是多少？当a=S,b=l/4时呢？

AMPB

课后作业

A类作业：

一、填空题

1、(2a—b)()—b~—4a~.

2、(a—b>2=(。+6)2+.

21

3、20-X19-=()•()=

33

二、选择

1、若a¥b,下列各式中不能成立的是........................()

(A)(a+6)2=(―a—b)2(B)(a+6)(a—b)—(b+a)(b—a)

(C)(a—b)2n=(b—a)2n(D)(a—b)3=(b—a)3

2、下列各式中正确的是.......................................()

(A)(a+4)(a—4)—o'—4(B)(5x—1)(1—5x)=25?-1

(C)(-3x+2)2=4—12x+9尤2(D)(尤一3)(x-9)=/一27

三、解答

1、利用公式法计算

11

2b—1a2)(2)(a—1)2(a2+1)2(a+1)2

a-4--4-

(3)(-2a-3b)2(4)(a—3b+2C)2

(5)101X99(6)982

(7)899X901+1(8)(—)2002-(0.49)1000

7

2、已知x+y=4,xy=3,求:3x2+3y2；(x-y)2

B类作业：

一、填空题

1、(—。+1)(。+1)(a2+1)等于......................................()

(A)a4—1(B)a4+1(C)<74+2<?2+1(D)1—a

2、若(x+机)(无一8)