第六章-6.3-6.3.1-二项式定理-课件

第六章二项式定理二项式定理学习目标XUEXIMUBIAO1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一二项式定理(a＋b)n＝

(n∈N*).(1)这个公式叫做二项式定理.(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有

项.(3)二项式系数：各项的系数(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数.n＋1知识点二二项展开式的通项(a＋b)n展开式的第

项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝

.思考二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？k＋1答案一般不同.前者仅为

，而后者是字母前的系数，故可能不同.1.(a＋b)n展开式中共有n项.(

)2.在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.(

)3.an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项.(

)4.(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同.(

)5.二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中第k＋1项相同.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√×××2题型探究PARTTWO一、二项式定理的正用、逆用44∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.反思感悟(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.跟踪训练1

化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).二、二项展开式的通项的应用(1)展开式中含x的一次项；即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去).(2)展开式中所有的有理项.反思感悟求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解.(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.所以第3项的系数为240.(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x2的项.令3－k＝2，解得k＝1，所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.三、求两个多项式积的特定项例3

(1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于A.－4 B.－3 C.－2 D.－1√所以a＝－1，故选D.(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为A.10 B.－10 C.2 D.－2√解析(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，反思感悟跟踪训练3

(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为_____.(用数字作答)－20四、二项式定理的应用例4

(1)试求201910除以8的余数；解201910＝(8×252＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴201910除以8的余数与310除以8的余数相同.又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，∴310除以8的余数为1，即201910除以8的余数也为1.(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除.证明32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.反思感悟利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.跟踪训练4

(1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.(2)求6的近似值，使误差小于0.001.且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于，故6＝(1－0.002)6≈1－6×＝0.988.3随堂演练PARTTHREE123451.

的展开式中含x3项的二项式系数为A.－10 B.10 C.－5√123452.

的展开式中的常数项为A.80 B.－80 C.40D.－40√123453.设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于A.x3

B.－x3

C.(1－x)3

D.(x－1)3√4.若(x＋2)n的展开式共有12项，则n＝_____.123451112345解析原式＝(2＋1)n＝3n.3n课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)二项式定理.(2)二项展开式的通项公式.2.方法归纳：转化化归.4课时对点练PARTFOUR解析原式＝(1－2)n＝(－1)n.基础巩固12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516√123456789101112131415165.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是A.－5 B.5 C.－10√123456789101112131415166.若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝___.(用数字填写答案)1234567891011121314151682812345678910111213141516912345678910111213141516所以n2＝81，又n∈N*，故n＝9.12345678910111213141516(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.解设第k＋1项含x3项，1234567891011121314151610.已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.解由题设知，m＋n＝19，又m，n∈N*，∴1≤m≤18.＝m2－19m＋171.∴当m＝9或10时，x2的系数有最小值为81，综合运用1234567891011121314151611.(多选)对于二项式

(n∈N*)，下列判断正确的有A.存在n∈N*，展开式中有常数项B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*，展开式中有一次项√√12345678910111213141516由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD.1234567891011121314151612.已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为A.7√解析由于2×1010＋a＝2×(11－1)10＋a,2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，又根据二项展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，从而可知2＋a能被11整除，可知a＝9.1234567891011121314151613.(x2＋2)

的展开式的常数项是A.－3 B.－2√令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5.1234567891011121314151614.已知在

的展开式中，第9项为常数项，则：(1)n的值为____；10解得n＝10.12345678910111213141516(2)含x的整数次幂的项有____个.6由于k＝0，1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.拓广探究1234567891011121314151615.(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中的项数为____________.123456789