矩阵的概念教案

§2.1.1矩阵的概念

教学目标：

学问与技能：1.驾驭矩阵的概念以及基本组成的含义(行、歹!J、元素)

2.驾驭零矩阵、行矩阵、列矩阵、矩阵相等的概念.

3.尝试将矩阵与生活中的问题联系起来，用矩阵表示丰富的问题,

体会矩阵的现实意义.

过程与方法：

从具体的实例起先，通过具体的实例让学生相识到，某些几何变换可以用矩

阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来相识

矩阵、解线性方程组

情感、看法与价值观：体会代数与几何的有机结合，突出数形结合的重要思想

教学重点：矩阵的概念以及基本组成的含义

教学难点：矩阵的概念以及基本组成的含义

教学过程：

一、问题情境:

设0(0,0),0(2,3),则向量讲=(2,3),将/的坐标排成一列，并简记为[]

2.日常生活一一矩阵

(1)某电视台举办歌颂竞赛，甲、乙两名选手初、复赛成果如下:

初赛复赛

甲8090

乙8688

(2)某牛仔裤商店经销儿B、C、D、£五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英

寸、30英寸、32英寸、34英寸四种,在一个星期内，该商店的销售状况可用下列矩阵形

式表示:

ABCDE

28英寸13012

30英寸58612

32英寸23560

34英寸01103

3.图——矩阵

矩阵：

记号：A,B,C,…或(a”)(其中i,j分别元素a」所在的行和列)

要素：行一一列一一元素

矩阵相等行列数目相等并且对应元素相等。

特别：(1)2义1矩阵，2X2矩阵(二阶矩阵)，2X3矩阵

(2)零矩阵

(3)行矩阵:[an,ai2]

an

列矩阵：，一般用2,，等表示。

.321_

(4)行向量与列向量

三、教学运用

例1、用矩阵表示图中的AABC,其中A(-l,0),B(0,2),C(2,0).

思索：假如用矩阵M』0*34表示平面中的图形，那么该图形有什么几何

0220

特征？

例2、某种水果的产地为Ai,A2,销地为BI,B2,请用矩阵表示产地Ai运到销

地Bj的水果数量(a)其中i=l,2,j=l,2.

例3、用矩阵表示下列方程组中的未知量的系数.

x+4y=73x+2y+z——1

(1)<(2)

—3x+y=-62x—3y+7z-6

x3I

例4、已知A=,B=’,若A=B,试求x,y,z.

4-2z

四、课堂小结

五、课堂练习：

1.书Pio1,2,4

「2x1「加+〃x+y]#、,j在一

2.设A=,B=，右A=B,试求x,y,m,n的值.

y3J\2x—ym-n

六、回顾反思：

七、课外作业：

L用矩阵表示图中的aABC,其中A(2,3),B(-4,6),C(5,-3).

2.在学校组织的数学智力竞赛中，甲、乙、丙三位同学获得的成果分别为：甲

95分，乙99分，丙89分，假如分别用1,2,3表示甲、乙、丙三位同学，试

用矩阵表示各位同学的得分状况.

、“1xm-nx+y什、上.

3.设A=,B=，右A=B,试求x,y,m,n.

y3x-2ym+n

4.下图是各大洋面积统计表.

海洋名面积/万千米2

太平洋17967.9

大西洋9165.5

印度洋7617.4

北冰洋1475.0

假如分别用1,2,3,4表示太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋，试用矩阵表示

各大洋的面积.

010

5.请设计一个可用矩阵120来表示的实际问题.

230

§2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法二

教学目标：

学问与技能：

1.驾驭二阶矩阵与列向量的乘法规则，并了解其现实背景.

2.理解变换的含义，了解变换与矩阵之间的联系.

3.能够娴熟进行由矩阵确定的变换

过程与方法：

从具体的实例起先，通过具体的实例让学生相识到，某些几何变换可以用矩

阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来相识

矩阵、解线性方程组

情感、看法与价值观：体会代数与几何的有机结合，突出数形结合的重要思想

教学重点：二阶矩阵与列向量的乘法规则

教学难点：二阶矩阵与列向量的乘法规则

教学过程：

一、问题情境：

在某次歌颂竞赛中，甲的初赛和复赛的成果用A=[8090]表示，乙的初赛

*04

和复赛成果用B=[6085]表示，C='表示初赛和复赛成果在竞赛总分中所

0.6

占的比重，那么如何用矩阵的形式表示甲、乙的最终成果呢？

二、建构数学

1.行矩阵和列矩阵的乘法规则

2.二阶矩阵与列向量的乘法规则

3.变换

三、教学运用

21F3-101020'

例1、计算:(1)1][-2_⑵

012001J|_y

一32

例2、求在矩阵°$对应的变换作用下得到点(3,2)的平面上的点P的坐标.

例3、(1)已矢口变换,试将它写成坐标变换的形式;

y32山」

(2)已知变换*一,"一力’，试将它写成矩阵乘法的形式.

y

例4、求aABC在矩阵对应的变换作用下得到的几何图形，其中A(l,

0-1

2),B(0,3),C(2,4).

例5、求直线y=2x在矩阵作用下变换得到的图形.

四、课堂小结

五、课堂练习:

六、回顾反思:

七、课外作业:

30-llP4

1.计算⑴⑵1oj[1

2

xx

2.(1)已知一,,试将它写成坐标变换形式;

_y]|_y02]\_y_

2x+3y

(2)已知试将它写成矩阵的乘法形式.

4x+5y

12

3.(1)点A(5,7)在矩阵对应的变换作用下得到的点为

34

3I

⑵在矩阵对应的变换作用下得到点(19,-19)的平面上点P的坐标

4-5

为

一1二一2

4.已知矩阵P=2,Q=且Px=Q,求矩阵x.

03段

5.线段AB,A(-2,3),B(1,-4)在矩阵:；作用下变换成何种图形？与原线段

有何区分？

6.求直线x+y=l在矩阵；作用下变换所得图形.

§2.2几种常见的平面变换(1)-恒等变换、伸压变换

教学目标:

学问与技能：

1.驾驭恒等变换矩阵和伸压变换矩阵的特点.

2.娴熟运用恒等变换和伸压变换进行平面图形的变换

过程与方法：

借助立体几何图形的三视图来探讨平面图形的几何变换，让学生感受具体到抽象的过程

情感、看法与价值观：供应自4

总结过程，得出结论。

教学重点：恒等变换、伸压变

教学难点：恒等变换、伸压变

教学过程：

一、问题情境：

已知4ABC,A(2,0),B(-l,0),C(0,2),它们在变换T作用下保持位置不

变，能否用矩阵M来表示这一变换？

二、建构数学

1.恒等变换矩阵(单位矩阵)

2.恒等变换

3.伸压变换矩阵

4.伸压变换

三、教学运用

例1、求x2+y2=l在矩阵M=；;作用下的图形

例2、已知曲线y=sinx经过变换T作用后变为新的曲线C,试求变换T对

应的矩阵M,以及曲线C的解析表达式.

例3、验证图C:x2+y2=l在矩阵A=；:对应的伸压变换下变为一个椭圆,

并求此椭圆的方程.

四、课堂小结：

五、课堂练习：P331,2.

六、回顾反思：

七、课外作业：

L已知平行四边形ABCD,A(-l,0),B(0,2),C(3,2),D(0,2),它们在变换T作

用前后保持位置不变，则变换矩阵M=.

2.已知菱形ABCD,A(2,0),B(0,l),C(-2,0),D(0,-l),在矩阵M=；;作用

下变为A',B',C',D',求A',B',C',D'的坐标，并画出图形.

20

3.求aOBC在矩阵02作用下变换的结果，其中。为原点,B(-l,0),C(0,1).

4.求正方形ABCD在矩阵卯用下得到的图形’并画出示意凰其中AQ,

0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-l).

一30一

5.求抛物线y=x2在矩阵0］作用下得到的新的曲线C,并求曲线C的函数表

达式.

10

6.探讨函数y=cosx在矩阵1变换作用下的结果.

0—

L2J

§2.2几种常见的平面变换（2）-反射变换.

教学目标：

学问与技能：1.理解反射变换的有关概念，熟知常用的几种反射变换矩阵.

2.能娴熟地对各种平面图形进行反射变换.

过程与方法：

借助立体几何图形的三视图来探讨平面图形的几何变换，让学生感受具体到抽象的过程

情感、看法与价值观：供应自主探究的空间，通过探讨实例，学会从实际动身探究问题,

总结过程，得出结论。

教学重点：反射变换的概念

教学难点：反射变换矩阵

教学过程：

一、问题情境：

已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片F,将它做关于x轴、y轴

和坐标原点对称的变换，分别得到图片B,F2,F3,这些变换能用矩阵来刻画

吗？

二、建构数学：

1.反射变换的有关概念

2.常用的几种反射变换矩阵

3.二阶非零矩阵对应的变换的特点及线性变换.

三、教学运用

例1、求直线y=4x在矩阵::作用下变换所得的图形.

例2、求曲线y=4(x20)在矩阵；作用下变换所得的图形.

0-]

例3、求矩形OBCD在矩阵作用下变换所得的图形，并画出示意图，其

10

中0(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1).

练习：1.如图，已知格纸上有一面小旗子，请在格纸上画出它关于x轴、y

轴和原点对称的图形，并利用矩阵计算进行验证.

-10

2.求平行四边形ABCD在矩阵M=作用下变换所得的

01

几何图形，并画出示意图，其中A(0,0),B(3,0),C(4,2),D(l,2).

四、课堂小结：

五、课堂练习：

六、回顾反思：

七、课外作业：

1.将图形变换为关于X轴对称的图形的变换矩阵为.

将图形变换为关于y轴对称的图形的变换矩阵为.

将图形变换为关于原点对称的图形的变换矩阵为.

--Io'

2.求4ABC在矩阵M=0［作用下变换得到的图形，其中A(1,1),B(4,2),

C(3,0).

-10

3.求出曲线y=L(x>0)在矩阵M=作用下变换得到的曲线.

X0-1

4.求曲线y=lgx(x>0),在矩阵M=；;作用下变换得到的曲线.

5.求曲线丫=取经M尸；和M2=；；作用下变换得到的曲线.

§2.2几种常见的平面变换(3)-旋转变换一

教学目标：

学问与技能：1.理解旋转变换的有关概念，驾驭旋转变换的特点.

2.娴熟运用旋转变换矩阵对平面图形进行旋转变换

过程与方法：

借助立体几何图形的三视图来探讨平面图形的几何变换，让学生感受具体到抽

象的过程

情感、看法与价值观：供应自主探究的空间，通过探讨实例，学会从实际动身探

究问题，总结过程，得出结论。

教学重点：旋转变换的概念

教学难点：旋转变换矩阵

教学过程：

一、问题情境:

如图,0P绕。点逆时针方向旋转。角到0P',这种几何变换如何用矩阵来

刻画?

二、建构数学：

1.旋转变换的有关概念

2.旋转变换的特点

三、教学运用

例1、已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD绕原点逆时针旋

转90°后得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图.

思索：若旋转30°,结果如何呢？旋转45°呢?

G_1_

T~2

例2、求4ABC在矩阵M=作用下变换得到的图形，并画出示意图,

\_

,2~2.

其中A(0,0),B(2,V3),C(0,3).

例3、已知曲线C:y=lgx,将它绕原点顺时针旋转90°得到曲线C',求C'

的方程.

四、课堂小结：

五、课堂练习：练习：书P337,8

六、回顾反思：

七、课外作业：

一显_叵

22

1.矩阵对应的旋转变换的旋转角0=___________

y/2V2

.TT.

-1o

矩阵对应的旋转变换的旋转角0=(0°<o<360°)

0-1

2.已知aABC,A(0,0),B(2,0),C(1,2),求AABC绕原点逆时针旋转90°后

所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图.

3.已知0ABeD,A(0,0),B(2,0),C(3,1),D(1,1),求QABCD绕原点顺时

针旋转90°后所得到的图形，并求出其顶点坐标.

4.探讨函数y=sinx,x£[0,2n]的图象绕原点逆时针旋转90°得到的曲线.

5.已知曲线xy=l,将它绕原点顺时针旋转90°后得到什么曲线？曲线方程是什

么？

§2.2几种常见的平面变换（4）-投影变换.

教学目标：

学问与技能：1.理解投影变换的有关概念，驾驭投影变换的特点.

2.熟知常用的几种投影变换矩阵，能娴熟地对各种平面图形进行投

影变换.

过程与方法：

借助立体几何图形的三视图来探讨平面图形的几何变换，让学生感受具体到抽

象的过程

情感、看法与价值观：供应自主探究的空间，通过探讨实例，学会从实际动身探

究问题，总结过程，得出结论。

教学重点：投影变换的概念

教学难点：投影变换的矩阵

教学过程：

一、问题情境：

1.探讨矩阵F0］所确定的变换.

00

2.探讨矩阵1所确定的变换.

10

二、建构数学：

1.投影变换矩阵，投影变换.

2.投影变换的特点.

三、教学运用

例1、矩阵10°对应的变换是投影变换吗？它的变换作用如何?

01

]_

2-2

例2、探讨线段AB在矩阵作用下变换得到的图形，其中A(O,O),B(1,

~22

2).

10

例3、探讨直线x+y=O在矩阵作用下变换得到的图形.

10

_.11

22

例4、AABC在矩阵作用下变换得到何种图形？并画出示意图，其中

_L_1

_2~2.

A(l,1),B(1,0),C(0,1).

四、课堂小结:

五、课堂练习：练习：P349,10

六、回顾反思：

七、课外作业：

1.直线x+2y=5在矩阵::对应的变换作用下变成了什么图形?

2.探讨AABC在矩阵J;作用下其面积发生了什么变更？其中A(1,1),B(2,

0),C(3,1)

3.圆x2+y2=l在矩阵::对应的变换作用下变成了何种图形?

-or-or

4.求直线y=4x在矩阵变换后，再经过矩阵的变换，最终得到什么

_10__01

图形？

1

5.说明线段AB在矩阵j；作用下变换得到的图形，其中A(1,1),B(2,

_~22.

3).

§2.2几种常见的平面变换（5）-切变变换一

教学目标：

学问与技能：1.驾驭切变变换的特点，熟知常用的几种切变变换矩阵.

2.能娴熟地对各种平面图形进行切变变换

过程与方法：

借助立体几何图形的三视图来探讨平面图形的几何变换，让学生感受具体到抽

象的过程

情感、看法与价值观：供应自主探究的空间，通过探讨实例，学会从实际动身探

究问题，总结过程，得出结论。

教学重点：切变变换的概念

教学难点：切变变换的矩阵

教学过程：

一、问题情境：

二、建构数学：

1.切变变换

2.切变变换矩阵

3.切变变换的特点

三、教学运用

例1、如图所示，已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形A'B'C'D',

试求变换T对应的矩阵M.

例2、求矩形ABCD在矩阵।2作用下变换得到的几何图形，其中A(-2,0),

01

B(2,0),C(2,2),D(-2,2),并说明图形的变换特点.

例3、求把三角形ABC变成三角形A'B'C的变换矩阵，其中A(2,1),B(1,

3),C(4,2),A,(|,3),C,(5,2).

例4、探讨函数丫=3$*在矩阵；;变换作用下的结果.

四、课堂小结：

五、课堂练习：练习：P3411,12

六、回顾反思：

七、课外作业：

-13'

1.矩阵0］的作用是把平面上的点P(x,y)沿x轴方向平移个单位,

当y>0时，沿x轴方向移动，当y<0时，沿x轴方向移动,

当y=0时，原地不动，在此变换作用下,__________上的点为不动点.

2.直线x—2y=3在矩阵；；对应的变换作用下变成了什么图形？画出此图形.

3.求曲线y=|x|在矩阵1°对应的变换作用下变成的图形.

10

4.求出正方形ABCD在矩阵M=1作用后的图形，其中A(0,0),B(2,0),

一1

\_2」

C(2,2),D(0,2).

5.求把4ABC变换成AA'B'C'的变换矩阵，其中A(-2,1),B(0,1),C(0,

-1),A'(-2,-3),B'(0,1),C'(0,-1).

§2.3.1矩阵乘法的概念.

教学目标：

学问与技能：1.驾驭二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义.

2.能灵敏运用矩阵乘法进行平面图形的变换.

3.了解初等变换及初等变换矩阵的含义.

过程与方法：从实例中理解矩阵乘法的代数运算和几何意义，驾驭运算规则，从几何角度

验证乘法规则

情感、看法与价值观：

教学重点：二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义

教学难点：二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义

教学过程：

一、问题情境：

X1Q得到向量「，再对

对向量先做变换矩阵为N=的反射变换Ti,

LJJL°-d

1ox"

所得向量做变换矩阵为M=的伸压变换T2得到向量〃这两次变换能

02j

否用一个矩阵来表示？

二、建构数学：

1.矩阵乘法的乘法规则

2.矩阵乘法的几何意义

3.初等变换，初等变换矩阵

三、教学运用

[[

2222

例1、⑴已知A=,B=；计算AB.

]_]_

22_~22.

10'14-

(2)已知A=，B=计算AB,BA

02_-23_

ri01010

(3)已知A=,B=,c=[o2J计算AB、AC.

_00__01J

10

例2、已知A=1，求A2,A3,A4,你能得到A11的结果吗？(nGN*)

0—

L3J

例3、已知梯形ABCD,其中A(0,0),B(3,0),C(1,2),D((l,2),先将梯形作

关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.

(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M;

(2)求点A,B,C,D在TM作用下所得到的结果；

(3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证⑵中的结

cosa一sinacos/?-sin[5

例4、已知A=,求AB,并对其几何意义赐

sinacosasinpcosp

予说明.

四、课堂小结：

五、课堂练习：练习：P46L2

六、回顾反思：

七、课外作业：

1.计算：

0.8-150

-0.210-5

2.已知A=Cos6)-Sm6),求A2,A3,你能得到An的结果吗？(n£N*).

sin0cos6

01b01

3.计算,并用文字描述二阶矩阵对应的变换方式.

10d10

4.已知△ABC,其中A(1,2),B(2,0),C(4,-2),先将三角形绕原点按顺时针旋

转90°,再将所得图形的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变.

(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M;

(2)求点A,B,C在变换矩阵M作用下所得到的结果；

(3)假如先将图形的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图形绕原点顺时针旋

转90°,则连续两次变换所对应的变换矩阵M'是什么呢？

2

5.设m,nek,若矩阵A=把直线/:x—5y+l=0变换成另始终线I':

0n

2x+y+3=0,试求出m,n的值.

§2.3.2矩阵乘法的的简洁性质一

教学目标：

学问与技能：1.能从矩阵运算和图形变换的角度理解矩阵乘法的简洁性质.

2.能运用矩阵乘法的简洁性质进行矩阵乘法的运算

过程与方法：

情感、看法与价值观：

教学重点：矩阵乘法的简洁性质

教学难点：矩阵乘法的简洁性质

教学过程：

一、问题情境：

实数的乘法满足交换律、结合律和消去律，那么矩阵的乘法是否也满足这

些运算律呢？

二、建构数学：

1.矩阵的乘法不满足交换律

2.矩阵的乘法满足结合律

3.矩阵的乘法不满足消去律

三、教学运用：

例1、已知梯形ABCD,A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),变换Ti对应

的矩阵P=:；,变换T2对应的矩阵Q=j:,计算PQ,QP,比较它们是

否相同，并从几何变换的角度予以说明.

0

例2、已知M=3°,P=3,Q=

1,求PMQ.

0—7_.

7.

(1)试求满足方程MX=N的二阶方阵X;

(2)试求满足方程JYN=M的二阶方阵Y.

例4、已知A=।°,B=7°,证明AB=BA,并从几何变换的角度予

0—101

以说明.

四、课堂小结：

五、课堂练习：练习：P461,2

六、回顾反思：

七、课外作业:

020

1.(1)已知M=2,N=,求MN,NM.

01

01

12-3-4

(2)已知M=,N=,求MN,NM.

34-1-2

57101-7

2.己知A=,P=,Q=,求PAQ.

-651213101

3.证明下列等式，并从几何变换的角度赐予说明.

1010

201「20

(1)]__1_

000

22

101TooiriolToo-

⑵

2111~5111

20

4.已知AABC,A(0,0),B(2,0),C(1,2),对它先作M=0〔对应的变换，再

作NJ10］对应的变换，摸索讨变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这

02

两次变换.

5.两个矩阵的乘法的几何意义是对应变换的复合，反过来，可以对平面中的某

些几何变换进行简洁的分解，你能依据如图所示变换后的图形进行分解，从

而知道它是从原来图形经过怎样的复合变换过来的吗？

A:

2x

§2.4.1逆矩阵的概念一

教学目标：

学问与技能：1.理解逆变换和逆矩阵的概念，能用几何变换的观点推断一个矩阵

是否存在逆矩阵.

2.驾驭求矩阵的逆矩阵的方法.

3.驾驭AB可逆的条件及(AB)”的求法，理解矩阵乘法满足消去解

的条件.

过程与方法：

情感、看法与价值观：

教学重点：逆变换和逆矩阵的概念

教学难点：求矩阵的逆矩阵

教学过程：

一、问题情境：

已知二阶矩阵对应的变换把点(x,y)变换为(x'，y'),是否存在一个变

换能把点(x',y')变换为(x,y)呢？

二、建构数学：

1.逆变换和逆矩阵的概念

注：①假如A可逆，那么逆矩阵唯一.

②二阶矩阵可逆的条件

2.逆矩阵的求法：

①定义法

②几何变换法

3.AB可逆的条件及(AB)」的求法

4.矩阵乘法满足消去解的条件.

三、教学运用：

例1、用几何变换的观点推断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，求出其逆矩阵.

-0f-0-o-r-1O-

(1)A=(2)B=2(3)C=(4)D=

10।（）10

01_

例2、求下列矩阵的逆矩阵.

­5r--IO-

(1)A=出8=

_73__21

例3、试从几何变换的角度求解AB的逆矩阵.

-1-0-f-1o-1-

(1)A=,B=(2)A=,B=2

_0-1__10_02_

01

136-3

例4、设可逆矩阵A=的逆矩阵A-1求a,b.

10b—10ci

四、课堂小结：

五、课堂练习：P631.(1)(2)2.(1)

六、回顾反思：

七、课外作业：

1.用几何变换的观点推断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，把它求出来.

1行

2一行「12]「20]「10

(1)A=广2出8=(3)C=(4)D=

由1|_01JSU|_°°

.T2.

2.求下列矩阵的逆矩阵

3.试从几何变换的角度求矩阵AB的逆矩阵.

d)A=⑵八;

V3

4012

4.己知矩阵A=,B=，求A",B-1,(AB)-1

0234

5.已知二阶矩阵A,B,C的逆矩阵分别为A",B",Ct,那么(ABC)",(ACB)

L(BCA)“分别等于什么？你能将你的结论作进一步的推广吗？

§2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组_

教学目标：

学问与技能：1.驾驭二阶行列式的定义及运算方法，了解行列式与矩阵的异同.

2.驾驭运用行列式解方程组的方法.

3.能利用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程，驾驭从几何变换

的角度推断方程组的解的状况

过程与方法：

情感、看法与价值观：

教学重点：二阶行列式的定义及运算方法

教学难点：运用行列式解方程组

教学过程：

一、问题情境：

关于x,y的二元一次方程组（依+勿="当ab-bc^O时，方程的解为

cx-^-dy=n

md-bn

x-

ahmham

<adfc,视察方程组的解的结果，与矩阵有

an-cmcdndcn

y=---------

、ad-be

何联系？

二、建构数学:

1.二阶行列式及运算公式;

2.二元一次方程组的行列式解法；

3.利用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程及从几何变换的角度推断方

程组的解的状况.

三、教学运用:

例1、利用行列式解方程组图猊二:

思索：如何用逆矩阵的学问解这个方程组？

例2、利用行列式方法求矩阵的逆矩阵

例3、试从几何变换的角度说明方程组X+5)'=3解的存在性和唯一性.

[y=2

102

例4、已知二元一次方程组Ax=B,A1°,B=之，试从几何变换的角度探讨

方程组解的状况.

四、课堂小结:

五、课堂练习:

X|

1.设A=x=,B=,用两种方法解方程组Ax=B;

32LyJL2J

0x3

2.已知方程组Ax=B,A=x=,B=试从几何变换的角度探讨方程

02_y]L5

组解的状况.

六、回顾反思：

七、课外作业：

-2-14'

1.已知M=]2，且det(M)=O,求人.

(1)计算det(A),det(B)

(2)推断矩阵AB是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.

3.利用行列式解下列方程组:

x+4y+2=02x+3y=0

(1乂

3元+2y一5=04x-y=0

4.设A=用两种方法解方程Ax=B.

I

5.试从几何变换角度说明方程/+3y=5的解的存在性和唯一性.

242012

6.已知=A，求使等式成立的矩阵A.

350101

§2.5特征值与特征向量(1)_

教学目标：

学问与技能：1.理解特征值与特征向量的含义.

2.驾驭求矩阵的特征值和特征向量的方法，并能从几何变换的角度

加以说明.

过程与方法：

情感、看法与价值观：

教学重点：特征值与特征向量的含义

教学难点：求矩阵的特征值和特征向量

教学过程：

一、问题情境：

已知伸压变换矩阵M=,向量a=；和8=：在M对应的变换作用下得到

*20

的向量a'和B'分别与a,B有什么关系？对伸压变压矩阵N=呢？

01_

二、建构数学：

1.矩阵的特征值和特征向量的定义.

2.特征多项式

3.矩阵M=「"的特征值和特征向量的计算方法：

cd

⑴构造特征多项式f(入)=0；

(2)解方程f(X)=0;

(2)将人代入卜一")：一勿=°,求出对应的一个特征向量.

一ci+(/l_d)y=0

注：假如向量a是属于人的特征向量，那么1<!。金1^,1/0)也是属于人的特

征向量.

三、教学运用:

例1.求下列矩阵的特征值和特征向量,并从几何变换的角度加以说明.

1002

(1)A=⑵B=

0-120

,试求矩阵PAQ的特征值与特征向

里.

例3.已知。是矩阵M属于特征值入=3的特征向量，其中

且a+b+m=3,求a,b,m.

四、课堂小结：

五、课堂练习：P721

六、回顾反思：

七、课外作业：

1.向量1在矩阵I°变换下（

)

_ojL03_

A.变更了方向，长度不变B.变更了长度，方向不变

C.方向和长度都不变D.以上都不对

2.下列对于矩阵A的特征值人的描述正确的是（）

A.存在向量a,使得Aa=入aB.对随意向量a,有Aa=入a

C.对随意非零向量a,Aa=入a成立D.存在一个非零向量a,有Aa=入a

3.矩阵F的特征值为,对应的特征向量为

0-1

4.求下列矩阵的特征值和特征向量:

-12

⑵

41

2-5和「5］都是矩阵A的对应于不同的特征值的

5.已知M=,试说明

-434

特征向量.

6.已知a是矩阵A属于特征值入=—2的特征向量，其中A=aa=2

Llb\'[3

a,b.

7.假如向量a既是矩阵M的特征向量，又是矩阵N的特征向量，证明：a必是

MN及NM的特征向量.

§2.5特征值与特征向量（2）

教学目标：

学问与技能：

1.进一步理解特征值与特征向量的概念，能娴熟求矩阵的特征值和特征向量.

2.能利用矩阵的特征值和特征向量求向量多次变换的结果.

过程与方法：

情感、看法与价值观：

教学重点：特征值与特征向量的概念

教学难点：求矩阵的特征值和特征向量

教学过程：

—>复习回顾：

r「10]

r-171—

1.已知A=,B=3，求矩阵BA的特征值与特征向量；

*|_20

-0-1'

2.说明矩阵没有实数特征值和特征向量.

10

11

留意：1.矩阵M有特征值人及对应的特征向量a,则Mna=入a（n《N*）.

2.假如矩阵M有两个不共线的特征向量a।,a2,其对应的特征值分

别为入।,入2,那么平面内随意个向量&=5<1.a?,因此Mna=SAJa1+t

n

X2a2.

二、教学运用：

91n

例1、已知M=,P=,求M?B.

-32][_-4

121

例2、已知M=,B=7计算M50P.

_21JL

例3、已知矩阵M=36有属于特征值入&的特征向量aI=6

5及属于

_52]L.

特征值入2=-3的特征向量a2=1.

-1

■31

(1)对向量a=，记作a=a]—3a2,利用这一表达式计算M3a及M，

8

~Q-

(2)对向量B=3,求乂58及乂必8.

三、课堂小结：

四、课堂练习：P721

五、回顾反思：

六、课外作业：

12

L设A：?I，矩阵A的特征值为()

A.3和1B.3和一1C.一3和1D.一3和一1

1

2

2.设M=矩阵M的特征向量可以是)

L2~2

后1

D.

13

3.设A是旋转角为n的旋转变换，口是一个随意向量，N在A下的象A口=一口,

则A的属于特征—1的特征向量为平面上的.

-8-5-

4.(1)求矩阵M=的特征值与特征向量；

(2)向量a=求M4a,M⑪a.

123

5.已知矩阵A=及向量a=

544

⑴计算A%,并分析探讨当n的值越来越大时,A11a的变更趋势.

(2)给出Ana的一个近似公式，并利用这一近似公式计算A100a.

6.若矩阵A有特征向量i=:和j=：,且它们所对应的特征值分别为入i=2,

入2=-1.

(1)求矩阵A及其逆矩阵A」；

(2)求逆矩阵A”的特征值及特征向量；

X

(3)对随意向量a="，求Ai0°a及A-k.

y

§2.6矩阵的简洁应用一

教学目标：

学问与技能：1.熟悉线阶矩阵的一些简洁应用，能利用矩阵解决一些简洁的实际

问题.

2.通过矩阵的一些计算，相识各种问题中的数学规律.

过程与方法：

情感、看法与价值观：

教学重点：矩阵的一些简洁应用

教学难点：利用矩阵解决一些简洁的实际问题

教学过程：

一、问题情境：

如图是A、B、C三个城市间的交通状况，小月想从其中某一城市动身直达

另一个城市，她可以有几种选择？假如她想从某一城市动身，先经过一个城市

再到达另一个城市，她又可以有几种选择？A

二、建构数学：

1网.络图

2.一级路矩阵和二级路矩阵

三、教学运用

'012'

例1、已知一级路矩阵100表示一个网络图,它们的结点分别为A