安徽省合肥市肥东县高级中学2025届高三数学下学期5月调研考试试题理含解析

PAGE22-安徽省合肥市肥东县高级中学2025届高三数学下学期5月调研考试试题理（含解析）本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟留意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】求解函数的定义域可得：，则，求解指数不等式可得：，结合交集的定义可得：．故选B．2.复数，，是虚数单位.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】z=（a+i）（1﹣i）=a+1+（1﹣a）i，∴|z|=2=，化为a2=1．解得a=±1．故选D．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．3.已知实数，，，则的最小值是（）A B. C. D.【答案】B【解析】∵，，∴当且仅当，即，时取等号.故选B点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题．解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，许多状况下，要依据一正、二定、三取等的思路去思索，本题依据条件构造，然后乘“1”变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.4.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将函数f（x）==图象向左平移个单位长度后，得到y=g（x）=sin（2x++）=sin（2x+π）=﹣sin2x的图象，在上，2x∈[﹣，]，﹣sin2x∈，则g（x）在上的值域为，故选B．5.已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的绽开式中常数项的系数是（）A. B.20 C. D.60【答案】A【解析】【分析】依据程序框图计算得到，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】模拟程序框图的运行过程，如下：，，，，是，；，，是，；，，是，，，，否，退出循环，输出的值为，二项式的绽开式中的通项是，令，得，∴常数项是，故选：A.【点睛】本题考查了程序框图，二项式定理，意在考查学生的计算实力，理解实力和应用实力.6.已知椭圆：的左、右焦点分别为，.也是抛物线：的焦点，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意可得：c==．直线AF1的方程为：y=x+c．联立，解得A（c，2c），代入椭圆方程可得：，即，化为：e2+=1，解出即可得出．详解：由题意可得：c==直线AF1的方程为y=x+c．联立，解得x=c，y=2c．∴A（c，2c），代入椭圆方程可得：，∴，化为：e2+=1，化为：e4﹣6e2+1=0，解得e2=3，解得e=﹣1．故答案为B点睛：(1)本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的解法，考查了学生的推理实力与计算实力.(2)求离心率常用的方法是找关于离心率的方程再解方程,本题就是利用点A(c,2c)在椭圆上找到关于离心率的方程的.7.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，解除B、C；又由，解除D，故选A.8.下列说法中正确的是（）①“，都有”的否定是“，使”.②已知是等比数列，是其前项和，则，，也成等比数列.③“事务与事务对立”是“事务与事务互斥”的充分不必要条件.④已知变量，的回来方程是，则变量，具有负线性相关关系.A.①④ B.②③ C.②④ D.③④【答案】D【解析】①“，都有”的否定是“，使”，该说法错误；②当数列的公比为-1时，可能是0，该说法错误.③对立肯定互斥，互斥不肯定对立，故“事务与事务对立”是“事务与事务互斥”的充分不必要条件，该说法正确.④则变量，具有负线性相关关系，该说法正确.综合可得：正确的说法是③④.本题选择D选项.9.已知的三个内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，由于为定值，由余弦定理得，即.依据基本不等式得，即，当且仅当时，等号成立.，故选.10.函数，图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值是A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】令对数的真数等于1，求得的值，可得函数的图象恒过定点A的坐标，依据点A在一次函数的图象上，可得，再利用基本不等式求得的最小值．【详解】解：对于函数，令，求得，，可得函数的图象恒过定点，若点A在一次函数的图象上，其中，则有，则，当且仅当时，取等号，故的最小值是8，故选C．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，以及基本不等式的应用，属于中档题．11.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱，则所求角为，易得，因此，故选C．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，详细步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特殊留意异面直线之间所成角的范围．12.已知，当时，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取，则.所以.故选B.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，，且，则__________．【答案】【解析】∵向量，，且∴，即.∵∴故答案为.14.若实数满意不等式组则的最小值为______．【答案】-13【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝2x+y对应的直线进行平移，可得当x＝y＝1时，z＝2x+y取得最小值．【详解】作出不等式组表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由解得B（﹣11，﹣2）设z＝F（x，y）＝x+y，将直线l：z＝x+y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最小值，∴z最小值＝F（﹣11，﹣2）＝﹣13．故答案为﹣13【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简洁的线性规划等学问，属于基础题．15.已知双曲线的离心率为，左焦点为，点（为半焦距）.是双曲线的右支上的动点，且的最小值为.则双曲线的方程为_____.【答案】【解析】【分析】由，可知，而最小值为，结合离心率为2，联立计算即可．【详解】设双曲线右焦点为，则，所以，而的最小值为，所以最小值为，又，解得，于是，故双曲线方程为.【点睛】本题考查了双曲线的方程，双曲线的定义，及双曲线的离心率，考查了计算实力，属于中档题．16.边长为2的等边的三个顶点，，都在以为球心的球面上，若球的表面积为，则三棱锥的体积为__________．【答案】【解析】设球半径为，则，解得．设所在平面截球所得的小圆的半径为，则．故球心到所在平面的距离为，即为三棱锥的高，所以．答案：三、解答题（本大题共6小题，共70分.其中22、23为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}、{}满意＋＝，数列{}的前n项和为．（1）若＝，且数列{}为等比数列，求a1的值；（2）若＝，且S71＝2088，S2024＝1880，求a1，a2的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依据，利用累加法求得的通项公式，进而求得的值.（2）依据，可证明数列是一个周期为的周期数列.并且连续项和为，由此化简两个已知条件，解方程组求得的值.【详解】（1）依题意，，即；故当时，，，……，，将以上各式累加得，故，因为为等比数列，故；（2）依题意，，故①，②，①+②得，，数列是一个周期为6的周期数列，设，，则，，，，，，……，即数列的随意连续6项之和为0，因为，故；因为，故；解得，，即.【点睛】本小题主要考查利用累加法求数列的通项公式，考查利用数列的特殊项找到数列的规律来解题，属于中档题.18.如图所示，正三棱柱的底面边长为是侧棱的中点.（1）证明：平面平面；（2）若平面与平面所成锐二面角的大小为，求四棱锥的体积.【答案】(1)见解析；（2）.【解析】【详解】（1）如图①，取的中点，的中点，连接，易知又，∴四边形为平行四边形，∴.又三棱柱是正三棱柱，∴为正三角形，∴.又平面，,而，∴平面.又，∴平面.又平面，所以平面平面（2）（方法一）建立如图①所示的空间直角坐标系，设，则，得.设为平面的一个法向量.由得即.明显平面的一个法向量为，所以，即.所以.（方法二）如图②，延长与交于点,连接.∵,为的中点，∴也是的中点,又∵是的中点,∴.∵平面∴平面.∴为平面与平面所成二面角的平面角.所以,∴.19.某省高考改革方案指出：该省高考考生总成果将由语文数学英语3门统一高考成果和学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门等级性考试科目中自主选择3个，按获得该次考试有效成果的考生(缺考考生或未得分的考生除外)总人数的相应比例的基础上划分等级，位次由高到低分为A、B、C、D、E五等21级，该省的某市为了解本市万名学生的某次选考化学成果水平，统计在全市范围内选考化学的原始成果，发觉其成果听从正态分布，现从某校随机抽取了名学生，将所得成果整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）估算该校名学生成果的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从该校名考生成果在的学生中随机抽取两人，该两人成果排名（从高到低）在全市前名的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：若，则，，.【答案】（1）68.2；（2）见解析【解析】【分析】(1)干脆利用平均数的公式求该校名学生成果的平均值.(2)先求出全市前名的成果在分以上，上述名考生成果中分以上的有人,再求随机变量的分布列和数学期望.【详解】（1）（2）该校名考生成果在的人数为而,则，所以，所以全市前名的成果在分以上，上述名考生成果中分以上的有人.随机变量,于是,,的分布列：所以数学期望.【点睛】(1)本题主要考查平均值的计算,考查古典概型的计算和随机变量的分布列和期望,意在考查学生对这些学问的驾驭水平和分析推理实力.(2)本题的解题关键在求出全市前名的成果在分以上，上述名考生成果中分以上的有人.20.如图,在平面直角坐标系中,抛物线的准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于两点,设到准线的距离.（1）若,求抛物线的标准方程；（2）若,求证：直线的斜率的平方为定值.【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】（1）由抛物线定义得，而，所以轴,即，（2）由得，又所以，从而，再依据直线方程与抛物线方程联立方程组，消去得,结合韦达定理得，即可证明结论.【详解】（1）,设抛物线的焦点为,,即轴,,即,得,所以抛物线的方程为.（2）设,直线的方程为,将直线的方程代入,消去得,由得.所以.,又,,所以,所以,即直线的斜率的平方为定值.考点：抛物线定义，直线与抛物线位置关系【方法点睛】1.求定值问题常见的方法有两种（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）干脆推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．定点的探究与证明问题（1）探究直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．（2）从特殊状况入手，先探求定点，再证明与变量无关．21.已知，函数在点处与轴相切（1）求的值，并求的单调区间；（2）当时，，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用已知条件列出方程，求出，推断导函数的符号，然后求解单调区间．

（2）令，．求出，令，求出导数，通过（i）若，（ii）若，推断函数的单调性求解最值，然后求解的取值范围．【详解】（Ⅰ）函数在点处与轴相切．，依题意，解得，所以．当时，；当时，．故的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）令，．则，令，则，（ⅰ）若，因为当时，，，所以，所以即在上单调递增．又因为，所以当时，，从而在上单调递增，而，所以，即成立．（ⅱ）若，可得在上单调递增．因为，，所以存在，使得，且当时，，所以即在上单调递减，又因为，所以当时，，从而在上单调递减，而，所以当时，，即不成立．综上所述，的取值范围是．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性、切线方程函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的实力．属难题.22.在极坐标系