专题04 指对幂函数及函数与方程（5知识点+4重难点+7技巧+4易错）（解析版）-2025高考数学一轮复习知识

专题04指对幂函数及函数与方程（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1指数幂与对数1、根式与分数指数幂（1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．（2）根式的性质（，且）：；（3）分数指数幂的表示正分数指数幂：规定：负分数指数幂：规定：性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2、指数幂的运算性质（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（2）指数幂的运算性质①．②．③．3、对数与对数运算（1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。（2）对数的性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)；=1\*GB3①loga1＝0，=2\*GB3②logaa＝1，=3\*GB3③alogaN＝N，=4\*GB3④logaaN＝N(a>0，且a≠1).指数式与对数式的关系（3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0运算法则：=1\*GB3①loga(M·N)＝logaM＋logaN=2\*GB3②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN=3\*GB3③logaMn＝nlogaM(n∈R)换底公式：=1\*GB3①logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)，选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。=2\*GB3②换底公式的三个重要结论：logab＝eq\f(1,logba)；logambn＝eq\f(n,m)logab；logab·logbc·logcd＝logad.知识点2幂函数及其性质1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．（1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．（2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象(如图2、幂函数的性质（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．2、二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象(抛物线)定义域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))对称轴x＝－eq\f(b,2a)顶点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函数在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数知识点3指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．2、指数函数的图象与性质图象图像特征在轴的上方，过定点当逐渐增大时，图象逐渐上升当逐渐增大时，图象逐渐下降性质定义域值域单调性在上是增函数在上是减函数奇偶性非奇非偶函数范围当时，；当时，；当时，；当时，；3、指数函数的常用技巧（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论；（2）指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象，底数与1的之间的大小关系为；规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。（3）指数函数与的图象关于轴对称。知识点4对数函数及其性质1、对数函数的概念（1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．（2）特殊的对数函数=1\*GB3①常用对数函数：以10为底的对数函数.=2\*GB3②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.2、对数函数的图象与性质图象a＞10＜a＜1性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数3、对数函数图象的常用结论（1）函数y＝logax与y=log1a（2）对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．知识点5函数零点与二分法1、函数零点的定义（1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．（2）函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数．2、函数零点存在定理（1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．（2）两个重要推论推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则3、二分法（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．（2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤=1\*GB3①确定零点的初始区间，验证=2\*GB3②求区间的中点=3\*GB3③计算，进一步确定零点所在的区间：若（此时），则就是函数的零点；若（此时），则令；若（此时），则令.=4\*GB3④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；重难点01指数型复合函数的值域1、形如（，且）的函数求值域换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围2、形如（，且）的函数求值域换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。【典例1】（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是.【答案】16【解析】由，而，因为单调递增，所以，则的最大值是16.【典例2】（23-24高三上·福建福州·期中）函数的值域为．【答案】【解析】因为，又，所以，所以，所以，所以，所以函数的值域为.【典例3】（23-24高三上·湖北·期中）已知是定义域为的奇函数.（1）函数，，求的最小值.（2）是否存在，使得对恒成立，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，【解析】（1）由为上的奇函数，知，得；代入函数得：，由于，故时，为奇函数，满足条件，，令，易知在上单调递增，故当时，取得最小值，，当时，取得最大值，.∴，则上式转化为，∴时，，此时；（2），，代入不等式得，即得：，∵时，，∴，又，当，即时，取得最小值，而，∴.重难点02对数型复合函数的值域1、形如（，且）的函数求值域换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域。2、形如（，且）的函数的值域换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域。【典例1】（23-24高三上·四川广安·月考）已知函数，则的值域是.【答案】【解析】,单调递增，，则的值域是。【典例2】（23-24高三上·江苏常州·月考）已知函数，则函数的值域为．【答案】【解析】由于，由，得，解得，即函数的定义域为,．，又，，，故函数的值域为.重难点03嵌套函数的零点问题处理复合函数的零点问题的方法：=1\*GB3①确定内层函数和外层函数；②确定外层函数的零点；③确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、…、，则函数的零点个数为.【典例1】（2024·浙江金华·三模）若函数，则方程的实数根个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】，当时，，则，此时在上单调递减，当时，，则，故当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，画出函数和的图象如下：令得，故，令，则，且，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，由3个解，综上，方程的实数根的个数为5.故选：D【典例2】（23-24高三上·江西上饶·月考）设函数，若关于x的函数恰好有五个零点.则实数a的取值范围是.【答案】【解析】作出函数的图象如图，令，函数恰好有五个零点．则方程化为，则必有两个不同实根，则，结合图形可知，则必不为，故方程的一根在区间内，另一根在区间内，令，则，解得：，综上：实数的取值范围为.【典例3】（23-24高三下·重庆·月考）已知函数，，若关于的方程有6个解，则的取值范围为.【答案】【解析】由题可得，令，则方程的解有3个，当时，，所以在上单调递增，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，，，当时，，所以，画的图象如下：由图象可得，且方程的三个解分别为，不妨设，则有，即，又所以在上单调递减，在上单调递增，且，又因为，所以，所以有，即，令，所以，所以在上单调递增，又，所以的解集为，综上，的取值范围为。重难点04关于函数零点求和问题利用函数零点位置的对称性求和（1）将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题；（2）=1\*GB3①如果两个函数图象都关于直线对称，那么这两个函数图象的交点也关于直线对称，则对应的两零点之和为；=2\*GB3②如果两个函数图象都关于点对称，那么这两个函数图象的交点也关于点对称，则对应的两零点之和为.【典例1】（23-24高三上·河北邢台·月考）已知定义域为的函数满足，且曲线与曲线有且只有两个交点，则函数的零点之和是（

）A．2 B．－2 C．4 D．－4【答案】A【解析】由题意定义域为的函数满足，则的图象关于点成中心对称，函数的图象是由的图象向右平移一个单位得到，故的图象关于点成中心对称，又曲线与曲线有且只有两个交点，则这两个交点关于对称，故这两个交点的横坐标之和为2，而函数的零点即为曲线与曲线交点的横坐标，故函数的零点之和是2，故选：A【典例2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为的定义域为，关于原点对称，所以，所以函数为奇函数，关于原点中心对称，而函数是函数向右平移两个单位得到的函数，因而关于中心对称，函数满足，所以，即，所以函数关于中心对称，且，且，所以由函数零点定义可知，即，由于函数和函数都关于中心对称，所以两个函数的交点也关于中心对称，又因为恰有个零点，即函数和函数的交点恰有个，且其中一个为，其余的个交点关于对称分布，所以个零点的和满足，故选：D.一、指对幂与对数式运算1、指数幂运算的一般原则（1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；（4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。2、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。3、对数运算中的几个运算技巧（1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简；（2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解。【典例1】（23-24高三上·山东菏泽·月考）化简求值：（1）（2）【答案】（1）1；（2）【解析】（1）原式；（2）原式.【典例2】（23-24高三上·河南信阳·月考）计算下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式.二、幂函数的图象与性质对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1，y=1，y=x所分区域.根据a<0，0<a<1，a=1，a>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.【典例1】（2024·山东日照·二模）已知幂函数图象过点，则函数的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设幂函数的解析式为，由于函数过点，故，解得，该幂函数的解析式为；故选：B【典例2】（23-24高三上·广东佛山·月考）当时，幂函数为单调递减函数，则．【答案】【解析】由题意可知或，当时，，此时在第一象限是单调递减函数，符合题意；当时，，此时在第一象限是单调递增函数，不符合题意；综上：.【典例3】（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是．【答案】【解析】因为的图象过点所以，解得所以在定义域上递减，故，解得三、指数函数的图象与性质指数函数的图象需要注意以下几个特征：（1）指数函数的图象所过的关键点为，，；（2）函数图象与坐标轴的交点位置；（3）函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。【典例1】（2024·贵州毕节·三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（

）A．1 B． C． D．0【答案】B【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，又，所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，因为，所以，故.故选：B【典例2】（23-24高三上·山西晋中·月考）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】当时，对应的图象可能为选项A；当时，对应的图象可能为选项C.故选：AC.【典例3】（23-24高三上·福建莆田·月考）函数且的图象恒过定点，若且，则的最小值为（

）A．9 B．8 C． D．【答案】B【解析】函数且的图象恒过定点，所以，，，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为.故选：B.【典例4】（23-24高三下·江西鹰潭·月考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，因为在定义域上单调递减，要使函数在区间上单调递增，则在区间上单调递减，所以，解得，所以的取值范围为.故选：C四、对数函数的图象与性质对数函数图象的识别及应用方法（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项；（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【典例1】（23-24高一上·全国·课后作业）对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为.【答案】【解析】设对数函数的解析式为(且)，由已知可得，即，解得，即函数解析式为.【典例2】（23-24高三上·四川绵阳·月考）若为奇函数，则.【答案】【解析】，由，得或，所以函数的定义域为，因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，得，此时，，即，函数为奇函数，所以.【典例3】（23-24高三上·广东东莞·月考）（多选）对数函数（且）与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】选项A，B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为0，，选项A中，由图象得，从而，选项A可能；选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能．选项C，D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，D不可能；选项C中，由图象与x轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能．故选：BCD．【典例4】（23-24高三下·陕西西安·月考）已知函数在单调递增，则的取值范围是.【答案】【解析】设，因为单调递增，若在单调递增，则在单调递增，则满足，即，解得，故的取值范围是.五、指对幂比较大小的常见方法1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；2、作差法、作商法：（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；5、构造函数，运用函数的单调性比较：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f()外衣”比较大小；（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。6、放缩法：（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；（2）指数和幂函数结合来放缩；（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。【典例1】（23-24高三上·天津武清·月考）已知，，.则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，由指数函数的性质知在R上单调递减，所以，令，由幂函数的性质知在单调增，所以，所以.故选：C【典例2】（2024·山东潍坊·二模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，所以，故选：A.【典例3】（2024·山东聊城·三模）设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数在定义域上单调递增，故，又，所以.故选：A【典例4】（23-24高三上·河南·月考）已知正数，满足，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，可得，，可得，，可得，且考虑和的图象相交，在同一平面直角坐标系中画出、、与的图象如下：根据图象可知.故选：B.六、函数零点个数的判断方法1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.3、图象法：（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；（2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数【典例1】（23-24高三上·广东深圳·月考）函数，的零点个数为．【答案】【解析】令，由二倍角公式可得，即，解得或，当时，若时，解得或；若，解得或；综上所述，函数在上的零点个数为个.【典例2】（23-24高三上·广东中山·月考）函数的零点个数为【答案】6【解析】，故，画出和，两函数交点个数即为的零点个数，

由图象可得，共6个交点，所以的零点个数为6.【典例3】（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有个.【答案】4【解析】函数是偶函数，说明函数的图象关于轴对称，说明的周期是2，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示：如图所示，共有4个不同的交点，即有4个零点.七、已知零点个数求参数范围的方法1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．【典例1】（23-24高三上·山东济南·月考）已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围为.【答案】【解析】作出的函数图象如图所示:画出函数的图象,由图象可知当时，有1零点，当时，有3个零点，当或时，有2个零点.【典例2】（23-24高三上·广东惠州·月考）设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，设函数，令，即，所以问题转化为，有3个交点；在坐标系内，作出函数的图像如下所示，结合图象可知，，故实数的取值范围为.故选：B【典例3】（2023·天津河北·一模）函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为.【答案】或【解析】因为，所以，则函数恰有2个零点等价于有两个不同的解，故，的图象有两个不同的交点，设，又，的图象如图所示，由图象可得两个函数的图象均过原点，当时，考虑直线与的图象相切，则由可得，即，考虑直线与的图象相切，由可得，则，即．考虑直线与的图象相切，由可得，则，即，结合图象可得当或时，两个函数的图象有两个不同的交点，综上，或．易错点1指数与对数函数中忽略对底数的讨论点拨：指数与对数函数问题中，其底数若不是确定的数值，需要对底数分a＞1或0<a<1两种情况进行讨论。【典例1】（2023·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数在上的最大值为，则（）A．或3 B．或2 C．3 D．2【答案】A【解析】因为是奇函数，所以，所以．即，则，解得，经检验符合题意，所以，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，所以，，整理得，解得或(舍去)，所以；当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，所以，，整理得，解得或(舍去)，所以，综上，或3．故选：A．【典例2】（23-24高三上·上海浦东新·月考）设常数且，若函数在区间上的最大值为1，最小值为0，则实数.【答案】2【解析】当时，函数在区间上单调递增，所以，解得当时，函数在区间上单调递减，所以，无解易错点2求复合函数单调性时忽略定义域点拨：求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间。解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是“同增异减”法则不会或法则用错。【典例1】（2023·陕西安康·模拟预测）函数的单调递增区间为（

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