专题11 等差数列与等比数列（5知识点+2重难点+11方法技巧+3易错易混）（解析版）-2025高考数学一轮复习知识

专题11等差数列与等比数列（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1数列的有关概念1、数列的定义及表示（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．（2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．2、数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列其中n∈N*递减数列常数列按其他标准分类有界数列存在正数M，使摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期数列对n∈N*，存在正整数常数k，使3、数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4、数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．知识点2等差数列1、等差数列的定义（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；（2）符号语言：(，为常数)．2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．3、通项公式与前n项和公式（1）通项公式：．（2）前项和公式：．（3）等差数列与函数的关系=1\*GB3①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列．=2\*GB3②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0.知识点3等差数列的性质已知数列是等差数列，是其前项和．1、等差数列通项公式的性质：（1）通项公式的推广：．（2）若，则．（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为．（4）若是等差数列，则也是等差数列．2、等差数列前项和的性质（1）；（2）；（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.（4）数列，，，…构成等差数列．3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质（1）若项数为，则，；（2）若项数为，则，，，.知识点4等比数列1、等比数列的定义（1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。（2）数学语言表达式：(，为非零常数)．2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.注意：同号的两个数才有等比中项。3、通项公式及前n项和公式（1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；通项公式的推广：.（2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，.知识点5等比数列的性质已知是等比数列，是数列的前项和．1、等比数列的基本性质（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为.（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．（3）若，则有口诀：下标和相等，项的积也相等推广：（4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。（5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。2、等比数列前项和的性质（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；（2）对，有；（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和；（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）重难点01等差数列前n项和最值求法1、二次函数法：将Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．2、邻项变号法：当a1>0，d<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))时，Sn取得最小值．特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．【典例1】（23-24高三下·辽宁葫芦岛·二模）等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】在等差数列中，，由，可得，，，且数列为递减数列，所以使得前n项的和最大的n值为8.故选：B.【典例2】（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是其前项的和，则下列结论错误的是（

）A．若，则取最小值时的值为12B．若，则的最大值为108C．若，则必有D．若首项，，则取最小值时的值为9【答案】D【解析】对于A，因为，所以，所以，所以当时，取得最小值，正确；对于B，因为，所以，所以，所以当或时，取得最大值为，正确；对于C，若，则，又，所以，所以，正确；对于D，若，则，又，所以，所以，所以等差数列an为递减数列，所以，所以取最大值时的值为9，错误.故选：D重难点02已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．【典例1】（23-24高二上·天津武清·月考）若等差数列的首项，，记，则．【答案】【解析】，当时，，当时，，故故答案为：【典例2】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求.【答案】(1)，；(2)【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，又，，，，，，则，，，又，，.（2）由（1）得，，当时，，当时，，.一、由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用或，处理.【典例1】（23-24高三上·山东泰安·开学摸底）已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（

）A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项【答案】D【解析】根据数列1，，，，3，…，，又，,解得，故选:D.【典例2】（23-24高三下·贵州黔南·二模），数列1，，7，，31，的一个通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于选项A：因为，故A错误；对于选项B：因为，故B错误；对于选项C：因为，故C错误；对于选项D：检验可知对均成立，故D正确；故选：D.【典例3】（23-24高三下·广东梅州·一模）.【答案】【解析】故答案为：二、数列周期性解题策略1、周期数列的常见形式（1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；（2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；（3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和．【典例1】（23-24高三下·山东济宁·三模）已知数列an中，，则（

）A．-2 B． C．1 D．2【答案】C【解析】由，得，，，，，，则是以6为周期的周期数列，所以.故选：C【典例2】（23-24高三下·辽宁·模拟预测）数列中，，，，则的值为（

）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】因为，，，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；可知数列an是以6所以.故选：A.【典例3】（23-24高三下·重庆·开学考试）已知数列满足，，则的前项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，数列满足，，，，所以数列是周期为的数列，，所以的前项和为.故选：D三、求数列最大项或最小项的方法（1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项．（2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项．（3）比较法：①若有（或时，），则，即数列是递增数列，所以数列的最小项为；②若有（或时，），则，即数列是递减数列，所以数列的最大项为．【典例1】（23-24高三下·山东济南·二模）已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（

）A．63 B．64 C．71 D．72【答案】C【解析】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足各项尽可能取到最小值，又因为是各项均为正整数的递增数列，所以，即是首相为，公差为的等差数列，其中；的前项和为；当时，；当时，；又因为，所以的最大值为，此时，取得最大值为.故选：C.【典例2】（23-24高三下高三·全国·专题练习）已知数列{an}的通项公式为，则此数列的最大项为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方法一：－＝·，当时，，即；当时，，即；当时，，即，所以，所以数列an有最大项，为第8项和第9项，且.方法二：设数列an的第n项最大，则，即，解得，又，则或，故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且.故选：D【典例3】（23-24高三下·上海·模拟预测）数列的最小项的值为.【答案】【解析】令，得，令，得，所以当时，，当时，，而函数在上单调递减，所以当时，取得最小值，即数列的最小项的值为.四、等差数列的基本运算的解题策略1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．【典例1】（23-24高三下·新疆·二模）已知等差数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以．因为，所以．另解：设等差数列an的公差为，由，得，所以，即，得，所以，因为，，，，所以故选：A．【典例2】（23-24高三上·江苏南京·月考）已知公差大于0的等差数列的前6项和为，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则，，前项和，由题意得，又，解得.，.故选：C.【典例3】（23-24高三下·内蒙古包头·三模）设为等差数列的前n项和，若，，若时，，则等于（

）A．11 B．12 C．20 D．22【答案】D【解析】设公差为，由，得，所以，由，得故，则，因为，所以，化简得，解得或（舍去）.故选：D.五、等差数列的判定与证明的方法1、定义法：或是等差数列；2、定义变形法：验证是否满足；3、等差中项法：为等差数列；4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；5、前n项和公式法：为常数为等差数列．注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．【典例1】（23-24高三下高三·全国·专题练习）已知数列满足．证明：数列是等差数列；【答案】证明见解析【解析】证明：令，又，则有，因为，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列【典例2】（23-24高二下·江苏·月考）数列的前项和为，且，当时，.(1)计算：，；(2)证明为等差数列，并求数列的通项公式；【答案】(1)，；(2)证明见解析，【解析】（1）由，，令，得，又，所以，令，得，又；（2）因为当时，，所以，所以数列为等差数列，首项为，公差为，所以，所以，于是，当时，，当时，，满足上式，故.【典例3】（23-24高三下·江苏南通·二模）设数列的前项和为，若，.(1)求，，并证明：数列是等差数列；(2)求.【答案】(1)，，证明见解析；(2)420.【解析】（1）当时，由条件得，所以.当时，由条件得，所以.因为，所以（），两式相减得：，即，所以，从而数列为等差数列.（2）由（1）知，所以，所以数列为等差数列，首项为，所以，所以.六、等差数列性质的应用1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝eq\f(am－an,m－n)为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.【典例1】（23-24高三下·广西柳州·模拟预测）在等差数列中，若，则（

）．A．7 B．12 C．16 D．24【答案】B【解析】在等差数列中，若，则，所以，所以．故选：B【典例2】（24-25高三上·广东·联考）在等差数列中，若，则的值为（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】C【解析】由题意.故选：C.【典例3】（23-24高三下·云南·月考）已知为等差数列的前n项和，，则（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【解析】在等差数列中，，．又，，故选D．七、等差数列的前n项和常用的性质应用1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列．3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).【典例1】（24-25高三上·广东·开学考试）在等差数列中，，，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等差数列的性质可知，在等差数列中，，仍为等差数列，所以，所以．故选：C．【典例2】（23-24高三下·天津南开·月考）已知等差数列和的前项和分别为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为是等差数列和的前项和，，又所以故选：C.【典例3】（23-24高三下高三·全国·专题练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则.【答案】【解析】设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列．因为，所以的公差为，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以.八、求解等比数列的基本量常用的思想方法1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键．2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论．【典例1】（23-24高三下·四川凉山·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则公比（

）A． B． C．3或 D．或【答案】D【解析】由，因，代入得，，即，解得，或.故选：D.【典例2】（23-24高三下·江苏无锡·开学考试）设各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．31【答案】D【解析】设等比数列的公比为，，当时，，，则，所以.所以，整理得，由于且，所以，则，所以，则，所以.故选：D【典例3】（23-24高三下·辽宁丹东·开学考试）设等比数列an的前项和为，若，，则（

）A．或9 B．8或 C．8或9 D．或【答案】B【解析】依题意，，因为，，所以，故，即，即，所以或或（舍去），所以或.故选：B九、等比数列的判定与证明常用的方法：1、定义法：为常数且数列是等比数列．2、等比中项法：数列是等比数列．3、通项公式法：数列是等比数列．4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列．其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.【典例1】（23-24高三下·宁夏银川·二模）已知数列满足，，则下列是等比数列的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，，可得，即，解得，又，即，解得，由，，，，故A错误；由，，，，故B错误；由，，，，故C错误；由，可得，即为，又，可得是首项为3，公比为的等比数列，故D正确．故选：D.【典例2】（23-24高三下高三·全国·专题练习）已知数列满足，，．(1)证明：是等比数列；(2)求．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）由已知，，∴，∴，显然与，矛盾，∴，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列．（2）∵，∴，∴，显然与，矛盾，∴，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，①，又∵由第（1）问，，②，∴②①得．【典例3】（23-24高三下·重庆·月考）已知数列的前项和为，且，．(1)求，，并证明：数列为等比数列；(2)求的值．【答案】(1)，，证明见解析；(2)968【解析】（1）由已知可得，解得，，，，，两式相减得，即，，又，所以，因为，所以数列为等比数列.（2）由（1）得，，，，.十、等比数列的性质及应用1、等比数列性质应用问题的解题突破口等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．2、应用等比数列性质解题时的2个注意点（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【典例1】（23-24高三下·山东淄博·二模）已知等比数列则（

）A．8 B．±8 C．10 D．±10【答案】A【解析】根据等比中项知道，求得，则.又，则.故选：A.【典例2】（23-24高三下·广西·二模）设是等比数列的前n项和，若S2=2，，则S6S4=A．2 B． C．3 D．【答案】D【解析】由题意得S2=2,S因为成等比数列，故S4-即62=2S故S6S4【典例3】（23-24高三下·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（

）A．40 B．-30 C．30 D．-30或40【答案】A【解析】因为，且，所以，，故，所以，即，解得或（舍去），由等比数列性质可知，成等比数列，公比为所以，解得，故选：A十一、等差数列与等比数列的实际应用解决数列新背景问题的步骤（1）读懂题意：脱去传统风俗、数学文化等背景，读懂题意；（2）构造模型：根据题意构造等差数列、等比数列或递推关系的模型；（3）求解模型：根据数列的相关性质求解，如求特定项、通项公式或前n项和.【典例1】（23-24高三下·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（

）A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年【答案】D【解析】天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于，故100年后天干为甲，由于，余数为4，故100年后地支为“辰”后面第四个，即“申”，所以2124年为甲申年．故选：D【典例2】（23-24高三下·云南昆明·模拟预测）每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】设第天水塘中的荷花朵数为，则，设第天池塘内开放荷花的数量为，则，，，当时，，当时，，所以荷花的数量在第8天达到最大.故选：C.【典例3】（23-24高三上·河南周口·月考）如图，正方形的边长为1，记其面积为，取其四边的中点，，，，作第二个正方形，记其面积为，然后再取正方形各边的中点，，，，作第三个正方形，记其面积为，如果这个作图过程一直继续下去，记这些正方形的面积之和，则面积之和将无限接近于（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【解析】设正方形的面积为，则数列是以1为首项，为公比的等比数列，数列的前项和，随着的无限增大，无限接近于0，所以所有这些正方形的面积之和将无限接近于2．故选：B易错点1混淆数列与函数的区别点拨：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性