专题04 概率与统计初步（7考点串讲+7热考题型）（高教版2021·基础模块下册）（解析版）

专题04概率与统计初步考点串讲考点串讲考点一、随机实验（1）随机试验定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．特点：试验可以在相同条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．（2）样本点和样本空间定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间．表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，则称样本空间为有限样本空间．（3）事件的分类随机事件：我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母，，，…表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件．考点二、频率与概率（1）频率：在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现,称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率.（2）概率：大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率.（3）由概率的定义可知：对于任意事件，都有；必然事件的概率为1，即；不可能事件的概率为0，即.考点三、古典概型（1）古典概型的定义如果一个试验具有如下性质：有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等．称这样的为古典概率模型，简称古典概型．（2）古典概型的概率计算公式一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率，其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．考点四、概率的简单性质（1）互斥事件一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：，图示：.（2）对立事件一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且，图示：.（3）互斥事件与相互独立事件的区别与联系相互独立事件互斥事件判断方法一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即概率公式事件与相互独立等价于事件与互斥，则考点五、抽样方法（1）简单随机抽样一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．最常用的简单随机抽样方法是抽签法.抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取1个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的．（2）系统抽样一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：①先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；②确定分段间隔k，对编号进行分段．当eq\f(N,n)(n是样本容量)是整数时，取k＝eq\f(N,n)，如果遇到eq\f(N,n)不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除；③在第1段用简单随机抽样方法确定第一个个体编号l(l≤k)；④按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．当总体中元素个数较少时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用系统抽样．（3）分层抽样分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的．考点六、统计图表名称概念频数、频率将一批数据按要求分为若干个组,各组内数据的个数,叫作该组的频数.每组频数除以全体数据个数的商叫作该组的频率，频率反映该组数据在样本中所占比例的大小.样本的频率分布根据随机所抽样本的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律(取值状况)就叫作样本的频率分布.极差若一组数据的最小值为a，最大值为b，则b-a的差就叫作极差组距把所有数据分成若干组,每个小组的两个端点之间的距离称为组距频率直方图的制作步骤：（1）求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)（2）决定组距与组数组距是指每个小组的两个端点之间的距离.为方便起见一般取等长组距，并且组距的选择应力求“取整”.极差、组距、组数有如下关系：若为整数，则=组数；若不为整数，则[]+1=组数。（3）将数据分组：通常对组内数据所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间。（4）列频率分布表：统计各组数据的频数，计算频率，填入表格中，完成频率分布表。（5）画频率直方图：画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高）表示频率与组距的比值。在频率分布直方图中，纵轴表示eq\f(频率,组距)，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1．考点七、样本的均值和标准差（1）众数，中位数，平均数众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或者最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．平均数：样本数据的算术平均数，即＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．（2）样本方差，样本标准差样本方差：标准差：s＝，其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数．标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是样本标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．热考题型热考题型类型一、随机事件的有关概念【例1】①某人射击一次,中靶；②从一副牌中抽到红桃A；③种下一粒种子发芽；④掷一枚骰子出现6点.其中是随机现象的是.【答案】①②③④【解析】根据随机现象的定义知：①：射击一次有两种可能性：中靶和不中靶，中靶满足随机现象；②：从一副牌中抽到有大小王、红桃（13张）、黑桃（13张）、方片（13张）、梅花（13张）54种可能，红桃A满足随机现象；③：种下一粒种子有发芽和不发芽两种可能性，发芽满足随机现象；④：掷一枚骰子，由1-6六种可能，故出现6满足随机现象故答案为：①②③④.【例2】从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点数为()A．2个 B．3个C．4个 D．5个【答案】C【解析】从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为：Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}.其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4个.故选：C.【变式1】现有10个同类产品，其中7个是正品，3个是次品.有以下事件：从这10个产品中任意抽取4个产品，①4个产品都是正品；②至少有1个次品；③4个产品都是次品；④至少有1个正品.其中随机事件为，不可能事件为，必然事件为.（填序号）【答案】

①②

③

④【解析】10个同类产品，其中7个是正品，3个是次品.，从中任意抽取4个产品，则至少有一个是正品，故④为必然事件，而不可能4个产品都是次品，故③为不可能事件，可能会4个产品都是正品，可能会至少有1个次品，所以①②是随机事件故答案为：①②；③；④【变式2】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.（与先后顺序有关）（1）写出这个试验的样本空间及样本点的个数；（2）写出事件“恰有两枚正面向上”的集合表示.【答案】（1）8个，见解析（2）{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}.【解析】解：（1）这个试验的样本空间：{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，样本点的个数是8.（2）记事件“恰有两枚正面向上”为事件A，则{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}.类型二、频率与概率【例1】对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是一个比值，但概率不是；④频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有()A．①③⑤ B．①③④C．①④⑤ D．②④⑤【答案】C【解析】频率是一个不确定的值，随试验次数的变化而变化，但具有相对的稳定性．而概率是一个确定的值，不随试验次数的变化而变化，但当试验次数无限增大时，频率趋向于概率，因此①④⑤是正确的．故选：C.【例2】“某彩票的中奖概率为eq\f(1,1000)”意味着()A．买1000张彩票就一定能中奖 B．买1000张彩票中一次奖C．买1000张彩票一次奖也不中 D．购买彩票中奖的可能性是eq\f(1,1000)【答案】D【解析】概率与试验的次数无关，在此题中与所买彩票的张数的多少无关，它是客观存在的，可能会出现只买一张就中奖，也可能买1000张也不中奖．故选：D.【变式1】某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是____，中9环的概率是____.【答案】0.9；0.3【解析】打靶10次，9次中靶，故中靶的概率为eq\f(9,10)＝0.9，其中3次中9环，故中9环的频率是eq\f(3,10)＝0.3．故答案为：0.9；0.3.【变式2】一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为.【答案】0.03【解析】在一年里汽车的挡风玻璃破碎的频率为eq\f(600,20000)＝0.03，所以估计其破碎的概率约为0.03．故答案为：0.03.类型三、古典概型【例1】下列试验是古典概型的为．①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；②同时掷两枚骰子，点数和为6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④甲乙等10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．【答案】①②④【解析】因为古典概型需要满足基本事件是有限个，且每个基本事件的概率相等，据此①②④均符合要求，③不满足等可能的要求，因为降雨受多方面因素影响.故答案为：①②④.【变式1】从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.故选：C.【变式2】天河英才秋季运动会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”这三个图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设三张卡片“琮琮”“宸宸”“莲莲”依次记为,若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则基本事件为：共9种，则其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的基本事件为：共2种，所有所求概率为.故选：C.类型四、概率的简单性质【例1】从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中不是互斥的两个事件是（

）A．至少有一个红球；至少有一个白球B．恰有一个红球；都是白球C．至少有一个红球；都是白球D．至多有一个红球；都是红球【答案】A【解析】对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是互斥事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是互斥事件．故选：A.【例2】甲、乙两人下棋，和棋的概率为50%，甲不输的概率为90%，则乙不输的概率为______．【答案】【解析】由题意，甲、乙两人下棋，和棋的概率为，甲不输的概率为，可得乙赢棋的概率为，所以乙不输的概率为.故答案为：.【变式1】从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为互斥事件的是（

）A．至多有1个白球；都是红球 B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰好有1个白球；都是红球 D．至多有1个白球；至多有1个红球【答案】C【解析】对于A：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“至多有1个白球”与“都是红球”不是互斥事件.故A错误；对于B：“至少有1个白球”包含都是白球和一红一白，“至少有1个红球”包含都是红球和一红一白，所以“至少有1个白球”与“至少有1个红球”不是互斥事件.故B错误；对于C：“恰好有1个白球”包含一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“恰好有1个白球”与“都是红球”是互斥事件.故C错误；对于D：“至多有1个红球”包含都是白球和一红一白，“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，所以“至多有1个白球”与“至多有1个红球”不是互斥事件.故D错误.故选：C.【变式2】口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A．0.2 B．0.28C．0.52 D．0.8【答案】A【解析】口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，因为摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，所以摸出黑球的概率是1－0.52－0.28＝0.2.故选：A．类型五、抽样方法【例1】下面的抽样方法是简单随机抽样的是()A．从无数个个体中抽取10个个体作为样本B．从含有50个个体的总体里一次性抽取5个个体作为样本C．某班有40名同学，指定个子最高的5名同学参加篮球比赛D．一彩民从装有30个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽取7个号签【答案】D【解析】A错，简单随机抽样中，总体中的个体数不能是无限的；B错，简单随机抽样的定义的要求是“逐个抽取”，不能“一次性”抽取；C错，指定5人参赛，每个个体被抽到的机会不均等，不是简单随机抽样；D对，符合简单随机抽样的定义和特征．故选：D.【例2】有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人做问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为()A．5,10,15,20 B．2,6,10,14C．2,4,6,8 D．5,8,11,14【答案】A【解析】本题考查系统抽样的具体实施过程．系统抽样采用的是等距离抽样方法，由题意知，间隔为eq\f(20,4)＝5，故选：A．【例3】交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12、21、25、43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A．101 B．808C．1212 D．2012【答案】B【解析】由题意得，eq\f(96,N)＝eq\f(12,12＋21＋25＋43)，解得N＝808．故选：B.【变式1】为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是()A．总体是240 B．个体是每一名学生C．样本是40名学生 D．样本容量是40【答案】D【解析】因为要了解的是学生身高情况，所以A，B，C错，样本容量是40.故选：D．【变式2】某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为()A．11 B．12C．13 D．14【答案】B【解析】根据系统抽样的等可能性可知，每人入选的可能性都是eq\f(42,840)，由题设可知区间[481,720]的人数为240，所以编号落入区间[481,720]的人数为：eq\f(42,840)×240＝12．故选：B.【变式3】某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、肉食品类、果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是()A．4 B．5C．6 D．7【答案】C【解析】四类食品的比例为4∶1∶3∶2，则抽取的植物油类的数量为20×eq\f(1,10)＝2，抽取的果蔬类的数量为20×eq\f(2,10)＝4，二者之和为6.故选：C．类型六、统计图表【例1】有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，则样本数据在[8,10)内的频数为()A．38 B．57C．76 D．95【答案】C【解析】样本数据在[8,10)外的频率为(0.02＋0.05＋0.09＋0.15)×2＝0.62，所以样本数据在[8,10)内的频率为1－0.62＝0.38，所以样本数据在[8,10)内的频数为0.38×200＝76.故选：C．【变式1】为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A．6 B．8C．12 D．18【答案】C【解析】设第一二组的频率之和为(0.24＋0.16)×1＝0.4，第三组有疗效的为x人，由已知得eq\f(0.4,0.36)＝eq\f(20,6＋x)，解得x＝12.