模型09、平抛-斜面模型（解析版）

模型09、平抛——斜面模型【模型解题】斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型,在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角,找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺当解决。方法内容实例总结斜面求小球平抛时间分解速度水平竖直合速度如图，，故分解速度，构建速度三角形分解位移水平竖直合位移如图，而联立得分解位移，构建位移三角形常见平抛运动模型运动时间得计算方法在水平地面上正上方h处平抛：由知，即t由高度h打算在半圆内得平抛运动（如图1），由半径和几何关系制约时间t:,联立两方程可求t斜面上的平抛问题顺着斜面平抛（如图2）方法：分解位移，，，可求得B、对着斜面平抛（如图3）方法：分解速度，，可求得对着竖直墙壁平抛（如图4）水平初速度不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，常见类平抛运动模型的分析方法1.

类平抛运动的受力特点

物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直.

2.类平抛运动的运动特点

在初速度方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度

3.类平抛运动的求解方法

(1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动.具有等时性.

(2)特殊分解法:对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为、,

初速度分解为、,

然后分别在x、y方向列方程求解。【模型训练】【例1】如图所示为跳台滑雪的简易示意图，运动员（可视为质点）从雪坡上某位置由静止滑下，到达О点后分别以大小不同的速度水平飞出。在两次训练中分别落在平台下方的斜面上的A、B两点，OA=AB。则两次训练在空中的时间之比（）A．1：1 B．1： C．1： D．1∶2【答案】B【详解】由题意可知物体做平抛运动，且位移大小之比为1∶2，方向相同，由运动的分解可知，竖直高度之比为1∶2，由运动时间之比为1∶。故选B。变式1.1如图所示，在滑雪竞赛中，甲、乙两运动员先后从雪坡滑下，水平飞出后均落到斜坡上。已知甲运动员水平飞出时的速度大小为v0，甲运动员在空中运动的时间为乙运动员在空中运动时间的倍，运动员均可视为质点，不计空气阻力。乙运动员水平飞出时的速度大小为（）A． B． C．v0 D．2v0【答案】B【详解】设斜坡的倾角为θ，运动员在斜坡上的位移为L，由平抛运动的学问可得联立可得甲运动员水平飞出时的速度大小为v0，甲运动员在空中运动的时间为乙运动员在空中运动时间的倍，则运动员乙水平飞出时的速度大小为故选B。变式1.22022年冬奥会由北京和张家口承办，滑雪是冬奥会的竞赛项目之一。如图所示，跳台的斜坡与水平面的夹角，滑雪运动员从斜坡的起点A点沿水平方向飞出，经过落到斜坡上的B点。不计空气阻力，重力加速度取，则（）A．A点与B点的距离为；运动员离开A点时的速度大小为B．A点与B点的距离为；运动员离开A点时的速度大小为C．A点与B点的距离为；运动员离开A点时的速度大小为D．A点与B点的距离为；运动员离开A点时的速度大小为【答案】A【详解】运动员在竖直方向做自由落体运动，设A点与B点的距离为，有得设运动员离开A点时的速度为，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有得故选A。【例2】如图所示，以v0=10m/s的速度水平抛出的小球，飞行一段时间垂直地撞在倾角θ=30°的斜面上，按g=10m/s2考虑，以下结论中不正确的是（）A．速度偏转角为60°B．物体撞击斜面时的速度大小为20m/sC．物体飞行的时间是6sD．物体下降的距离是15m【答案】C【详解】AC．小球撞在斜面上时速度与斜面垂直，则速度与竖直方向的夹角为30°，则依据速度的分解可得竖直方向的速度运动时间故A正确，C错误；B．物体撞击斜面时的速度大小故B正确；D．物体下落的竖直距离故D正确。故选C。变式2.1在某次演习中，轰炸机沿水平方向投放了一枚炸弹，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角为，如图所示。不计空气阻力，则（）A．仅转变炸弹的水平初速度，炸弹仍可能垂直击中山坡B．仅转变炸弹投放高度，炸弹仍可能垂直击中山坡C．可求出炸弹水平方向通过的距离D．可求出炸弹竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比【答案】D【详解】AB．炸弹正好垂直击中山坡上的目标，设水平初速度为，竖直分速度为，则有又仅转变炸弹的水平初速度，由于保持不变，则炸弹不行能垂直击中山坡；仅转变炸弹投放高度，则发生转变，但水平初速度为不变，则炸弹不行能垂直击中山坡，故AB错误；C．由于炸弹投放高度不知道，无法知道下落时间，无法求出炸弹水平方向通过的距离，故C错误；D．炸弹竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比为故D正确。故选D。变式2.2如图所示，A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，，E点在D点的正上方，与A等高，从E点水平抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程，下列说法正确的是（

）A．球1和球2运动的时间之比为2：1B．球1和球2速度增加量之比为1：3C．球1和球2抛出时初速度之比为D．球1和球2运动时的加速度之比为1：2【答案】C【详解】A．由于AC=2AB，则AC的高度差是AB高度差的2倍，依据得解得球1和球2运动的时间比为，故A错误；BD．平抛运动的物体只受重力，加速度为g，两球的加速度相同，可知球1和球2均在水平方向上做匀速运动，在竖直方向上做匀加速运动，依据可得球1和球2速度增加量之比等于球1和球2运动的时间之比，也为，故BD错误；C．AC在水平方向上的位移是AB在水平方向位移的2倍，结合解得初速度之比为，故C正确；故选C。【例3】如图所示，两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出。已知半圆轨道的半径为与斜面竖直高度相等，斜面底边长为其竖直高度的2倍。若小球能落到半圆轨道上，小球能落到斜面上，均可视为质点，重力加速度取,则下列说法正确的是（

）A．假如球落在半圆轨道最低点，则其速度方向竖直向下B．球落在斜面上时，其速度方向与水平面夹角的正切值为0.5C．调整球初速度的大小，能使球垂直落在半圆轨道上D．两球假犹如时落在半圆轨道和斜面上，则其初速度【答案】D【详解】A．平抛运动的末速度不行能竖直向下，A错误；B．设斜面倾角为，则速度方向与水平面夹角的正切值为B错误；C．平抛运动末速度的反向延长线交于水平位移的中点，若球垂直落在半圆轨道上，则反向延长线过圆心，不是中点，不符合实际状况，C错误；D．两球假犹如时落在半圆轨道和斜面上，则下落高度相同，且位移偏转角均等于斜面倾角，则，而得D正确。故选D。变式3.1如图所示，质量相等的a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上。则下列说法不正确的是（）A．a球可能垂直打在半圆轨道B．a、b两球的速度偏转角可能相同C．a、b两球在空中时，单位时间内速度变化量相等D．b球以抛出与以抛出落在斜面上时速度偏转角肯定相等【答案】A【详解】A．球假如能垂直打在半圆轨道上，则速度反向延长线过圆心，故A选项是不正确的。B．a、b两球可能落在等高且距离抛出点水平位移相等的位移处，时间相等，速度偏转角相同，选项B正确；C．a、b两球加速度相同，单位时间内速度变化量相等，选项C正确；D．b球落在斜面上，依据则速度偏转角也相同，选项D正确。此题选择不正确的，故选A。变式3.2（多选）如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等且在同一竖直面内，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球b能落到斜面上，下列说法正确的是（）A．可能同时分别落在半圆轨道和斜面上B．a球肯定先落在半圆轨道上C．a球可能先落在半圆轨道上D．b球肯定先落在斜面上【答案】AC【详解】将圆轨道和斜面轨道重合在一起，如图甲所示，交点为A，初速度合适，可知小球做平抛运动落在A点，则运动的时间相等，即同时落在半圆轨道和斜面上；若初速度不适中，由图可知，可能小球先落在斜面上，也可能先落在圆轨道上。故AC正确，BD错误。故选AC。【例4】如图所示，在倾角分别为37°和53°斜面顶端，分别向左、向右沿水平方向抛出A、B两个小球，两小球第一次落在斜面上时正好在同一水平线上，若不计空气阻力，则A、B两球初速度大小之比为（，）（）A．3：4 B．4：3 C．16：9 D．9∶16【答案】C【详解】两小球第一次落在斜面上时正好在同一水平线上，说明两小球竖直位移相等，设为h，由得两小球在空中运动时间相等，由图中几何关系可知，依据水平位移与速度成正比可得故选C。变式4.1如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，小球击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中Q点。不计空气阻力，重力加速度为g，小球A、B在空中运动的时间之比为（）A．2：1 B．：1C．1：2 D．1：【答案】A【详解】设小球A在空中运动的时间为t1，小球B在空中运动的时间为t2，对小球A，由平抛运动的规律可得对小球B，结合几何学问，由平抛运动的规律可得联合可得故选A。变式4.2（多选）如图所示，一倾角为的斜面固定在地面上，将小球A从斜面顶端以速度水平向右抛出，小球击中了斜面上的点，将小球B从空中与小球A等高的某点，以速度水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中点，不计空气阻力，斜面足够长，重力加速度为，下列说法中正确的是（）A．小球A在空中运动的时间为B．小球B在空中运动的时间为C．若将小球B以大小相等的初速度，从该点向各个方向抛出，则竖直下抛，落到斜面上所用时间最短D．若将小球B以大小相等的初速度，从该点向各个方向抛出，则垂直斜面对上抛出，落到斜面上所用时间最长【答案】AD【详解】A．设小球A在空中运动的时间为t1，则解得故A正确；B．设小球B在空中运动的时间为t2，则解得故B错误；CD．依据运动的合成与分解可知，小球B落到斜面上所用时间取决于其在垂直于斜面方向的分运动的状况，易知小球B在垂直于斜面方向的加速度始终为gcosθ，则当小球B以垂直于斜面对下的初速度抛出时，其落到斜面上所用时间最短，当小球B以垂直于斜面对上的初速度抛出时，其落到斜面上所用的时间最长，故C错误，D正确。故选AD。【例5】如图所示，水平地面上有一高的竖直墙，现将一小球以的速度垂直于墙面水平抛出，已知抛出点A与墙面的水平距离s＝3.6m，离地面高H＝5.0m，不计空气阻力，不计墙的厚度。重力加速度g取10m/s2。（1）小球碰墙点B离地面的高度；（2）碰墙时小球的速度大小；（3）若仍将小球从原位置往原方向抛出，为使小球能越过竖直墙（忽视墙厚），小球抛出时的初速度大小至少是多大?【答案】（1）3.2m；（2）；（3）9.0m/s【详解】（1）小球在遇到墙前做平抛运动，设小球碰墙前运动时间为t，依据可知，小球平抛运动的时间依据可得（2）平抛运动在竖直方向上的分速度依据平行四边形定则知，小球碰墙前瞬间速度（3）忽视墙厚，竖直方向水平方向解得变式5.1如图所示，水平地面上有一高h=4.2m的竖直墙，现将一小球以v0=6.0m/s的速度垂直于墙面水平抛出，已知抛出点与墙面的水平距离s=3.6m、离地面高H=5.0m，不计空气阻力，不计墙的厚度。重力加速度g取10m/s2。（1）求小球碰墙点离地面的高度h1；（2）若仍将小球从原位置沿原方向抛出，为使小球能越过竖直墙，小球抛出时的初速度v的大小应满足什么条件？【答案】（1）3.2m；（2）初速度v9.0m/s。【详解】（1）小球在遇到墙前做平抛运动，设小球碰墙前运动时间为t，由平抛运动的规律有：水平方向上：s=v0t①竖直方向上：②由①②式并代入数据可得：h1=3.2m（2）设小球以v1的初速度抛出时，小球恰好沿墙的上沿越过墙，小球从抛出至运动到墙的上沿历时t1，由平抛运动的规律有水平方向上：s=