高中数学选修2-3课件1：1-3-2 杨辉三角与二项式系数的性质

§1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

高中数学选修2-3·精品课件第一章计数原理复习提问1.二项式定理2.二项式系数:3.二项展开式的通项4.在定理中，令a=1，b=x，则思考探究

你知道这是什么图表吗？(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)611121133114641151010511615201561新课引入观察：从图中你能得出哪些性质？11121133114641151010511615201561思考：会证明这些性质吗？合作探究a).表中每行两端都是1.b).除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和.4+6=102+1=3例如：crncr-1n+crn+1=C23C22C12+==3C25C24C14+==10因为：111211331146411510105116152015612134610总结提炼第1行———第2行——第6行-第5行--第4行—第3行—-11121133114641151010511615201561对称总结提炼

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)6(a+b)nCn0Cn1Cn2CnrCnn……16152015611112113311464115101051知识探究增减性的实质是与比较的大小.

可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值.

还有没有其他解释呢？最大项与增减性增减性的实质是与比较的大小.

可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值.

还有没有其他解释呢？最大项与增减性可以看成以r为自变量的函数

，其定义域是｛0,1,···,n｝.函数角度：知识探究①当n=6时，二项式系数（0≤r≤6）用图象表示：图象法解释①当n=6时，二项式系数（0≤r≤6）用图象表示：图象法解释图象法解释11121133114641151010511615201561n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值.

总结提炼11121133114641151010511615201561n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值.

总结提炼知识探究二项式系数求和：

（2）试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.例1已知求（1）（2）赋值法赋值法解：设（1）令x=0,即展开式右边即为所以（2）令x=1,赋值法解：设（1）令x=0,即展开式右边即为所以（2）令x=1,小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值，然后解方程组整体求解

合作探究(2)

(3)例2.在

的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项;解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则典例分析（3）因为系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大（以下同2）,r=5.典例分析

即

得

所以当r=8时，系数绝对值最大的项为1、已知的展开式中

的系数为，则常数a的值是_______

2、在

的展开式中的系数是（）

A.-297B.-252C.297D.2073、

中含

的项的系数是_____.4.已知的展开式中第4项为106，求x的值.反馈练习

二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.课堂小结（3）因为系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大（以下同2）,r=5.典例分析

即

得

所以当r=8时，系数绝对值最大的项为合作探究(2)

(3)当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)6(a+b)nCn0Cn1Cn2CnrCnn……16152015611112113311464115101051知识探究a).表中每行两端都是1.b).除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和.4+6=102+1=3例如：crncr-1n+crn+1=C23C22C12+==3C25C24C14+==10因为：111211331146411510105116152015612134610总结提炼复习提问1.二项式定理2.二项式系数:3.二项展开式的通项4.在定理中，令a=1，b=x，则观察：从图中你能得出哪些性质？11121133114641151010511615201561思考：会证明这些性质吗？合作探究当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)6(a+b)nCn0Cn1Cn2CnrCnn……16152015611112113311464115101051知识探究a).表中每行两端都是1.b).除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和.4+6=102+1=3例如：crncr-1n+crn+1=C23C22C12+==3C25C24C14+==10因为：111211331146411510105116152015612134610总结提炼你知道这是什么图表吗？(a+b)