串讲03 直线的方程（考点串讲）（解析版）

串讲03直线的方程知识结构要点梳理知识点一倾斜角定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向__上__方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．规定当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为__0°__.图示范围0°≤α<180°作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的__倾斜程度__(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的__倾斜角__，二者缺一不可知识点二斜率(倾斜角为α)定义α≠90°一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率α＝90°斜率不存在记法斜率k＝tanα范围__R__公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率为k＝__eq\f(y2－y1,x2－x1)__作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度知识点三直线的点斜式方程(1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程__y－y0＝k(x－x0)__叫做直线l的点斜式方程．(2)说明：如下图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为__x＝x0__．知识点四直线的斜截式方程(1)定义：如下图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程__y＝kx＋b__叫做直线l的斜截式方程．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的__截距__.倾斜角是__90°__的直线没有斜截式方程．强调：(1)截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”．(2)并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．知识点五直线的一般式方程关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程__Ax＋By＋C＝0__(其中A，B不同时为0)叫做直线的__一般式方程__，简称一般式．思考1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？提示：都可以，原因如下：(1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.题型探究：考点一直线的倾斜角和斜率例1.给出下列命题：①任何一条直线都有惟一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}与直线构成的集合建立了一一映射关系．正确命题的个数(A)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】由倾斜角α∈[0°，180°)知②错；又平行于x轴的直线的倾斜角是0°，这样的直线有无数条，故③④错；只有①是正确的．例2.若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】不与轴垂直的直线斜率与倾斜角的关系,根据正切值求即可.【详解】该直线不与轴垂直，设倾斜角为，斜率,.故选：B例3．已知两点，所在直线的斜率为，则.【答案】【分析】根据两点的斜率公式计算可得.【详解】因为两点，所在直线的斜率为，所以，解得.故答案为：【归纳提升】(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．【变式】1.图中能表示直线的倾斜角的是（

）A．①④ B．①② C．①③ D．②④【答案】C【分析】根据直线的倾斜角的定义判断即可.【详解】根据倾斜角的定义可知图①中的为直线的倾斜角，图③中的的对顶角为直线的倾斜角，图②中的的补角为直线的倾斜角，图④中的为直线的倾斜角.故符合题意的只有①③.故选：C2.经过两点，的直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．不存在【答案】C【分析】根据条件可知直线垂直轴，即可得倾斜角大小．【详解】∵直线经过两点，，∴直线垂直轴，故倾斜角为．故选：C．3.已知直线经过两点，，则它的斜率为．【答案】/【分析】由斜率公式计算可得直线的斜率.【详解】因为直线经过两点，，所以它的斜率为.故答案为：.考点二直线的点斜式方程例4.求满足下列条件的直线的点斜式方程：(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2,3)、Q(5，－4)两点．【解析】(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0．(3)过点P(－2,3)、Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝eq\f(－4－3,5－－2)＝eq\f(－7,7)＝－1．又∵直线过点P(－2,3)，∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．例5．过两点的直线方程为()A． B．C． D．【答案】B【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解.【详解】由两点，可得过两点的直线的斜率为，又由直线的点斜式方程，可得，即.故选：B.【归纳提升】求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0、y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0、y0)的所有直线，但x＝x0除外．【变式】过点，倾斜角为的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.【详解】由倾斜角为知，直线的斜率为，又直线过点，所以直线方程为，化简得.故选：C.考点三直线的斜截式方程例6.写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是150°，在y轴上的截距是0．【解析】(1)y＝3x－3．(2)∵k＝tan60°＝eq\r(3)，∴y＝eq\r(3)x＋5．(3)∵k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3)，∴y＝－eq\f(\r(3),3)x．【归纳提升】斜截式是点斜式的特例，应用斜截式方程时，应注意斜率不存在的情形．当k≠0时，斜截式方程y＝kx＋b是一次函数的形式；而一次函数y＝kx＋b中，k是直线的斜率，常数b是直线在y轴上的截距．【变式探究】1．直线的斜率和在y轴上的截距分别是()A．，3

B．3，

C．，

D．3，3【答案】A【详解】根据直线的点斜式方程可知斜率为-2，纵截距为3故选：A考点四直线的一般式方程例7．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．①斜率是－eq\f(1,2)，且经过点A(8，－6)的直线方程为__x＋2y＋4＝0__；②经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为__x＋y－1＝0__.[归纳提升]直线的一般式方程的特征．求直线方程时，要求将方程化为一般式方程，其形式一般作如下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列．例8．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出斜率，进而可得倾斜角【详解】由直线得故直线的斜率为，又倾斜角范围为，所以倾斜角为．故选：A．【变式探究】1.求经过点且斜率为的直线一般式方程是．【答案】【分析】根据直线的点斜式方程，准确运算，即可求解.【详解】根据直线的点斜式方程，可得，即，所以所求直线的方程为.故答案为：.2.经过点和的直线的一般式方程为．【答案】考点五直线的一般式方程的应用例9.设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．[解析](1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝eq\f(2m－6,m2－2m－3)，∴eq\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，得m＝－eq\f(5,3)或m＝3(舍去)．∴m＝－eq\f(5,3).(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠eq\f(1,2)且m≠－1.由直线l化为斜截式方程得y＝eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)x＋eq\f(6－2m,2m2＋m－1)，则eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2.[规律方法]含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程要注意验根．【变式探究】1.若三点共线，则a＝．【答案】4【分析】利用斜率相等建立方程即可求解.【详解】三点共线，则，即＝，即，∴.故答案为：4.2．已知在过和的直线上，则的值是【答案】【分析】由题意，，根据两点间的斜率公式即可求解.【详解】解：因为在过和的直线上，所以，即，解得，故答案为：.素养作业1.已知点，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算即可.【详解】由，又直线的倾斜角，故.故选：C2.若直线l经过点，，则l的斜率为.【答案】3【分析】根据直线经过两点的斜率公式即可求解.【详解】因为直线经过点，，所以直线的斜率，故答案为：3.3.过点且倾斜角为150°的直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据倾斜角求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解.【详解】依题意，直线l的斜率，故直线l的方程为，即，故选：B.4.直线过点，斜率为，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据直线的点斜式方程即可得解.【详解】解：因为直线过点，斜率为，所以直线的方程为，即.故选：D.5．经过点的直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用直线方程的两点式公式求解即可【详解】由已知得直线的两点式方程为，即．故选：D6．已知三点三点共线，则实数的值为.【答案】6【分析】依题意可得，根据斜率公式计算可得.【详解】解：因为三点共线，所以，即，解得；故答案为：7.直线经过点，，则直线的斜率为．【答案】/【分析】由两点连线斜率公式可直接求得结果.【详解】由题意知：直线斜率.故答案为：.8．已知直线的倾斜角，且过点，则该直线的方程为．【答案】【分析】根据直线的倾斜角求出斜率，再根据点斜式写出直线方程，化为一般式方程．【详解】解：直线的倾斜角，所以直线的斜率为又因为直线过点，所以直线的方程为，．故答案为：．9．经过点且斜率为的直线l的点斜式方程为.【答案】【分析】根据点斜式方程的定义即可.【详解】根据点斜式方程的定义，，即；故答案为：.10．直线的倾斜角为．【答案】【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算即可.【详解】由题意得该直线的斜率为，故其倾斜角为．故答案为：11．三角形的顶点坐标为，，，求直线和直线的方程．【答案】：；：.【分析】首先求出斜率，再由斜截式求出直线方程，最后再化为一般式.【详解】因为，，，所以，，所以直线的方程为，即；直线的方程为，即.12.由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，经过点；(2)经过点，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是；(4)经过两点；(5)在x轴上的截距是，倾斜角是；(6)倾斜角为，与y轴的