串讲01 指数幂与指数函数（考点串讲）（解析版）

串讲01指数幂与指数函数知识结构要点梳理知识点一根式1．n次方根定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*个数n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为eq\r(n,a)a＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±eq\r(n,a)a＜0x不存在[归纳总结](1)任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．(2)eq\r(n,0)＝0(n＞1，且n∈N*)．2．根式(1)定义：式子__eq\r(n,a)__叫做根式，这里n叫做__根指数__，a叫做__被开方数__.(2)性质：(n＞1，且n∈N*)①(eq\r(n,a))n＝a.②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数.))知识点二指数幂1.分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：aeq\s\up5(\f(m,n))＝__eq\r(n,am)__(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：a－eq\s\up5(\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up5(\f(m,n)))＝__eq\f(1,\r(n,am))__(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于__0__，0的负分数指数幂__不存在__2.无理数指数幂无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．3.实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)(1)aras＝ar＋s．(2)(ar)s＝ars．(3)(ab)r＝arbr．[知识点拨]在引入分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩展；在引入无理数指数幂的概念后，指数概念就实现了由有理数指数幂向实数指数幂的扩展．知识点三指数函数1.函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．思考：为什么指数函数的底数a>0，且a≠1?提示：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，该函数无意义．③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.2.指数函数的图象和性质0＜a＜1a＞1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1在R上是减函数在R上是增函数思考：对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝(eq\f(1,2))x，y＝(eq\f(1,3))x，…，为什么一定过点(0，1)?提示：当x＝0时，a0＝1(a≠0)恒成立，即指数函数的图象一定过点(0，1)．题型探究：考点一n次方根的概念例1.若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】根据根式的性质，负数无偶次方根判断.【详解】A.式子对于有意义；B.式子对于有意义；C.式子对于有意义；D.式子对于无意义；故选：D例2.若有意义，则a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定的式子有意义，列式求解即得.【详解】由有意义，得，解得，所以a的取值范围是.故选：B『规律方法』(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；(2)(eq\r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．【变式】1.是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用根式有意义的条件即可判断.【详解】当时，的偶次方根无意义.故选：D2.若，则化简的结果是（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】利用分数指数幂的性质即可得解.【详解】因为，所以，所以.故选：B.考点二根式的化简例3．当有意义时，化简的结果是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据根式有意义求得的范围，化简所求根式即可.【详解】因为有意义，所以，则，则，故选：C.[归纳提升]1.根式化简或求值的注意点解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．对eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的进一步认识(1)对(eq\r(n,a))n的理解：当n为大于1的奇数时，(eq\r(n,a))n对任意a∈R都有意义，且(eq\r(n,a))n＝a，当n为大于1的偶数时，(eq\r(n,a))n只有当a≥0时才有意义，且(eq\r(n,a))n＝a(a≥0)．(2)对eq\r(n,an)的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0,－aa＜0)).【变式探究】1.（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据根式运算求解.【详解】由题意可得：.故选：C.2.计算下列各式：①eq\r(5,－a5)＝__－a__；②eq\r(6,3－π6)＝__π－3__；【解析】(1)①eq\r(5,－a5)＝－a.②eq\r(6,3－π6)＝eq\r(6,π－36)＝π－3.考点三根式与分数指数幂的互化例4.将下列各分数指数幂写成根式的形式：（1）；（2）；（3）．【思路分析】(1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．【解析】（1），，故；（2），，故；（3），，故．『规律方法』进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式aeq\s\up5(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m、n∈N＋)，同时应注意以下几点：(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式；(2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简．例5.将写成分数指数幂的形式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据根式与指数幂的互化即可求解.【详解】将写成分数指数幂的形式为.故选：B.【变式探究】1.已知a>0，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用分数指数与根式的互化公式求解即可【详解】.故选：B2．将化成分数指数幂为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用根式与分数指数幂的互化公式求解即可【详解】解：故选：A考点四实数指数幂的求值例5.计算下列各式：（2）(3)(2eq\f(7,9))0.5＋0.1－2＋(2eq\f(10,27))－eq\s\up7(\f(2,3))＋eq\f(37,48)[解析](1)原式＝(3eq\r(2)×2eq\s\up6(\f(\r(2),3)))3eq\r(2)＝36×22＝2916.(3)原式＝(eq\f(25,9))eq\s\up7(\f(1,2))＋eq\f(1,0.12)＋(eq\f(64,27))－eq\s\up7(\f(2,3))＋eq\f(37,48)＝eq\f(5,3)＋100＋eq\f(9,16)＋eq\f(37,48)＝103.[规律方法]关于实数指数幂的运算(1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算．(2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留．【变式】1.计算下列各式：（2）eq\r(3,3)×eq\r(4,3)×eq\r(4,27).[解析](1)原式＝(πeq\s\up3(eq\r(3))－eq\s\up6(\f(\r(3),2)))2eq\r(3)＝(πeq\s\up6(\f(\r(3),2)))2eq\r(3)＝π3.（2）eq\r(3,3)×eq\r(4,3)×eq\r(4,27)＝3eq\s\up7(\f(1,3))×3eq\s\up10(\f(1,4))×3eq\s\up10(\f(3,4))＝3eq\r(3,3).2．化简求值:【详解】原式.考点五实数指数幂的运算例6.下列运算错误的是（

）A．a3+a3=2a6 B．a6÷a-3=a9C．a3·a3=a6 D．（-2a2）3=-8a6【答案】A【分析】根据指数幂的运算规则，逐个验证选项.【详解】，选项A的运算错误；，选项B的运算正确；，选项C的运算正确；，选项D的运算正确；运算错误的是A，故选：A例7.化简求值：；【详解】【变式探究】1.化简求值：【详解】由题意得原式=2．化简求值:解:原式为考点六指数函数的概念例8.(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(B)A．y＝(－4)x B．y＝πxC．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0，a≠1)(2)函数是指数函数，求的值．[解析](1)函数y＝(－4)x的底数－4<0，故A中函数不是指数函数；函数y＝πx的系数为1，底数π>1，故B中函数是指数函数；函数y＝－4x的系数为－1，故C中函数不是指数函数；函数y＝ax＋2＝a2·ax的系数为a2，故D中函数不是指数函数，故选B．(2)【详解】由是指数函数，可得，解得．[归纳提升]1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．【变式探究】1.已知指数函数，求.【答案】【分析】根据指数函数的概念，列出方程求得，得到函数的解析式，即可求解的值.【详解】由题意，函数为指数函数，可得，解得或（舍），所以，所以.考点七指数函数解析式例9.已知函数(，且)，若函数的图像过点，求实数的值．【答案】【分析】将点代入，结合的范围，即可求得实数的值．【详解】将点代入，得，即，所以或，又因为，且，所以．【变式探究】已知指数函数的图象经过点，求和．【答案】，．【分析】将代入指数函数表达式中可得，进入代入即可求解.【详解】因为且的图象经过点，所以，解得（负根舍去），于是．所以，．考点八与指数函数有关的定义域例10.函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的定义域列不等式组求解.【详解】由题意，，得，所以.故选：A【变式探究】函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由被开方数非负，解不等式即可【详解】要使函数有意义，则需，即为，解得，，则定义域为.故选：A.【点睛】与指数函数有关的复合函数的定义域､值域（1）的定义域与的定义域相同.（2）先确定的值域，再根据指数函数的值域､单调性确定函数的值域.考点九指数函数的图象例11.设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据指数函数的单调性，确定，，，与的关系，再由时，函数值的大小判断.【详解】因为当底数大于时，指数函数是定义域上的增函数，当底数大于且小于时，指数函数是定义域上的减函数，所以，大于，，大于且小于，由图知：，即，，即，所以.故选：B例12.若，则函数与的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数和一次函数的图象性质求解.【详解】因为，所以是增函数，的图象与轴上的交点为故只有A项正确．故选：A.【变式探究】1.已知函数，则函数的图像不经过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据函数的单调性和函数平移规则分析.【详解】是单调递增的函数，经过，渐近线为，当时，，，渐近线为，所以图像如下图：故选：B.2.函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由直线方程得到直线为增函数，又，可排除D选项.【详解】对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误；对于B，又由指数函数的性质可得，故D错误；故选：B考点十幂式大小的比较例13.用“>”连接下列各数，，【答案】【分析】根据指数函数单调性比较大小.【详解】因为是上的减函数，所以，又，，所以.故答案为:例14.请将三个数，，，按照从小到大的排序排列．【答案】【分析】化为同底指数式，利用指数函数的单调性可求解．【详解】，∵在上单调递增，且，∴，∴．故答案为：【变式探究】已知a＝0.32，b＝0.30.2，c＝1，a，b，c的大小关系是（用“＞”连接）.【答案】c>b>a【分析】根据指数函数的单调性即可判断出大小.【详解】为单调递减函数，且，故c>b>a故答案为：c>b>a考点十一幂式大小的比较例15.解指数方程解

．解方程，得．【变式探究】解指数方程【详解】，故，∴，∴，得.素养作业1.把根式aeq\r(a)化成分数指数幂是(D)A．(－a)eq\s\up5(\f(3,2)) B．－(－a)eq\s\up5(\f(3,2))C．－aeq\s\up5(\f(3,2)) D．aeq\s\up5(\f(3,2))【解析】aeq\r(a)＝a·aeq\s\up5(\f(1,2))＝aeq\s\up5(\f(3,2))，故选D．2.下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】选项A，表示的算术平方根；选项B，除法运算：；选项C，满足乘法分配律，；选项D，满足乘法结合律.【详解】对于选项A，，不正确；对于B，，正确，对于C，，错误；对于D，，不正确.故选：B.4.将写成根式，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直接利用根式与分数指数幂互化的公式求解.【详解】将写成根式为.故