3-2工程数学-概率的基本性质与事件独立性

第二节概率的基本性质与事件独立性1概率的可列可加性概率的公理化定义2概率的性质概率的有限可加性3证明4证明由图可得又由性质3得因此得5例1.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，当电流强度超过一定值时，甲烧断的概率为0.82，乙烧断的概率为0.74，两根同时烧断的概率为0.63，问至少有一根保险丝烧断的概率是多少？6例2在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

设A为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”则所求概率为解7于是所求概率为8思考

袋中有3只白球,2只红球,现从袋中任取一球(不放回),充分混合后再任取出另一球，假设每个球被取到的可能性相同.若已知第一次取到的球是白球,问第二次取得球也是白球的概率是多少？设

A

表示第一次任取一球为白球，

B

表示第二次任取一球为白球.古典概型9所求的概率称为在事件A

发生的条件下事件B

发生的条件概率。记为10定义

ABAB1、条件概率11例3

掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解:解:设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}应用定义12例4掷两枚硬币，已发现一枚是正面的条件下，求至少有一枚是反面的概率。13142、概率乘法公式15例5.一批零件共100件，次品率为10﹪，取三次，每次从中任取一个零件不再放回，求（1）第一次取得次品且第二次取得正品的概率；（2）第三次才取得正品的概率16171.样本空间的划分三、全概率公式182.全概率公式全概率公式19说明

全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.20例6

有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件A为“任取一件为次品”,解21由全概率公式得30%20%50%2%1%1%22四、事件的独立性(一)两个事件的独立性由条件概率，知一般地，这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率有影响.然而，在有些情形下又会出现：23则有引例242.定义注.1º说明

事件A与B相互独立,是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.252º独立与互斥的关系这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件互斥例如二者之间没有必然联系独立是事件间的概率属性互斥是事件间本身的关系11由此可见两事件相互独立但两事件不互斥.两事件相互独立两事件互斥.26定理6若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立.①②③注

称此为二事件的独立性关于逆运算封闭.27例7

分别掷两枚均匀的硬币，令A={硬币甲出现正面H}，B={硬币乙出现反面T}，试验证A、B相互独立．

解样本空间

={HH,HT,TH,TT}共含有4个基本事件，它们发生的概率均为1/4．而A={HH,HT}，B={HT,TT}，AB={HT}，故有P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A)P(B)

，所以A、B相互独立．28例8甲,乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率.解设A={甲击中敌机}B={乙击中敌机}C={敌机被击中}依题设,∴A与B不互斥

(P(A)+P(B)=1.1>1≥P(A+B))29由于甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以A与B独立,进而=0.830

设A1，A2，…，An为n个事件，若对于任意k(1≤k≤n),及1≤i1<i2<···<ik≤n

3.n个事件的独立性定义31n个独立事件和的概率公式:设事件相互独立,则

也相互独立即n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去