考研数学一（高等数学）模拟试卷21（共244题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷21（共9套）（共244题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、极限A、等于B、等于C、等于e—6D、不存在．标准答案：A知识点解析：注意到，本题为1∞型．设f(x)＝，则原极限而故原极限＝，应选(A)．2、设f(x)在x＝a处连续，φ(x)在x＝a处间断，又f(a)≠0，则A、φ[f(x)]在x＝a处间断．B、f[φ(x)]在x＝a处间断．C、[φ(x)]2在x＝a处间断．D、在x＝a处间断．标准答案：D知识点解析：【分析一】连续与不连续的复合可能连续，也可能间断，故(A)，(B)不对．不连续函数的相乘可能连续，故(C)也不对，因此，选(D)．【分析二】f(x)在x＝a连续，φ(x)在x＝a处间断，又f(a)≠在x＝a处间断．(若不然φ(x)＝在x＝a处连续，与已知矛盾)．选(D)．3、“f(x)在点a连续”是｜f(x)｜在点a处连续的()条件．A、必要非充分B、充分非必要C、充要D、既非充分又非必要标准答案：B知识点解析：f(x)在x＝a连续｜f(x)｜在x＝a连续(｜｜f(x)｜—｜f(a)｜｜1≤｜f(x)一f(a)｜)．｜f(x)｜在x＝a连续f(x)在x＝a连续．如｜f(x)｜＝1，｜f(x)｜在x＝a连续，但f(x)在x＝a间断．因此，选(B)．4、设数列xn，yn满足＝0，则下列正确的是A、若xn发散，则yn必发散．B、若xn无界，则yn必有界．C、若xn有界，则yn必为无穷小．D、若为无穷小，则yn必为无穷小．标准答案：D知识点解析：【分析一】直接考察．若为无穷小，则因此(D)成立．【分析二】举例说明(A)，(B)，(C)不正确．xn：0，1，0，2，0，3，……发散，yn：0，0，0，0，0，0，……收敛，＝0．(A)不正确．xn：0，1，0，2，0，3，……无界，yn：1，0，2，0，3，0，……无界，＝0．(B)不正确．xn：0，1，0，1，0，1，……有界，yn：1，0，1，0，1，0，……不是无穷小，＝0．(C)不正确．因此，选(D)．5、f(x)＝xsinxA、在(－∞，＋∞)内有界．B、当x→∞时为无穷大．C、在(－∞，＋∞)内无界．D、当x→∞时有极限．标准答案：C知识点解析：取xn＝2nπ＋∈(一∞，＋∞)(n＝1，2，3，…)，则f(xn)＝(2nπ＋)sin(2nπ＋)＝2nπ＋→＋∞(n→∞)．因此f(x)在(一∞，＋∞)无界．选(C)．6、设f(x)，g(x)在x＝x0均不连续，则在x＝x0处A、f(x)＋g(x)，f(x)·g(x)均不连续．B、f(x)＋g(x)不连续，f(x)g(x)的连续性不确定．C、f(x)＋g(x)的连续性不确定，f(x)g(x)不连续．D、f(x)＋g(x)，f(x)g(x)的连续性均不确定．标准答案：D知识点解析：如：在x＝0均不连续，但f(x)＋g(x)＝1，f(x)·g(x)＝0在x＝0均连续．又如：在x＝0均不连续，而f(x)＋g(x)＝f(x)·g(x)＝在x＝0均不连续．因此选(D)．7、当n→∞时－e是的A、高阶无穷小．B、低阶无穷小．C、等价无穷小．D、同阶但非等价无穷小．标准答案：D知识点解析：该题就是要计算极限（等价无穷小因子替换：t→0时ln（1＋t）~t）（转化为求相应的型函数极限，然后用洛必达法则）因此选(D)．8、设f(x)＝则下列结论(1)x＝1为可去间断点．(2)x＝0为跳跃间断点．(3)x＝－1为无穷间断点．中正确的个数是A、0．B、1．C、2.D、3.标准答案：D知识点解析：x＝0，±1是f(x)的间断点，按题意，要逐一判断这间断点的类型，计算可得由于f(0＋0)与f(0—0)存在但不相等，故x＝0是f(x)的跳跃间断点．x＝1是f(x)的可去间断点，又x＝一1是f(x)的无穷间断点，因此选(D)．9、把当x→0＋时的无穷小量α＝tanx一x，β＝一1排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A、α，β，γ．B、γ，β，α．C、β，α，γ．D、γ，α，β．标准答案：C知识点解析：【分析一】因即当x→0＋时α是比β高阶的无穷小量，α与β应排列为β，α．故可排除(A)与(D)．又因即当x→0＋时γ是较α高阶的无穷小量，α与γ应排列为α，γ．可排除(B)，即应选(C)．【分析二】确定无穷小α，β，γ的阶数．由可知α为x的3阶无穷小．由可知β是x的2阶无穷小．由可知γ是x的4阶无穷小．因此排列为β，α，γ，选(C)．10、在中，无穷大量是A、①②．B、③④．C、②④．D、②．标准答案：D知识点解析：本题四个极限都可以化成的形式，其中n＝2，3，故只需讨论极限要选择该极限为＋∞的，仅当n＝3并取“＋”号时，即选(D)．二、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)11、＝______．标准答案：3知识点解析：原式＝＝3＋0＝3．12、＝______．标准答案：12知识点解析：由题设及(ex一1)＝0现利用等价无穷小因子替换tanx(x→0)，e2x—1~2x(x→0)13、设K，L，δ为正的常数，则＝______．标准答案：KδL1-δ知识点解析：属1∞型极限．原式，而因此，原式．14、设f(x)＝在点x＝0处连续，则常数a＝______．标准答案：-2知识点解析：f(x)在x＝0连续．由于因此a＝一2．15、1＋x2－ex2当x→0时是x的______阶无穷小(填数字)．标准答案：4知识点解析：由于因此当x→0时1＋x2一是x的4阶无穷小．16、已知＝9，则a＝______．标准答案：ln3知识点解析：17、＝______．标准答案：3知识点解析：本题属“∞0”型未定式．数列极限不能直接用洛必达法则．如用，得先转化成连续变量的极限，利用求得，但比较麻烦．事实上，恒等变形后可转化为直接用幂指数运算法则的情形．即18、若＝______．标准答案：5知识点解析：19、arctan(x一lnx·sinx)＝______．标准答案：知识点解析：x—lnx·sinx＝x，由于x→＋∞时，→0，sinx有界，故，x—lnx·sinx→＋∞，于是arctan(x—lnx·sinx)＝20、＝______．标准答案：1知识点解析：本题属“00”型未定式，利用基本极限及重要极限即得．21、＝______．标准答案：0知识点解析：【分析一】当x＞0时，，于是有，故由夹逼定理可知．【分析二】因此22、设＝4，则a＝______，b＝______．标准答案：，1知识点解析：利用洛必达法则可得23、函数f(x)＝的连续区间是＝______．标准答案：(—∞，1)∪(1，＋∞)知识点解析：初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论．对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待．注意到x＝0为分界点．因为又f(0)＝3，因此＝f(0)，即f(x)在x＝0处连续．此外，由于函数f(x)在点x＝1处无定义，因此x＝1为f(x)的间断点．于是所给函数f(x)的连续区间为(—∞，1)∪(1，＋∞)．三、解答题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)24、求下列极限：标准答案：知识点解析：暂无解析25、设xn＋1＝ln(1＋xn)，x1＞0，(I)求；(II)求．标准答案：(I)注意：x＞ln(1＋x)(x＞0)，于是xn＋1—xn＝ln(1＋xn)—xn＜0(n＝1，2，3，…)极限知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、极限()．A、等于1B、为∞C、不存在但不是∞D、等于0标准答案：C知识点解析：因为当xn=(n=1，2，…)时，极限不存在但不是∞，选(C)．2、设区域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，若I1=[ln(x+y)]3dxdy，I2=(x＋y)3dxdy，I3=sin3(x+y)dxdy，则()．A、I1＞I2＞I3B、I2＞I3＞I1C、I1＜I2＜I3D、I2＜I3＜I1标准答案：B知识点解析：由≤x+y≤1得[ln(x+y)]3≤0，于是I1=[ln(x+y)]3dxdy≤0；当≤x+y≤1时，由(x+y)3≥sin3(x＋y)≥0得I2≥I3≥0，故I2≥I3≥I1，应选(B)．3、级数π()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：又单调减少且以零为极限，由莱布尼茨审敛法，级数收敛，而n→∞时，条件收敛，正确答案为(B)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)4、=_________．标准答案：e知识点解析：5、∫01sin2xtdt=_________．标准答案：知识点解析：6、=__________(其中口为常数)．标准答案：知识点解析：7、设a，b为单位向量，且两向量的夹角为=_________．标准答案：知识点解析：8、设z=z(x，y)由z+ez=xy2确定，则dz=_________．标准答案：知识点解析：z+ez=xy2两边求微分得d(z+ez)=d(xy2)，即dz+ezdz=y2dx+2xydy，解得dz=．9、设质点在力F=｛2x—y，x+2y｝的作用下从点O(0，0)沿曲线L：y=到点A(2，0)所做的功为________．标准答案：4－π知识点解析：所做的功为W=∫L(2x—y)dx+(x+2y)dy=(2x—y)dx+(x+2y)dy而(2x—y)dx+(x+2y)dy=一dxdy=一π，(2x—y)dx+(x+2y)dy=∫022xdx=4，故W=4－π．10、yy’’=1+y’2满足初始条件y(0)=1，y’(0)=0的解为________．标准答案：ln｜y＋｜=±x知识点解析：令y’=p，则，解得ln(1+p2)=lny2+lnC1，则1+p2=C1y2，由y(0)=1，y’(0)=0得y’=±，ln｜y+｜+C2=±x，由y(0)=1得C2=0，所以特解为ln｜y＋｜=±x．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)11、求．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设f(x)=是连续函数，求a，b的值．标准答案：f(x)=因为f(x)是连续函数，所以f(一1—0)=一1=f(一1)=((a—b一1)=f(一1＋0)=a—b，f(1一0)=a+b=f(1)=(a+b+1)=f(1+0)=1，解得a=0，b=1．知识点解析：暂无解析13、设f(x)连续，且对任意的x，y∈(一∞，+∞)有f(x＋y)=f(x)+f(y)+2xy，f’(0)=1，求f(x)．标准答案：当x=y=0时，f(0)=2f(0)，于是f(0)=0．对任意的x∈(一∞，+∞)，f’(x)===2x+f’(0)=2x+1，则f(x)=x2+x+C，因为f(0)=0，所以C=0，故f(x)=x+x2．知识点解析：暂无解析14、证明：当x＞0时，ex－1＞(1+x)ln(1+x)．标准答案：令f(x)=ex一1一(1+x)ln(1+x)，f(0)=0，f’(x)=ex一ln(1+x)一1，f’(0)=0；f’’(x)=ex一＞0(x＞0)，由f’’(x)＞0(x＞0)得f’(x)＞f’(0)=0(x＞0)，再由f’(x)＞0(x＞0)得f(x)＞f(0)=0(x＞0)，即ex一1＞(1+x)ln(1+x)．知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[a，b]上满足｜f’’(x)｜≤2，且f(x)在(a，b)内取到最小值，证明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤2(b一a)．标准答案：因为f(x)在(a，b)内取到最小值，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)为f(x)在[a，b]上的最小值，从而f’(c)=0．由微分中值定理得，其中ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，两式取绝对值得两式相加得｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤2(b一a)．知识点解析：暂无解析16、计算．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(lnx)=，求∫f(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设y’=arctan(x一1)2，y(0)=0，求∫01y(x)dx．标准答案：∫01y(x)dx=xy(x)｜01一∫01xarctan(x－1)2dx=y(1)一∫01(x－1)arctan(x一1)arctan(x一1)2d(x－1)－∫01arctan(x一1)2dx=∫01arctan(x一1)2d(x－1)2=∫01arctantdt=．知识点解析：暂无解析20、求经过点P1(5，一4，3)和P2(一2，1，8)及直线L：与平面π：x—y+z=0交点的平面方程．标准答案：令=t得x=2+t，y=1一t，z=一3t，代入x—y+z=0中得t=1，则直线L：与平面π：x—y+z=0交点为M(3，0，一3)，={一50，一52，一18}，所求平面方程为一50(x一5)一52(y+4)一18(z一3)=0，即25x+26y+9z一48=0．知识点解析：暂无解析设L1：x一1=，L2：x+1=y-1=z．21、若L1⊥L2，求λ；标准答案：设L1：x一1=，L2：x+1=y－1=z垂直，则｛1，2，λ｝⊥｛1，1，1｝或1+2+λ=0，解得λ=一3．知识点解析：暂无解析22、若L1，L2共面，求λ．标准答案：s1={1，2，λ}，s2=｛1，1，1｝，s1×s2=｛1，2，λ｝×｛1，1，1｝=｛2一λ，λ—1，一1｝，M1(1，1，1)∈L1，M2(一1，1，0)∈L2，p==｛2，0，1｝，L1，L2共面的充分必要条件是(s1×s2)．．知识点解析：暂无解析23、设z=f(x，y)由方程z—y—x+xez－y－x=0确定，求dz．标准答案：对z—y—x+xez－y－x=0两边求微分，得dz一dy—dx+ez－y－xdx+xez－y－x(dz—dy－dx)=0，解得dz=dx+dy．知识点解析：暂无解析24、计算z2ds，其中∑为锥面z=位于z=2下方的部分．标准答案：曲面∑在xOy平面上的投影区域为Dxy：x2+y2≤4．知识点解析：暂无解析25、将f(x)=展开成(x一2)的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析26、求幂级数xn的和函数．标准答案：幂级数xn的收敛半径为R=+∞，收敛区间为(－∞，+∞)．知识点解析：暂无解析27、求微分方程yy’’=y’2满足初始条件y(0)=y’(0)=1的特解。标准答案：令y’=p，则y’’==0，当p=0时，y=1为原方程的解；当p≠0时，由=0，解得p==C1y，由y(0)=y’(0)=1得C1=1，于是一y=0，解得y=C2e－∫－dx=C2ex，由y(0)=1得C2=1，所以原方程的特解为y=ex．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、曲线在点(0，1)处的切线与x轴交点的坐标是()A、(－1，0)B、C、(1，0)D、标准答案：B知识点解析：因为f’(x)=x2+x+6，所以f’(0)=6．故过点(0，1)的切线方程为y－1=6x，因此该切线与x轴的交点为2、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点ξ，使()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：设F(x)=xf(x)，则F(x)在[0，1]上满足罗尔定理的条件，故存在ξ∈(0，1)，使得[xf(x)]’｜x=ξ=0，即ξf’(ξ)+f(ξ)=0，有所以选A．3、设f(x)是以T为周期的可微函数，则下列函数中以T为周期的函数是()A、∫01f(t)dtB、∫01f(t2)dtC、∫01f’(t2)dtD、∫01f(t)f’(t)dt标准答案：D知识点解析：当g(x+T)=g(x)时，因为∫0x+TTg(t)dt=∫0xg(t)dt+∫xx+Tg(t)dt=∫0xg(t)dt+∫0Tg(t)dt，若∫0x+Tg(t)dt=∫0xg(t)dt，则∫0Tg(t)dt=0．反之，若∫0Tg(t)dt=0，则∫0x+Tg(t)dt=∫0xg(t)dt．因为f(x)是以T为周期的函数，所以四个选项中的被积函数都是以T为周期的周期函数，但是仅∫0Tf(t)f’(t)dt=[f(t)]2｜0T=[f2(T)－f2(0)]=0，因此，只有∫0xf(t)f’(t)dt是以T为周期的函数．4、已知且a与b不平行，则以OA和OB为邻边的平行四边形OACB的对角线OC上的一个单位向量为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由向量加法运算的几何意义，以a，b为邻边的平行四边形对应的对角线向量为a+b，故它的单位向量为应选A．5、设直线L为平面π为4x－2y+z－2=0，则()A、L平行于πB、L在π上C、L垂直于πD、L与π相交但不垂直标准答案：C知识点解析：直线L的方向向量为s==(－28，14，－7)，平面π的法向量为n=(4，－2，1)，因此s与n平行，从而直线L与平面π垂直．故选C．6、设函数u=u(x，y)满足及u(x，2x)=x，u1’(x，2x)=x2，u有二阶连续偏导数，则u21’(x，2x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：等式u(x，2x)=x两边对x求导得u1’+2u2’=1，两边再对x求导得u11’’+u12’’+2u21’’+4u22’’=0，①等式u1’(x，2x)=x2两边对x求导得u12’’+2u12’’=2x，②将②式及u12’’=u21’’，u11’’=u21’’代入①式中得7、设∑是yOz平面上的圆域y2+z2≤1，则(x2+y2+z2)dS为()A、0B、πC、D、标准答案：D知识点解析：因∑：x=0且y2+z2≤1，故Dyz={(y，z)｜y2+z2≤1}，从而8、微分方程y’’－4y’+4y=x2+8e2x的一个特解应具有形式(其中a，b，c，d为常数)()A、ax2+bx+Ce2xB、ax2+bx+c+dx2e2xC、ax2+bx+cxe2xD、ax2+(bx2+cx)e2x标准答案：B知识点解析：对应特征方程为r2－4r+4=0，特征根是r1，2=,2．而f1(x)=x2，λ1=0非特征根，故y1*=ax2+bx+c．又f2(x)=8e2x，λ2=2是二重特征根，所以y2=dx2e2x．y1*+y2*就是特解，选B．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、设则y’=______．标准答案：知识点解析：复合函数求导，得10、设f(x)的一个原函数为lnx，则f’(x)=_______．标准答案：知识点解析：由题设知，∫f(x)dx=lnx+C，11、反常积分=_____．标准答案：知识点解析：12、设u=x2+3y+yz，则div(gradu)=______．标准答案：2知识点解析：13、设空间区域=______．标准答案：知识点解析：用柱面坐标，三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)14、求下列极限：标准答案：(1)当x→0时，tanx～x，(2)这是“1∞”型未定式极限，可用公式来计算，事实上lnu=ln[1+(u－1)]～u－1(u→1)．故原式=(3)这是“∞—∞”型未定式极限，首先通分变成型未定式，然后使用洛必达法则求极限．或利用等价无穷小代换ex－1～x(x→0)，则(4)(5)原式=(6)当x→0时，etanx－esinx=esinx(etanx－sinx一1)～tanx－sinx，xsin2x～x3，故根据归结定理，取(9)当x=0时，原式=1；知识点解析：暂无解析15、求极限ai＞0，且ai≠1，i=1，2，…，n，n≥2．标准答案：故原极限=知识点解析：暂无解析16、已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)－3f(1－sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．标准答案：求切线方程的关键是求斜率，因f(x)的周期为5，故曲线在(6，f(6))处和点(1，f(1))处有相同的斜率，根据已知条件求出f’(1)．由则4f’(1)=8，f’(1)=2，由f(6)=f(1)=0，f’(6)=f’(1)=2，故所求切线方程为y=2(x=6)．知识点解析：暂无解析17、求曲线y=e1上的最大曲率半径．标准答案：由y’=ex，y’’=ex得曲线y=ex上任意点P(x，y)处的曲率令为曲率K=K(x)的极大值点，亦必是最大值点，且其最大曲率为其中，则曲线y=ex上具有最大曲率的点(x0，y(x0))处的曲率圆的曲率半径知识点解析：暂无解析18、设f(x)在(－∞，+∞)内有定义，且对任意x与任意y，满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f’(0)存在且等于a，a≠0．证明：对任意x，f’(x)存在，并求f(x)．标准答案：将y=0代入定义式，有f(x)=f(x)+f(0)ex，所以f(0)=0．于是=f(x)+exf’(0)=f(x)+aex．所以对任意x，f’(x)存在，且f’(x)=f(x)+aex．解之，得f(x)=ex(∫aex.e－xdx+C)=ex(ax+c)．由f(0)=0，有C=0．从而f(x)=axex．知识点解析：暂无解析19、计算标准答案：知识点解析：暂无解析20、设求曲线y=f(x)与直线所围成平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积．标准答案：先求f(x)的表达式，注意到函数ex在x→+∞与x→－∞的极限，可知当x＞0时，y=f(x)与的交点横坐标为x=1，且显然0＜x＜1时所以所求旋转体体积知识点解析：暂无解析21、求函数f(x，y)=x2－xy+y2在点M(1，1)沿与x轴的正向组成α角的方向l上的方向导数，在怎样的方向上此导数有：(1)最大的值；(2)最小的值；(3)等于0．标准答案：知识点解析：暂无解析22、求证：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件下存在最大值和最小值，且它们是方程k2－(Aa2+Cb2)k+(AC－B2)a2b2=0的根．标准答案：因为f(x，y)在全平面连续，为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必存在最大值和最小值．设(x1，y1)，(x2，y2)分别为最大值点和最小值点，令则(x1，y1)，(x2，y2)应满足方程记相应乘子为λ1，λ2，则(x1，y1，λ1)满足解得λ1=Ax12+2Bx1y1+Cy12．同理λ2=Ax22+2Bx2y2+Cy22，即A，，A：是f(x，y)在椭圆上的最大值和最小值．又方程①和②有非零解，系数行列式为0，即化简得λ2－(Aa2+Cb2)λ+(AC－B2)a2b2=0，所以λ1，λ2是上述方程(即题目所给方程)的根．知识点解析：暂无解析23、设D为曲线y=x3与直线y=x围成的两块区域，求二重积分[ex2+sin(x+y)]dσ．标准答案：区域D如图1．6—5所示，第一象限部分记为D1，第三象限部分记为D2，于是=∫01dx∫x3xex2dy+∫－10dx∫xx3ex2dy+∫01dx∫x3xsin(x+y)dy+∫－10dx∫xx3sin(x+y)dy=∫01ex2(x－x3)dx+∫－10ex2(x3－x)dx－∫01cos(x+x)dx+∫01cos(x+x3)dx－∫－10cos(x+x3)dx+∫－10cos(x+x)dx．令x=－t，则第2个积分与第1个积分可合并，第3个积分与第6个积分相抵消，第4个积分与第5个积分相抵消．于是原式=2ex2(x－x3)dx=∫01ex2dx2－∫01ex2x2dx2=ex2｜01－∫01euudu=e－1－(euu－eu)｜01=e－2．知识点解析：暂无解析24、计算曲面积分I=(x3+az2)dydz+(y3+ax2)dzdx+(z3+ay2)dxdy，其中∑为上半球面的上侧．标准答案：记S为平面z=0(x2+y2≤a2)的下侧，Ω为∑与S所围成的空间区域，则知识点解析：暂无解析25、判别级数的敛散性．标准答案：故原级数收敛．知识点解析：暂无解析26、求标准答案：知识点解析：暂无解析27、求级数的收敛域及其和函数．标准答案：可见收敛半径R=3．当x=－3时，级数成为是收敛的交错级数；当x=3时，级数成为是发散级数，故原级数的收敛域为[－3，3)．设S(x)为所给级数的和函数，则在上式两边同时积分，得故所求级数的和函数为知识点解析：暂无解析28、求(4－x+y)dx－(2－x－y)dy=0的通解．标准答案：方程化为设x=X+h，y=Y+k，代入方程，并令解得h=3，k=－1，此时原方程化为积分得X2－2XY－Y2=C1．将X=x－3，Y=y+1代入上式，得到所求通解为x2－2xy－y2－8x+4y=C，其中C为任意常数．知识点解析：暂无解析29、设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1－S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．标准答案：曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为Y－y=y’(x)(X=x)，它与x轴的交点为由于y’(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是又S2=∫0xy(t)dt，由条件2S1－S2=1，知两边对x求导得即yy’’=(y’)2．令p=y’，则上述方程可化为于是y=eC2x+C2．注意到y(0)=1，并由(*)式得y’(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲线的方程是y=ex．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、当x→1时，f(x)=的极限为()．A、2B、0C、∞D、不存在但不是∞标准答案：D知识点解析：显然=+∞，而不存在但不是∞，选(D)．2、设f(x)可导，且F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)在x=0处可导，则()．A、f(0)=0B、f’(0)=0C、f(0)=f’(0)D、f(0)=一f’(0)标准答案：A知识点解析：F(0)=f(0)，F－’(0)==f’(0)一f(0)；F＋’(0)==f’(0)+f(0)，因为F(x)在x=0处可导，所以F－’(0)=F＋’(0)，于是f(0)=0，故应选(A)．3、设平面区域D：1≤x2+y2≤4，f(x，y)是区域D上的连续函数，则等于()．A、2π∫12rf(r)drB、2π[∫12rf(r)dr一∫01rf(r)dr]C、2π∫12rf(r2)drD、2π[∫02rf(r2)dr—∫01rf(r2)dr]标准答案：A知识点解析：dxdy=∫02πdθ∫12rf(r)dr=2πrf(r)dr，选(A)．4、设k＞0，且级数()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与k的取值有关标准答案：C知识点解析：因为都收敛，所以绝对收敛，正确答案为(C)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)5、=_________．标准答案：知识点解析：6、设函数y=y(x)由e2x＋y—cos(xy)=e一1确定，则曲线y=y(x)在x=0对应点处的法线方程为_________．标准答案：y=x＋1知识点解析：当x=0时，y=1，e2x＋y一cos(xy)=e一1两边对x求导得e2x＋y(2+)＋sin(xy)(y+)=0，将x=0，y=1代入得=一2，故所求法线方程为y一1=(x一0)，即y=x+1．7、∫0＋∞x7e－x2dx=_________．标准答案：3知识点解析：∫0＋∞x7x－x2dx=∫0＋∞x6e－x2d(x2)=∫0＋∞t3e－tdt==3．8、过点M0(1，一1，2)且与直线L1：x+2y—z一2=0与L2：x—y—z一4=0都平行的平面为_________．标准答案：π：x+z一3=0知识点解析：所求平面的法向量为n=｛1，2，一1｝×｛1，一1，一1｝=｛一3，0，一3｝=一3｛1，0，1｝，所求的平面为π：(x一1)+0(y+1)+(z一2)=0，即π：x+z一3=0．9、设z=f(x，y)是由e2yz+x+y2+z=确定的函数，则=________．标准答案：知识点解析：将代入e2yz+x+y2+z=中得z=0，e2yz+x+y2+z=两边求微分得2e2yz(zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0，将x=，y=，z=0代入得．10、设f(x，y，z)=x2一y2+2z2，则div(gradf)=_________．标准答案：4知识点解析：gradf==｛2x，一2y，4z｝，则div(gradf)==4．11、设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y’’一6y’+9y=e3x，则y(x)=________．标准答案：y(x)=2xe3x＋x2e3x知识点解析：由题意得y(0)=0，y’(0)=2，y’’一6y’+9y=e3x的特征方程为λ2－6λ+9=0，特征值为λ1=λ2=3，令y’’一6y’+9y=e3x的特解为y0(x)=ax2e3x，代入得a=，故通解为y=(C1+C2x)e3x+x2e3x．由y(0)=0，y’(0)=2得C1=0，C2=2，则y(x)=2xe3x+x2e3x．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)12、求．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设b＞0，且=2，求b的值．标准答案：知识点解析：暂无解析14、设f(x)=讨论函数f(x)在x=0处的可导性．标准答案：因为0≤｜f(x)｜=｜x｜．=0=f(0)，故f(x)在x=0处连续．由=1得f－’(0)=1，再由=0得f＋’(0)=0，因为f－’(0)≠f＋’(0)，所以f(x)在x=0处不可导．知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f’’(x)｜≤M，证明：｜f’(x)｜≤．标准答案：由泰勒公式得f(0)=f(x)+f’(x)(0一x)+(0一x)2，ξ∈(0，x)，f(1)=f(x)+f’(x)(1—x)+(1一x)2，η∈(x，1)，两式相减得f’(x)=[f’’(ξ)x2一f’’(η)(1一x)2]，取绝对值得｜f’(x)｜≤[x2+(1一x)2]，因为x2≤x，(1一x)2≤1一x，所以x2+(1一x)2≤1，故｜f’(x)｜≤．知识点解析：暂无解析16、计算．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(t)=∫1tex2dx，求∫01t2f(t)dt．标准答案：∫01t2f(t)dt=∫01f(t)d(t3)=f(t)01－∫01t3et2dt，因为f(1)=0，所以知识点解析：暂无解析20、求过点M(1，一2，2)且与直线L：垂直的平面方程．标准答案：所求平面的法向量为n=s1×s2=｛2，1，一1｝×｛0，1，一1｝=｛0，2，2｝，于是所求平面方程为π：2(y+2)+2(z一2)=0，即π：y+z=0．知识点解析：暂无解析设直线L：绕y轴旋转一周所成的旋转曲面为∑．21、求由曲面∑及y=0，y=2所围成的几何体Ω的体积．标准答案：设M(x，y，z)∈∑，M所在的圆与L的交点为M0(x0，y，z0)，圆心为T(0，y，0)，由｜MT｜=｜M0T｜得x2+z2=x02+z02，由代入得∑：x2+z2=1+4y+5y2，所求的几何体体积为V=．知识点解析：暂无解析22、设Ω为均匀的几何体，求该几何体的质心．标准答案：设质心坐标为，知识点解析：暂无解析23、设μ=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程exy一y=0与ez一xz=0确定，求．标准答案：，方程exy一y=0两边对x求导得方程ez－xz=0两边对x求导得，则知识点解析：暂无解析24、求I=，其中∑为x2+y2+z2=1被z=所截的顶部．标准答案：由得曲面∑在xOy平面上的投影区域为Dxy：x2+y2≤，知识点解析：暂无解析25、求幂级数(n2+1)xn的和函数．标准答案：=1得收敛半径为R=1，又当x=±1时，得级数收敛，收敛域为(一1，1)．知识点解析：暂无解析26、求幂级数(x+1)n的和函数．标准答案：令x+1=t，=1得收敛半径为R=1，当t=±1时，因为(±1)n≠0，所以收敛区间为一1＜t＜1，从而一2＜x＜0．知识点解析：暂无解析27、一条曲线经过点(2，0)，且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线．标准答案：设切点为P(x，y)，曲线上P点处的切线为Y—y=y’(X—x)，令X=0，得Y=y一xy’，切线与y轴的交点为Q(0，y—xy’)，由题意得x2+x2y’2=4，解得y’=±，变量分离得dy=±dx，积分得y=±+C，由y(2)=0，得C=0，所求的曲线为y=±．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得()．A、f(x)在(0，δ)内单调增加B、f(x)在(一δ，0)内单调减少C、对任意的x∈(一δ，0)，有f(x)＞f(0)D、对任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)标准答案：D知识点解析：因为f’(0)=＞0，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＞0，当x∈(一δ，0)时，f(x)＜f(0)；当x∈(0，δ)时，f(x)＞f(0)，应选(D)．2、设f(x)在x=0的某邻域内连续，若=2，则f(x)在x=0处()．A、不可导B、可导但f’(0)≠0C、取极大值D、取极小值标准答案：D知识点解析：由=2得f(0)=0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＞0，从而f(x)＞0=f(0)，由极值的定义得f(0)为极小值，应选(D)．3、曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴所围成的图形面积可表示为()．A、一∫02x(x－1)(2－x)dxB、∫01x(x一1)(2一x)dx一∫12x(x一1)(2－x)dxC、一∫01x(x－1)(2－x)dx＋∫12x(x－1)(2－x)dxD、∫02x(x一1)(2一x)dx标准答案：C知识点解析：曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴的三个交点为x=0，x=1，x=2，当0＜x＜1时，y＜0；当1＜x＜2时，y＞0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，选(C)．4、设f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足=一3，则f(x，y)在(0，0)处()．A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否取极值标准答案：A知识点解析：因为=一3，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜＜δ时，｜x｜＋y2＞0，所以当0＜＜δ时，有f(x，y)＜f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)处取极大值，选(A)．5、设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为()．A、C[φ1(x)+φ2(x)]B、C[φ1(x)一φ2(x)]C、C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)D、[φ1(x)一φ2(x)]+Cφ2(x)标准答案：C知识点解析：因为φ1(x)，φ2(x)为方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1(x)一φ2(x)为方程y’+P(x)y=0的一个解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)，选(C)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)6、=_________．标准答案：知识点解析：7、=_________．标准答案：知识点解析：8、∫0xxsin(x－t)2dt=________．标准答案：2sinx2+2x2cosx2知识点解析：∫0xxsin(x一t)2dt=x∫0xsin(x一t)dtx∫x0sinμ2(—dμ)=x∫0xsinμ2dμ，原式=(x∫0xsinμ2dμ)’’=(∫0xsinμ2dμ+xsinx2)’=2sinx2+2x2cosx2．9、设z=f(x，y)二阶连续可导，且=x+1，fx’(x，0)=2x，f(0，y)=sin2y，则f(x，y)=_________．标准答案：f(x，y)=(＋x)y＋x2＋sin2y知识点解析：由=(x+1)y+φ(x)，由fx’(x，0)=2x得φ(x)=2x，即=(x+1)y+2x，再由=(x+1)y+2x得z=(+x)y+x2+h(y)，由f(0，y)=sin2y得h(y)=sin2y，故f(x，y)=(+x)y+x2+sin2y．10、=__________．标准答案：知识点解析：11、设曲线L：y=(一1≤x≤1)，则∫L(x2+2xy)ds=________．标准答案：知识点解析：12、级数在一1＜x＜1内的和函数为_________．标准答案：xln(1一x2)+x3一x3ln(1一x2)(一1＜x＜1)知识点解析：，而ln(1一x2)(一1＜x＜1)，－x2=一ln(1一x2)一x2(一1＜x＜1)，=xln(1一x2)+x3一x3ln(1一x2)(一1＜x＜1)．三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)13、求下列极限：标准答案：(6)由ln(1+x)=x一+ο(x2)得ln(1—2x)=一2x一2x2+ο(x2)，于是arctan2x[2x+ln(1—2x)]～一2x4；知识点解析：暂无解析14、求．标准答案：．知识点解析：暂无解析15、设f(x)=，求f(x)的间断点并判断其类型．标准答案：因为f(x)为初等函数，所以f(x)的间断点为x=0和x=1．因为x→0时，1一=一1，即x=0为f(x)的第一类间断点中的可去间断点；因为f(1一0)==1，所以x=1为f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析16、设对一切的x，有f(x+1)=2f(x)，且当x∈[0，1]时f(x)=x(x2一1)，讨论函数f(x)在x=0处的可导性．标准答案：当x∈[一1，0]时，f(x)=(x+1)(x2+2x)，f－’(0)==1．f＋’(0)==一1，因为f－’(0)≠f＋’(0)，所以f(x)在x=0处不可导．知识点解析：暂无解析17、证明：当0＜x＜1时，e－2x＞．标准答案：e－2x＞等价于一2x＞ln(1一x)一ln(1+x)，令f(x)=ln(1+x)一ln(1一x)一2x，f(0)=0，f’(x)=＞0(0＜x＜1)，由得f(x)＞0(0＜x＜1)，故当0＜x＜1时，e－2x＞．知识点解析：暂无解析18、求．标准答案：知识点解析：暂无解析19、证明：sinnxcosnxdx=2－nsinnxdx．标准答案：∫0sinncosnxdx=2－n－1∫0sinn2xd(2x)=2－n－1∫0πsinnxdx=2－n∫0sinnxdx．知识点解析：暂无解析20、设，判断两直线是否为异面直线，若是，求两条直线之间的距离．标准答案：M1(0，0，0)，s1={1，0，一1}，M2(1，0，1)，s2=｛2，一1，1｝，=｛1，0，1｝，s1×s2={一1，一3，一1}，因为．(s1×s2)=一2≠0，所以两直线异面．过M1作直线L2’／／L2，L1与L2’所成的平面为π：一(x－0)－3(y—0)－(z－0)=0，即π：x+3y+z=0，所求的距离为d=．知识点解析：暂无解析21、把f(x，y)dxdy写成极坐标的累次积分，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}．标准答案：D=｛(r，θ)｜0≤θ≤，0≤r≤secθ｝，则f(x，y)dxdy=dθ∫0secθrf(rcosθ，rsinθ)dr．知识点解析：暂无解析22、计算I=(x+3z2)dydz+(x3z2+yz)dzdx一3y2dxdy，其中∑为z=2一在z=0上方部分的下侧．标准答案：令∑0：z=0(x2+y2≤4)取上侧，则I=(x+3z2)dydz+(x3z2+yz)dzdx一3y2dxdy由高斯公式得(x+3z2)dydz+(x3z2+yz)dzdx一3y2dxdy=一(1+z)dν=一∫02(1＋z)dzdxdy=－4π所以原式=8π．知识点解析：暂无解析23、判断级数的敛散性．标准答案：令an=，因为＜1，根据比值审敛法，级数收敛．知识点解析：暂无解析24、将f(x)=lnx展开成x－2的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析25、求微分方程x3y’’’+2x2y’’一xy’+y=0的通解．标准答案：令x=et，则xy’=D，x2y’’=D(D一1)，x3y’’’=D(D—1)(D一2)，即xy’=，原方程化为+y=0，特征方程为λ3一λ2一λ+1=0，解得特征值为λ1=1，λ2=λ3=1，则方程+y=0的通解为y=C1e－t+(C2+C3t)et，原方程的通解为y=+(C2+C3lnx)x．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、设函数y=f(x)可微，且曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线y=2一x垂直，则=A、一1．B、0．C、1．D、不存在．标准答案：B知识点解析：由题设可知f’(x0)=1，又△y—dy=o(△x)，dy=f’(x0)△x=△x，于是0，故应选B．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)2、请用等价、同阶、低阶、高阶回答：设f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，则△x→0时f(x)在x=x0处的微分与△x比较是()无穷小，△y=f(x0+△x)一f(x0)与△x比较是()无穷小，△y—df(x)与△x比较是()无穷小．标准答案：同阶；同阶；高阶知识点解析：df(x)=f’(x0)≠0知这时df(x)与△x是同阶无穷小量；按定义=f’(x0)≠0，故△y与△x也是同阶无穷小量；按微分定义可知差△y—df(x)=o(△x)(△x→0)是比△x高阶的无穷小．3、设y=f(lnx)ef(x)，其中f(x)可微，则dy=_________．标准答案：ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx知识点解析：利用一阶微分形式不变性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx．三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)4、求w=．标准答案：属型．先用等价无穷小关系arctan4x～x4(x→0)化简分母后再用洛必达法则得知识点解析：暂无解析5、设f(x)在[0，+∞)连续，且满足．标准答案：先作恒等变形转化为求型极限，然后用洛必达法则知识点解析：暂无解析6、(Ⅰ)设f(x)，g(x)连续，且=0，求证：无穷小∫0φ(x)f(t)dt～∫0φ(x)g(t)dt(x→a)(Ⅱ)求w=ln(1+2sint)dt／[∫0xln(1+2sint)dt]3}．标准答案：(Ⅰ)由{∫0φ(x)f(t)dt／∫0φ(x)g(t)dt}{∫0uf(t)dt／∫0ug(t)dt}=1，→∫0φ(x)f(t)dt～∫0φ(x)g(t)dt(x→a)．(Ⅱ)因ln(1+2sinx)～2sinx一2x(x→0)，由题(Ⅰ)→=x6，∫0xln(1+2sint)dt—∫0x2tdt=x2．因此，利用等价无穷小因子替换即得知识点解析：暂无解析7、已知+1)=2，求a，b之值．标准答案：原式可改写成=2．由于该式成立，所以必有3一=0，即a=9．将a=9代入原式，并有理化得由此得b=一12．故a=9，b=一12．知识点解析：像这种类型(∞一∞)的极限，已知此待定式的极限存在且等于某一常数，要确定极限式中的参数a，b，一般有下列两种方法：方法1。直接将所给无理式有理化定出极限式中所含参数之值；方法2°先提出∞因子，将∞一∞型化为∞．0型，然后由极限存在的条件定出极限式中所含参数之值．8、确定常数a，b，c的值，使=4．标准答案：由于当x→0时对常数a，b都有ax2+bx+1一e-2x→0，又已知分式的极限不为零，所以当x→0时必有分母→0，故必有c=0．由于故必有a=4．综合得a=4，b=一2，c=0．知识点解析：暂无解析9、求．标准答案：作恒等变形后再作放大与缩小：知识点解析：暂无解析10、证明cosnxdx=0．标准答案：先对积分∫01cosnxdx建立估计式然后证明它的极限为零，这里可行的方法是先对原积分进行分部积分．知识点解析：暂无解析11、求w=．标准答案：记xn=是f(x)=tanx在[0，1]区间上的一个积分和．由于f(x)在[0，1]上连续，故可积，于是因此，我们对xn用适当放大缩小法，将求xn转化为求积分和的极限．因于是由夹逼定理得xn=一lncos1．知识点解析：暂无解析12、设xn=xn．标准答案：先取对数化为和式的极限lnxn=ln(n2+i2)一4lnn，然后作恒等变形(看看能否化为积分和的形式)，则它是f(x)=ln(1+x2)在[0，2]区间上的一个积分和(对[0，2]区间作2n等分，每个小区间长)，则知识点解析：暂无解析13、求数列极限．标准答案：先用等价无穷小因子替换：现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得知识点解析：暂无解析14、当x→0时下列无穷小是x的n阶无穷小，求阶数n：(Ⅰ)一1；(Ⅱ)(1+tan2x)simx一1；(Ⅲ)；(Ⅳ)∫0xsin．sin(1一cost)2dt．标准答案：(Ⅰ)一1～x4—2x2～一2x2(x→0)，即当x→0时一1是x的2阶无穷小，故n=2．(Ⅱ)(1+tan2x)sinx一1一ln[(1+tan2x)sinx一1+1]=sinxln(1+tan2x)～sinxtan2x～x．x2=x3(x→0)，即当x→0时(1+tan2x)sinx一1是x的3阶无穷小，故n=3．(Ⅲ)由1一是x的4阶无穷小，即当x→0时是x的4阶无穷小，故n=4．即当x→0时∫0xsintsin(1一cost)2dt是x的6阶无穷小，故n=6．知识点解析：暂无解析15、设α＞0，β＞0为任意正数，当x→+∞时将无穷小量：，e-x按从低阶到高阶的顺序排列．标准答案：先考察因此，当x→+∞时，按从低阶到高阶的顺序排列为，e-x．知识点解析：暂无解析16、设有定义在(一∞，+∞)上的函数：则(Ⅰ)其中在定义域上连续的函数是_________；(Ⅱ)以x=0为第二类间断点的函数是_________．标准答案：(Ⅰ)当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意到若f(x)=其中g(x)在(一∞，0]连续，h(x)在[0，+∞)连续．因f(x)=g(x)(x∈(一∞，0])→f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0)→f(x)=h(x)(x∈[0，+∞))→f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．(B)中的函数g(x)满足：sinx｜x=0=(cosx一1)｜x=0，又sinx，cosx一1均连续→g(x)在x=0连续．因此，(B)中的g(x)在(一∞，+∞)连续．应选B．(Ⅱ)关于(A)：由→x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．关于(C)：由=e≠h(0)→x=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)．已证(B)中g(x)在x=0连续．因此选D．或直接考察(D)．由=+∞→x=0是m(x)的第二类间断点．知识点解析：暂无解析17、设f(x)=，讨论y=f[g(x)]的连续性，若有间断点并指出类型．标准答案：先写出f[g(x)]的表达式．考察g(x)的值域：(经过验证，x=2，5处可添加等号)当x≠1，2，5时f[g(x)]分别在不同的区间与某初等函数相同，故连续．当x=2，5时，分别由左、右连续得连续．当x=1时，x2=1，从而f[g(x)]在x=1不连续且是第一类间断点(跳跃间断点)．知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[0，1]连续，且f(0)=f(1)，证明：在[0，1]上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=f(ξ+)．标准答案：即证：F(x)存在零点．因f(x)在[0，1]连续，所以F(x)=f(x)一连续．事实上，我们要证：F(x)在[0，1一]存在零点(只需证F(x)在[0，1一]有两点异号)．考察于是F(0)，中或全为0，或至少有两个值是异号的，于是由连续函数介值定理，，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=f(ξ+)．知识点解析：暂无解析19、设f(x)在(一∞，+∞)连续，存在极限f(x)=B．证明：(Ⅰ)设A＜B，则对ξ∈(一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；(Ⅱ)f(x)在(一∞，+∞)有界．标准答案：利用极限的性质转化为有界区间的情形．(Ⅰ)由f(x)=A＜μ及极限的不等式性质可知，X1使得f(X1)＜μ．由X2＞X1使得f(X2)＞μ．因f(x)在[X1，X2]连续，f(X1)＜μ＜f(X2)，由连续函数介值定理知ξ∈(X1，X2)(一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ．(Ⅱ)因f(x)=B，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，X1使得当x∈(一∞，X1)时f(x)有界；X2(＞X1)使得当x∈(X2，+∞)时f(x)有界．又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知，f(x)在[X1，X2]上有界．因此f(x)在(一∞，+∞)上右界．知识点解析：暂无解析20、判断下列结论是否正确?为什么?(Ⅰ)若函数f(x)，g(x)均在x0处可导，且f(x0)=g(x0)，则f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)若x∈(x0一δ，x0+δ)，x≠x0时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0处有相同的可导性；(Ⅲ)若存在x0的一个邻域(x0一δ，x0+δ)，使得x∈(x0—δ，x0+δ)时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x0处有相同的可导性．若可导，则f’(x0)=g’(x0)．标准答案：(Ⅰ)不正确．函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关．仅有f(x0)=g(x0)不能保证f’(x0)=g’(x0)．正如曲线y=f(x)与y=g(x)可在某处相交但并不相切．(Ⅱ)不正确．例如f(x)=x2，g(x)=，显然，当x≠0时f(x)=g(x)，但f(x)在x=0处可导，而g(x)在x=0处不可导(因为g(x)在x=0不连续)．(Ⅲ)正确．由假设可得当xE(x0—δ，x0+δ)，x≠x0时故当x→x0时等式左右端的极限或同时存在或同时不存在，而且若存在则相等．再由导数定义即可得出结论．知识点解析：暂无解析21、说明下列事实的几何意义：(Ⅰ)函数f(x)，g(x)在点x=x0处可导，且f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)函数y=f(x)在点x=x0处连续，且有=∞．标准答案：(Ⅰ)曲线y=f(x)，y=g(x)在公共点M0(x0，f(x0))即(x0，g(x0))处相切．(Ⅱ)点x=x0是f(x)的不可导点．曲线y=f(x)在点M0(x0，f(x0))处有垂直于x轴的切线x=x0(见图2．1)．知识点解析：暂无解析22、设函数f(x)在x=x0处存在f’+(x0)与f’—(x0)，但f’+(x0)≠f’—(x0)，说明这一事实的几何意义．标准答案：x=x0是f(x)的不可导点．曲线在点M0(x0，f(x0))处存在左、右切线，且左、右切线有一个夹角(M0是曲线y=f(x0)的尖点)，见图2．2．知识点解析：暂无解析23、设f’(x)存在，求极限，其中a，b为非零常数．标准答案：按导数定义，将原式改写成=af’(x)+bf’(x)=(a+b)f’(x)．知识点解析：暂无解析24、设f(x)在x=a可导，且f(a)=1，f’(a)=3．求数列极限w=．标准答案：这是指数型数列极限，先转化成其指数是型数列极限，用等价无穷小因子替换，由数列极限与函数极限的关系及导数定义知因此w=e6．知识点解析：暂无解析25、求下列函数的导数y’：标准答案：(Ⅰ)(Ⅱ)当x≠0时，由求导法则得f’(x)=；当x=0时，由导数定义得知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设当x→x0时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是()A、设当x→x0时，g(x)是无穷小，则f(x)g(x)必是无穷小B、设当x→x0时，g(x)不是无穷小，则f(x)g(x)必不是无穷小C、设在x→x0的某邻域g(x)无界，则当x→x0时，f(x)g(x)必是无穷大D、设在x→x0的某邻域g(z)有界，则当x→x0时，f(x)g(x)必不是无穷大标准答案：D知识点解析：设当x→0时为无界变量，不是无穷大．令g(x)=x，当x→0时为无穷小，可排除A．当x→0时，令f(x)=x2，可排除B，C．对于D，由于当x→x0时，f(x)不是无穷大，故必存在以x0为极限的数列{xn}使得f(xn)为有界量，又有g(x)在x=x0的某邻域内有界，设该邻域为U，{xki)={xn}∩U，故{xki}同样以x0为极限，此时f(xki)g(xki)为有界量．故当z→x0时，f(x)g(x)必不是无穷大．2、若在(－∞，+∞)上连续，且则()A、λ＜0，k＜0B、λ＜0，k＞0C、a≥0，k＜0D、λ≤0，k＞0标准答案：D知识点解析：若λ＞0，则必存在一个x使得λ－e－kx=0，即分母为0，与f(x)在(－∞，+∞)上连续矛盾，故λ≤0；又若k≤0，当x→－∞时，一kx→－－∞或－kx=0，均有f(x)→∞，与题意矛盾，故k＞0．3、设f(x)在x=0的某邻域内连续且在x=0处存在二阶导数f’’(0)．又设()A、x=0不是f(x)的驻点B、x=0是f(x)的驻点，但不是f(x)的极值点C、x=0是f(x)的极小值点D、x=0是f(x)的极大值点标准答案：C知识点解析：先将∫0xtf(x－t)dt变形，记F(x)=∫0xtf(x－t)dt∫0x(x－u)f(u)(－du)=x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du．由洛必达法则，得若再用洛必达法则，于是有所以f’’(0)=24a＞0．选C．4、设f(x)是以l为周期的周期函数，则∫a+kla+(k+1)lf(x)dx之值()A、仅与a有关B、仅与a无关C、与a及k都无关D、与a及k都有关标准答案：C知识点解析：因为f(x)是以l为周期的周期函数，所以∫a+kla+(k+1)lf(x)dx=∫kl(k+1)lf(x)dx=∫0lf(x)dx，故此积分与a及k都无关．5、设则在区间(一1，1)上()A、f(x)与g(x)都存在原函数B、f(x)与g(x)都不存在原函数C、f(x)存在原函数，g(x)不存在原函数D、f(x)不存在原函数，g(x)存在原函数标准答案：D知识点解析：g(x)在区间(－1，1)上连续，所以在(－1，1)上存在原函数．不选B与@(C)@．将f(x)在区间(－1，0)与(0，1)上分别积分得要使得在x=0处连续，取C2=1+C1，如此取定之后，记为容易验算知，F’－(0)=0，F’+(0)=1．无论C1取何值，F(x)在x=0处不可导，故f(x)在包含x=0在内的区间上不存在原函数，不选A．故选D．6、设C为从A(0，0)到B(4，3)的直线段，则∫C(x－y)ds等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：只有选项B正确．7、球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ax所围成的立体体积等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为所围成的立体关于xoy面和zOx面对称，故所围立体体积V=4V1，其中V1为所围成立体在第一卦限部分的体积．V1在xOy面上的投影域为Dxy={(x，y)｜x2+y2≤2ax，y≥0}．这里V1可看作以Dxy为底，以球面x2+y2+z2=4a2为曲顶的曲顶柱体体积，由二重积分的几何背景可知二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)8、设函数且1+bx＞0，则当f(x)在x=0处可导时，f’(0)=______．标准答案：知识点解析：利用洛必达法则，由于f(x)在x=0处可导，则在该点连续，就有b=f(0)=－1，再由导数的定义及洛必达法则，有9、设则∫01f(x)dx=_____．标准答案：知识点解析：令3x+1=t，所以10、设函数f(x)在(0，+∞)上连续，且对任意正值a与b，积分∫aabf(c)dx的值与a无关，且f(1)=1，则f(x)=______．标准答案：知识点解析：由于∫aabf(x)dx与a无关，所以(∫aabf(x)dx)’a≡0，即f(ab)b－f(a)≡0．上式对任意a均成立，所以令a=1，有f(b)b－f(1)=0，可以验算，=lnab－lna=lnb与a无关．11、三平面x+3y+z=1，2x－y－z=0，－x+2y+2z=3的交点是______．标准答案：(1，－1，3)知识点解析：只需求解三元一次方程组解得x=1，y=－1，z=3．12、过直线且和点(2，2，2)的距离为的平面方程是______．标准答案：5x－y－z－3=0或x+y－z－1=0知识点解析：已知直线的一般式方程为显然平面3x－z－2=0不符合题意，可设过该直线的平面束方程为πλ：(2+3λ)x－y－λz－(1+2λ)=0，由点(2，2，2)到πλ的距离为得化简得λ2=1，λ=±1．当λ=1时，对应一个平面π1：5x－y－z－3=0；当λ=－1时，对应另一个平面π2：x+y－z－1=0．13、函数f(x，y)=ln(x2+y2－1)的连续区域是______．标准答案：{(x，y)｜x2+y2＞1)知识点解析：所有多元初等函数在其有定义的区域内都是连续的．14、已知曲线积分∫L[excosy+yf(x)]dx+(x3－exsiny)dy与路径无关且f(x)有连续的导数，则f(x)=______．标准答案：3x2知识点解析：设P=excosy+yf(x)，Q=x3－exsiny．由∫LPdx+Ody与路径无关，有即－exsiny+f(x)=3x2－exsiny，于是f(x)=3x2．15、设a为常数，若级数=______．标准答案：a知识点解析：因级数16、常数项级数的敛散性为______．标准答案：发散知识点解析：将已给级数每相邻两项加括号得新级数因发散，由于加括号后级数发散，故原级数必发散．17、微分方程y’tanx=ylny的通解是______．标准答案：y=eCsinx，其中C为任意常数知识点解析：原方程分离变量得积分得ln｜lny｜=ln｜sinx｜+lnC1，通解为lny=Csinx或y=eCsinx，其中C为任意常数．18、微分方程的通解为______．标准答案：．其中C1，C2为任意常数知识点解析：由y’’=再积分得其中C1，C2为任意常数．三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)19、设f(x)对一切x1，x2满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2，并且f(x)在x=0处连续．证明：函数f(x)在任意点x0处连续．标准答案：已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令x2=0，则f(x1)=f(x1)+f(0)，可得f(0)=0，又f(x)在x=0处连续，则有(△x)=f(0)=0，而f(x0+△x)－f(x0)=f(x0)+f(△x)－f(x0)=f(△x)，两边取极限得到[f(x0+△x)=f(x0)]=f(△x)=0，故函数f(x)在任意点x0处连续．知识点解析：暂无解析20、证明：不等式－∞＜x＜+∞．标准答案：令f’(x)=0，得驻点为x=0，由于知f’’(0)＞0，则x=0为极小值点，即最小值点．f(x)的最小值为f(0)=0，于是，对一切x∈(－∞，+∞)，有f(x)≥0，即有知识点解析：暂无解析21、设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4．标准答案：把函数f(x)在x=0处展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得f(x)=f(0)+f’(0)x+(ξ1)x2(0＜ξ1＜x)．在公式中取把函数f(x)在x=1处展开成泰勒公式，得f(x)=f(1)+f’(1)(x－1)+f’’(ξ2)(x－1)2(x＜ξ2＜1)．在公式中取①－②消去未知的函数值即得f’’(ξ1)－f’’(ξ1)=8=>｜f’’(ξ1)｜+｜f’’(ξ1)｜≥8．从而，在ξ1和ξ2中至少有一个点，使得f(x)在该点的二阶导数绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4．知识点解析：暂无解析22、设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试证明：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．标准答案：用拉格朗日中值定理．当a=0时，等号成立；当a＞0时，由于f(x)在区间[0，a]及[b，a+b]上满足拉格朗日中值定理条件，所以，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，ξ1＜ξ2，使得[f(a+b)－f(b)]－[f(a)－f(0)]=af’(ξ2)－af’(ξ1)．因为f’(x)在(0，c)内单调减少，所以f’(ξ2)≤f’(ξ1)，于是，[f(a+b)－f(b)]－[f(a)－f(0)]≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．知识点解析：暂无解析23、求标准答案：由于(x－lnx)’≠1－lnx，分子分母同时除以x2，则注意到知识点解析：暂无解析24、设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为2a，2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成α角的平面截此柱体，得一楔形体(如图1．3—2)，求此楔形体的体积V．标准答案：底面椭圆的方程为以垂直于y轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，两直角边长分别为故截面积楔形体的体积知识点解析：暂无解析25、求f(x，y)=x+xy－x2－y2在闭区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤2)上的最大值和最小值．标准答案：这是闭区域上求最值的问题．由于函数f(x，y)=x+xy－x2－y2在闭区域D上连续，所以一定存在最大值和最小值．首先求f(x，y)=x+xy－x2－y2在闭区域D内部的极值：又g(x，y)=(fxy’’)2－fxx’’fyy’’=－3，fxx’’＜0，得f(x，y)=x+xy－x2－y2在闭区域D内部的极大值再求f(x，y)在闭区域D边界上的最大值与最小值：这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件．在x轴上约束条件为y=0(0≤x≤1)，于是拉格朗日函数为F(x，y，λ)=x+xy－x2－y2+λy，解方程组在下面边界的端点(0，0)，(1，0)处f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以下面边界的最大值为，最小值为0．同理可求出：在上面边界上的最大值为－2，最小值为－4；在左面边界上的最大值为0，最小值为－4；在右面边界上的最大值为，最小值为－2．比较以上各值，可知函数f(x，y)=x+xy－x2－y2在闭区域D上的最大值为，最小值为－4．知识点解析：暂无解析26、求函数f(x，y，z)=x2+y2+z2在区域x2+y2+z2≤x+y+z内的平均值．标准答案：区域x2+y2+z2≤x+y+z，即作球面坐标变换则有知识点解析：暂无解析27、(1)设函数f(x)具有一阶连续导数，且f(1)=1，D为不包含原点的单连通区域，在D内曲线积分与路径