考研数学一（高等数学）模拟试卷4（共252题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷4（共9套）（共252题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设f(x)=，则f(x)()·A、无间断点B、有间断点x=1C、有间断点x=一1D、有间断点x=0标准答案：B知识点解析：当｜x｜＜1时，f(x)=1+x；当｜x｜＞1时，f(x)=0；当x=一1时，f(x)=0，当x=1时，f(x)=1．于是f(x)=显然x=1为函数f(x)的间断点，选(B)．2、设f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足=一3，则f(x，y)在(0，0)处()．A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否取极值标准答案：A知识点解析：3、设∑：x2+y2+z2=1(z≥0)，∑1为∑在第一卦限的部分，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：4、设f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0，则｜f(x)｜在x=a处()．A、可导B、不可导C、不一定可导D、不连续标准答案：A知识点解析：不妨设f(a)＞0，因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续，于是存在σ＞0，当｜x－a｜＜δ时，有f(x)＞0，于是=f’(a)，即｜f(x)｜在x=a处可导，同理当f(a)＜0时，｜f(x)｜在x=a处也可导，选(A)．5、设y(x)是微分方程y’’+(x一1)y’+x2y=ex满足初始条件y(0)=0，y’(0)=1的解，则()．A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在标准答案：A知识点解析：微分方程y’’+(x一1)y’+x2y=ex中，令x=0，则y’’(0)=2，于是=1，选(A)．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)6、=________．标准答案：知识点解析：7、设曲线y=lnx与y=k相切，则公共切线为_________．标准答案：知识点解析：设当x=a时，两条曲线相切，由得a=e2．两条曲线的公共切线为y一lne2=．8、曲线y==x4e－x2(x≥0)与x轴围成的区域面积为_________．标准答案：知识点解析：9、一平面经过点M1(2，1，3)及点M2(3，4，一1)，且与平面3x－y+6z一6=0垂直，则该平面方程为_________．标准答案：7x一9y一5z+10=0知识点解析：且与平面3x—y+6z一6=0垂直，所求平面的法向量为n=｛1，3，一4｝×｛3，一1，6｝=｛14，一18，一10｝，所求的平面方程为14(x一2)一18(y一1)一10(z一3)=0，即7x一9y一5z+10=0．10、设f(x)=，D为一∞＜x＜＋∞，一∞＜y＜＋∞，则f(y)f(x＋y)dxdy=________．标准答案：知识点解析：11、函数f(x)=展开成x的幂级数为_________．标准答案：知识点解析：12、设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y’’一6y’+9y=e3x，则y(x)=________．标准答案：2xe3x+x2e3x知识点解析：由题意得y(0)=0，y’(0)=2，y’’一6y’+9y=e3x的特征方程为λ2一6λ+9=0，特征值为λ1=λ2=3，令y’’一6y’+9y=e3x的特解为y0(x)=ax2e3x代入得a=．故通解为y=(C1+C2)e3X+x2e3x．由y(0)=0，y’(0)=2得C1=0，C2=2，则y(x)=2xe3x+x2e3x．13、=__________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)14、设f(x)二阶连续可导，f’’=4，．标准答案：因为=0，所以f(0)=0，f’(0)=0，又f(x)二阶连续可导且f’’(0)=4，所以f(x)=2x2+o(x2)，所以=e2．知识点解析：暂无解析15、设y=y(x)由x—∫1x＋ydt=0确定，求．标准答案：x=0时，y=1．x—∫1x＋ye－t2dt=0两边关于x求导得．知识点解析：暂无解析16、证明：当x＞0时，x2＞(1+x)ln2(1+x)．标准答案：令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，f’(0)=0；知识点解析：暂无解析17、求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、．标准答案：知识点解析：暂无解析19、判断级数的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析设有幂级数2+．20、求该幂级数的收敛域；标准答案：因为=0，所以收敛半径为R=+∞，故幂级数的收敛域为(一∞，+∞)．知识点解析：暂无解析21、证明此幂级数满足微分方程y’’一y=一1；标准答案：故该幂级数满足微分方程y’’一y=一1．知识点解析：暂无解析22、求此幂级数的和函数．标准答案：由f’’(x)一f(x)=一1得f(x)=C1e－x+C2ex+1，再由f(0)=2，f’(0)=0得，所以f(x)=chx+1．知识点解析：暂无解析23、求微分方程x2y’’一2xy’+2y=2x一1的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析24、求．标准答案：知识点解析：暂无解析25、f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0．证明：存在ξ∈(一1，1)，使得f’’’(ξ)=3．标准答案：由泰勒公式得两式相减得f’’’(ξ1)+f’’’(ξ2)=6．因为f(x)在[一1，1]上三阶连续可导，所以f’’’(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f’’’(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f’’’(ξ1)+f’’’(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](一1，1)，使得f’’’(ξ)=3．知识点解析：暂无解析26、设．标准答案：知识点解析：暂无解析27、设A(一1，0，4)，π：3X一4y+z+10=0，L：1005，求一条过点A与平面π平行，且与直线L相交的直线方程．标准答案：过A(－1，0，4)且与平面π：3x一4y+2+10=0平行的平面方程为π1：3(x+1)一4y+(z一4)=0，即π1：3x一4y+z一1=0．令，代入π1：3x一4y+z一1=0，得t=16，则直线L与π1的交点为M0(15，19，32)，所求直线的方向向量为s=｛16，19，28｝，所求直线为．知识点解析：暂无解析28、计算I=．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设f(x)连续，且=一2，则()．A、f(x)在x=0处不可导B、f(x)在x=0处可导且f’(0)≠0C、f(x)在x=0处取极小值D、f(x)在x=0处取极大值标准答案：D知识点解析：由=－2得f(0)=1，由极限的保号性，δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＜0，即f(x)＜1=f(0)，故x=0为f(x)的极大点，应选(D)．2、曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴所围成的图形面积可表示为()．A、一∫02x(x一1)(2一x)dxB、∫01x(x一1)(2一x)dx一∫12x(x一1)(2一x)dxC、一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dxD、∫02x(x一1)(2一x)dx标准答案：C知识点解析：曲线y=x(x－1)(2一x)与x轴的三个交点为x=0，x=1，x=2，当0＜x＜1时，Y＜0；当1＜x＜2时，y＞0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，选(C)．3、若正项级数()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性不确定标准答案：C知识点解析：4、设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e－x，则该微分方程为()．A、y’’’一y’’一y’+y=0B、y’’’+y’’一y’一y=0C、y’’’+2y’’一y’一2y=0D、y’’’一2y’’一y’+2y=0标准答案：A知识点解析：由y1=ex，y2=2xex，y3=3e－x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1=λ2=1，λ3=一1，其特征方程为(λ一1)2(λ+1)=0，即λ3－λ2一λ+1=0，所求的微分方程为y’’’一y’’一y’+y=0，选(A)．5、设f(x)为二阶可导的奇函数，且x＜0时有f’’(x)＞0，f’(x)＜0，则当x＞0时有()．A、f’’(x)＜0，f’(x)＜0B、f’’(x)＞0，f’(x)＞0C、f’’(x)＞0，f(x)＜0D、f’’(x)＜0，f’(x)＞0标准答案：A知识点解析：因为f(x)为二阶可导的奇函数，所以f(一x)=一f(x)，f’(一x)=f’(x)，f’’(一x)=一f’’(x)，即f’(x)为偶函数，f’’(x)为奇函数，故由x＜0时有f’’(x)＞0，f’(x)＜0，得当x＞0时有f’’(x)＜0，f’(x)＜0，选(A)．6、对二元函数z=f(x，y)，下列结论正确的是()．A、z=f(x，y)可微的充分必要条件是z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B、若z=f(x，y)可微，则z=f(x，y)的偏导数连续C、若z=f(x，y)偏导数连续，则z=f(x，y)一定可微D、若z=f(x，y)的偏导数不连续，则z=f(x，y)一定不可微标准答案：C知识点解析：因为若函数f(x，y)一阶连续可偏导，则f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选(C)．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)7、=________．标准答案：-2知识点解析：8、曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为________．标准答案：切平面为π：2(x一1)一y一(z一1)=0，即π：2x—y－z一1=0知识点解析：F=x2(1一siny)+y2(1一sinx)一z，n=｛2x(1一siny)一y2cosx，2y(1一sinx)一x2cosy，一1｝，在点(1，0，1)处的法向量为n=｛2，一1，一1｝，切平面为π：2(x一1)一y一(z一1)=0，即π：2x—y－z一1=0．9、=________．标准答案：1知识点解析：10、设∫a2ln2，则a=________．标准答案：ln2知识点解析：三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)11、求．标准答案：知识点解析：暂无解析12、求．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设y=x2lnx，求y(n)(n≥3)．标准答案：y(n)=Cn0x2(lnx)(n)+Cn12x．(lnx)(n－1)+Cn22．(lnx)n－2知识点解析：暂无解析14、当0＜x＜时，证明：＜sinx＜x．标准答案：令f(x)=x－sinx，f(0)=0，知识点解析：暂无解析15、求．标准答案：知识点解析：暂无解析16、求函数f(x)=∫0x2(2一t)e－tdt的最大值与最小值．标准答案：因为f(x)为偶函数，所以只研究f(x)在[0，+∞)内的最大值与最小值即可．令f’(x)=2x(2一x2)e－x2=0，得f(x)的唯一驻点为x=，因为f(+∞)=f(-∞)=∫0＋∞(2一t)e－tdt=1及f(0)=0，所以最小值为0．知识点解析：暂无解析17、求函数μ=的梯度方向的方向导数．标准答案：知识点解析：暂无解析18、改变积分次序并计算．标准答案：改变积分次序得知识点解析：暂无解析19、计算I=∫L(ex+1)cosydx一[(ex+x)siny—x]dy，其中L为由点A(2，0)沿心形线r=1+cosθ上侧到原点的有向曲线段．标准答案：令L1：y=0(起点x=0，终点x=2，则∫L1(ex＋1)cosydx－[(ex＋x)siny－x]dy=(ex＋1)dx=∫02e2＋1，所以原式=一e2—1．知识点解析：暂无解析20、若正项级数都收敛，证明下列级数收敛：标准答案：(1)(2)因为收敛．知识点解析：暂无解析21、设a1=1，当n≥1时，an＋1=，证明：数列｛an｝收敛并求其极限．标准答案：令f(x)=＞0(x＞0)，所以数列｛an｝单调．又因为a1=1，0≤an＋1≤1，所以数列｛an｝有界，从而数列｛an｝收敛，令=A，则有A=．知识点解析：暂无解析22、设f(x)二阶可导，=1且f’’(x)＞0．证明：当x≠0时，f(x)＞x．标准答案：由=1，得f(0)=0，f’(0)=1，又由’’(x)＞0且x≠0，所以f(x)＞f(0)+f’(0)x=x．知识点解析：暂无解析设函数f(x)=其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．23、确定常数a，使得f(x)在x=0处连续；标准答案：=f’(0)，当a=g’(0)时，f(x)在x=0处连续．知识点解析：暂无解析24、求f’(x)；标准答案：当x≠0时，f’(x)=．知识点解析：暂无解析25、讨论f’(x)在x=0处的连续性．标准答案：知识点解析：暂无解析26、设f’(x)在[0，1]上连续且｜f’(x)｜≤M．证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析27、设f(x)在[0，a](a＞0)上非负、二阶可导，且f(0)=0，f’’(x)＞0，为y=f(x)，y=0，x=a围成区域的形心，证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析28、设二阶常系数线性微分方程y’’+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．标准答案：将y=e2x+(1+x)ex代入原方程得(4+2a+b)e2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex，则有原方程为y’’一3y’+2y=一ex．原方程的特征方程为λ2一3λ+2=0，特征值为λ1=1，λ2=2，则y’’一3y’+2y=0的通解为y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解为y=C1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设f(x)=则在x=1处f(x)()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但不是连续可导D、连续可导标准答案：D知识点解析：2、下列说法正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：3、设当x→0时，有ax3+bx2+cx～∫0ln(1＋2x)sintdt，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为x→0时，ax3+bx2+cx～∫0ln(1＋2x)sintdt，得a=0，b=2，选(D)．4、设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为()．A、0个B、1个C、2个D、3个标准答案：B知识点解析：因为f’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x一a)+=+∞，故=+∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点，又因为f’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)．5、设A=｛x3+2y，y3+2z，z3+2x｝，曲面S：x2+y2+z2=2z内侧，则场A穿过曲面指定侧的通量为()．A、32πB、一32πC、D、标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)6、若f(x)=在x=0处连续，则a=________．标准答案：2知识点解析：7、=_________．标准答案：知识点解析：8、设z=f(x+y，y+z，z+x)，其中f连续可偏导，则=_________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)9、求．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设an=，证明：｛an｝收敛，并求an．标准答案：显然｛an｝单调增加，现证明：an≤3，当n=1时，a1=≤3，设n=k时，ak≤3，当n=k＋1时，ak＋1==3，知识点解析：暂无解析11、设对一切的x，有f(x+1)=2f(x)，且当x∈[0，1]时f(x)=x(x2一1)，讨论函数f(x)在x=0处的可导性．标准答案：因为f－’(0)≠f＋’(0)，所以f(x)在x=0处不可导．知识点解析：暂无解析12、求．标准答案：知识点解析：暂无解析13、求．标准答案：知识点解析：暂无解析14、求曲线y=cosx()与x轴围成的区域绕x轴、y轴形成的几何体体积．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设xy=xf(z)+yg(z)，且xf’(z)+yg’(z)≠0，其中z=z(x，y)是x，y的函数．证明：·标准答案：xy=xf(z)+yg(z)两边分别对x，y求偏导，得知识点解析：暂无解析16、计算sinx2cosy2dxdy，其中D：x2+y2≤a2(x≥0，y≥0)．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设F(μ)连续可导，计算I=3=dzdx+zdxdy，其中曲面∑为由y=x2+z2+6与y=8一x2一z2所围成立体的外侧．标准答案：设Ω是∑所围成的区域，它在xOz平面上的投影区域为x2+z2≤1，由高斯公式得知识点解析：暂无解析18、求幂级数xn－1的收敛域，并求其和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求微分方程(xy2+y一1)dx+(x2y+x＋2)dy=0的通解．标准答案：令P(x，y)=xy2+y一1，Q(x，y)=x2y+x+2，因为=2xy+1，所以原方程为全微分方程，令μ(x，y)=∫(0，0)(x，y)(xy2+y一1)dx+(x2y+x+2)dy=∫0x(一1)dx+∫0y(x2y+x+2)dy=一x++xy+2y则原方程的通解为+xy+2y—x=C．知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[a，+∞)上连续，且f(x)存在．证明：f(x)在[a，+∞)上有界．标准答案：设=A，取ε0=1，根据极限的定义，存在X0＞0，当x＞X0时，｜f(x)一A｜＜1，从而有｜f(x)｜＜｜A｜+1，又因为f(x)在[a，X0]上连续，根据闭区间上连续函数有界的性质，存在k＞0，当x∈[a，X0]，有｜f(x)｜≤k，取M=max｛｜A｜+1，k｝，对一切的x∈[a，+∞)，有｜f(x)｜＜M．知识点解析：暂无解析21、设f(x)二阶连续可导且f(0)=f’(0)=0，f’’(x)＞0．曲线y=f(x)上任一点(x，f(x))(x≠0)处作切线，此切线在x轴上的截距为μ，求．标准答案：曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线方程为Y一f(x)=f’(x)(X—x)，知识点解析：暂无解析22、设f(x)=∫1x，求∫01x2f(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析23、证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设二元函数f(x，y)=｜x-y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0．标准答案：(必要性)设f(x，y)在点(0，0)处可微，则fx’(0，0)，fy’(0，0)存在．知识点解析：暂无解析设｛μn｝，｛cn｝为正项数列，证明：25、若对一切正整数n满足cnμn一cn＋1μn＋1≤0，且也发散；标准答案：知识点解析：暂无解析26、若对一切正整数n满足cn一cn＋1≥a(a＞0)，且也收敛·标准答案：知识点解析：暂无解析27、求函数f(x)=ln(1一x一2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域．标准答案：f(x)=ln(1一x一2x2)=ln(x+1)(1—2x)=ln(1+x)+ln(1—2x)，知识点解析：暂无解析28、早晨开始下雪，整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午2点扫雪2km，到下午4点又扫雪1km，问降雪是什么时候开始的?标准答案：设单位面积在单位时间内降雪量为a，路宽为b，扫雪速度为c，路面上雪层厚度为H(t)，扫雪车前进路程为S(t)，降雪开始时间为T，则H(t)=a(t—T)，又b×H(t)×△s=c×△t，知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、下列命题中正确的是①设anχn与bnχn有相同的收敛域(－R，R)，则(an＋bb)χn的收敛域为(－R，R)；②设anχn与bnχn的收敛域分别为[－1，1)，(－2，2)，则＝(an＋bn)χn的收敛域为[－1，1)；③若幂级数anχn的收敛区间(－R，R)即它的收敛域，则的收敛域可能是[－R，R]；④若幂级数anχn的收敛域为[－R，R]，则幂级数nanχn-1的收敛域为[－R，R]．A、①②B、②③C、③④D、①④标准答案：B知识点解析：暂无解析2、下列级数中发散的是A、B、C、1－＋…(χ＞0，χ≠1)．D、正项级数互un，其中un满足－vn-1≥a＞0(n＝1，2，3，…)，{vn}是正数列．标准答案：C知识点解析：关于选项C：考察它添加括号后的级数记为an．χ＞1时，因发散，收敛，所以an发散，因添加括号后的级数发散，所以原级数也发散．0＜χ＜1时，an～－(n→∞)．这说明an是负项级数，比较判别法对它是适用的．因发散an发散原级数发散．故应选C．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)3、设有极坐标系下的累次积分J＝dθ∫0sinθf(rcosθ，rsinθ)rdr，(Ⅰ)将J写成直角坐标系下先对y后对χ积分的累次积分则是J＝_______；(Ⅱ)将J改成先对θ后对r积分的累次积分则是J＝_______．标准答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)f(rcosθ，rsinθ)rdθ．知识点解析：(Ⅰ)将累次积分-，写成J＝f(χ，y)dσ，其中，D的极坐标表示D：≤θ≤π，0≤r≤sinθ，于是得D的直角坐标形式为(如图24—3(a))χ2＋y2≤y(由r2≤rsinθ而得)，χ≤0，即χ2＋，χ≤0．现重新配限得J＝(Ⅱ)在Oθr直角坐标系中(如图24—3(b))，J＝f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ．当≤0≤π时，0≤π－θ≤，由r＝sinθ＝sin(π－θ)π－θ＝arcsinr，θ＝π－arcsinr．因此J＝f(rcosθ，rsinθ)rdθ．4、设Ω＝{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤R2}，α，β，γ为常数，则I＝(αχ2＋βy2＋γz2)dV＝_______．标准答案：πR5(α＋β＋γ)知识点解析：由变量的轮换对称性(坐标轴名称互换，区域Ω不变)因此I＝πR5(α＋β＋γ)．5、设曲线L为χ2＋4y2＝1，则曲线积分∫L｜χy｜ds＝_______．标准答案：知识点解析：L关于χ，y轴对称，L在第一象限部分记为L1，｜χy｜对χ，y均为偶函数，则I＝∫L｜χy｜ds＝4χyds．L1参数方程为，又6、(Ⅰ)设S是球面(χ－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝R2的上半部分，取上侧，则J＝χdydz＋ydzdχ＋zdχdy＝_______；(Ⅱ)设S是球面χ2＋y2＋z2－2aχ－2ay－2az＋a2＝0(a＞0为常数)，则J＝(χ＋y＋z－)dS＝_______．标准答案：(Ⅰ)；2πR3＋πR2c；(Ⅱ)8(3－)πa3．知识点解析：暂无解析7、由级数的敛散性确定下列参数的取值范围：(Ⅰ)若收敛，则a满足_______；(Ⅱ)级数若收敛，则α满足_______．标准答案：(Ⅰ)｜a｜＜e；(Ⅱ)α∈(1，＋∞)．知识点解析：(Ⅰ)因一般项含有阶乘，选用比值判别法．记un＝，则由比值判别法知，当｜a｜＜e时级数绝对收敛，从而收敛，当｜a｜＞e时级数发散(此时un0)．当｜a｜＝e时比值判别法失效，但由于故｜a｜＝e时级数也发散．因此，a满足：｜a｜＜e．(Ⅱ)α≤0时－1→＋∞(n→∞)原级数发散．由于α＞0时，因此，α满足：α∈(1，＋∞)．8、设f(χ)＝则其以2π为周期的傅氏级数(Ⅰ)在χ＝π处收敛于_______；(Ⅱ)在χ＝0处收敛于_______；(Ⅲ)在χ＝1处收敛于_______．标准答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)3．知识点解析：f(χ)满足收敛性定理条件．(Ⅰ)χ＝π是区间的端点，χ＝π时收敛于(Ⅱ)χ＝0∈(－π，π)．是f(χ)的间断点，χ＝0处收敛于(Ⅲ)χ＝1∈(－π，π)，是f(χ)的连续点，χ＝1处收敛于f(1)＝2＋1＝3．三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)9、设a＞0为常数，求积分I＝(χ＋y)dχdy，其中D由直线χ＝a，χ＝0，y＝a，y＝－a及曲线χ2＋y2＝aχ所围．标准答案：曲线χ2＋y2＝aχ即圆周：，它的极坐标方程是r＝acosθ．积分区域D如图24—2(a)阴影部分．由于D关于χ轴对称，故ydχdy＝0，χdχdy＝2χdχdy，其中D1＝D∩{y≥0}．将D1看成正方形区域与半圆形区域的差集，在半圆形区域上用极坐标变换，可得于是I＝a3－π．知识点解析：暂无解析10、求二次积分I＝标准答案：直接计算行不通，先表成D上的二重积分I＝dχdy，确定积分区域D＝D1∪D2：D1＝{χ，y)｜0≤χ≤1，1－χ≤y≤2－χ}，D2＝{χ，y)｜1≤χ≤2，0≤y≤2－χ}，如图24—4(a)所示．交换积分顺序不能解决问题，直接对累次积分I用分部积分法时遇到求导的困难．对内层积分作变量替换t＝χ＋y(对y积分时χ为常量)得可表为D0：0≤χ≤1，1≤y≤2，1≤χ≤2，χ≤y≤2上的二重积分(如图24—4(b)所示，然后交换积分次序)知识点解析：暂无解析11、设f(χ)连续，Ω(R)＝{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤2Ry}，R＞0．(Ⅰ)将三重积分I＝f(z)dV化为定积分；(Ⅱ)求J＝标准答案：(Ⅰ)Ω(R)是球域：χ2＋(y－R)2＋z2≤R2．选择先二(χ与y)后一(z)的积分顺序，Ω(R)表为－R≤z≤R，(χ，y)∈D(z)＝{(χ，y)｜χ2＋(y－R)2≤R2－z2}，于是I＝圆域D(z)的面积为π(R2－z2)，因此I＝π∫-RRf(z)(R2－z2)dz．(Ⅱ)用题(Ⅰ)的结果得用洛必达法则得知识点解析：暂无解析12、设Ω是由yz平面内z＝0，z＝2以及y2－(z－1)2＝1所围成的平面区域绕z轴旋转而成的空间区域．求三重积分，I＝(χ2＋y2)dV．标准答案：平面区域如图24—5(a)所示．空间区域Ω是由旋转面戈χ2＋y2＝(z－1)2＋1及平面z＝0，z＝2所围成，见图24—5(b)．由被积函数与区域的特点，选用柱坐标变换χ＝rcosθ，y＝rsinθ，z＝z，并选择先二(先r，Z)后一(θ)或先r，θ后z的积分顺序．过z轴作极角为θ的半平面截Ω得平面区域D(θ)(图24—5(c))：0≤r≤，0≤z≤2，于是知识点解析：暂无解析13、计算三重积分I＝(χ＋y＋z)2dV，其中(Ⅰ)Ω{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4，z≥}；(Ⅱ)Ω{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4，χ2＋y2＋z2≤4z}．标准答案：这二个区域Ω的共同点是，它们关于yz平面与zχ平面均对称，当被积函数对χ或对y是奇函数时，则在Ω上的三重积分值为零．于是I＝(χ2＋y2＋z2)aV＋2(χy＋yz＋zχ)dV＝(χ2＋y2＋z2)dV．下面分别就上述两种区域Ω求积分值I．(Ⅰ)Ω由上半球面＝2及锥面z＝围成．如图24—6(a)所示．它们的交线是：作球坐标变换，则Ω的球坐标表示为：0≤ρ≤2，0≤φ≤，0≤θ≤2π．于是(Ⅱ)Ω是两个球体χ2＋y2＋z2≤4与χ2＋y2＋z2≤4z(χ2＋y2＋(z－2)2≤4)的公共部分，两球面的交线是图24—6(b)是Ω在yz平面上的截面图．作球坐标变换，并用锥面z＝将Ω分成Ω＝Ω1＝Ω2．其中Ω1＝{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4，z≥}，Ω2＝{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4z，z≤}．用球坐标表示：Ω1：0≤ρ≤2，0≤φ≤，0≤θ≤2π，Ω2：0≤ρ≤4cosφ，，0≤θ≤2π．这里球面χ2＋y2＋z2＝4z的球坐标方程是：ρ＝4cosφ．因此知识点解析：暂无解析14、设φ(y)有连续导数，L为半圆周：(y≥χ)，从点O(0，0)到点A(π，π)方向(见图25—1)，求曲线积分I＝∫L[φ(y)cosχ－y]dχ＋[φ′(y)sinχ－1]dy．标准答案：I＝∫Lφ(y)dsinχ＋sinχdφ(y)－dy－ydχ＝[φ(y)sinχ－y]｜(0，0)(π，π)－∫Lydχ＝－π－∫Lydχ．L的参数方程是因此，I＝－π－．知识点解析：暂无解析15、设函数u(χ，y)，v(χ，y)具有一阶连续偏导数，且满足．C为包围原点的正向闭曲线．证明：(Ⅰ)[(χv－yu)aχ＋(χu＋yv)dy]＝[(χv－yu)dχ＋(χu＋yv)dy]，其中Cr＋是以原点为心r为半径的圆周，取逆时针方向，r充分小使Cr＋在C所围区域内；(Ⅱ)[(χv－yu)dχ＋(χu＋yv)dy]＝2πu(0，0)．标准答案：(Ⅰ)由题设可知，记P＝(χv，yu)，Q＝(χu＋yv)，则从而[2u(χ2＋y2)－2u(χ2＋y2)]＝0．(χ2＋y2≠0)在C与Cr+所围的区域D上用格林公式得其中Cr-为顺时针方向(如图25—2)．于是∮CPdχ＋Qdy＝＋Pdχ＋Qdy．即结论(Ⅰ)成立．(Ⅱ)在Cr+上χ2＋y2＝r2，由结论(Ⅰ)得∮CPdχ＋Qdy＝P1dχ＋Q1dy其中P1(χ，y)＝χv－yu，Q1(χ，y)＝χu＋yv．在Cr+围成的区域D，上用格林公式得再由二重积分中值定理得，(ξ，η)∈D，使得udσ＝πr2(ξ，η)，因此，对充分小的r＞0，就有∮CPdχ＋Qdy＝.πr2u(ξ，η)＝2πu(ξ，η)．令r→0得∮CPdχ＋Qdy＝2πu(0，0)．知识点解析：暂无解析16、设区域D由线г1：χ＝cos3t，y＝sin3t(0≤t≤，π)与χ轴围成，求I＝ydχdy．标准答案：积分区域D的边界由参数方程给出，利用积分间的相互转化，将求，I(二重积分)转化为求D的边界г上的曲线积分，由曲线的参数方程求曲线积分是方便的．边界г由г1及г2组成，见图25—3．D如图25—3，边界厂取正向(逆时针方向)，在格林公式中，＝∫гPdχ＋Qdy取P＝－y2，Q＝0，左端即是I，且知识点解析：暂无解析17、求曲面积分I＝χdydz＋y2dzdχ，其中∑是曲面z＝χ2＋y2满足z≤χ的部分，取下侧．标准答案：图26—1(a)中只画出曲面z＝χ2＋y2，易知，∑关于zχ平面对称，y2对y为偶函数，于是y2dzdχ＝0，I＝I1＝χdydz．不论投影到哪个平面上计算这个曲面积分，都需要先求投影区域．现选择投影到χy平面上，记投影区域为Dχy．由，消去z得χ＝χ2＋y2，见图26—1(b)．因∑方程为z＝χ2＋y2，于是代公式化为二重积分得作极坐标变换：χ＝rcosθ，r＝rsinθ，Dχy：，0≤r≤cosθ，于是知识点解析：暂无解析18、设F＝(P，Q，R)＝(χ2－yz，y2－yz，z2－χy)．(Ⅰ)求rotF；(Ⅱ)求J＝∫гPdχ＋Qdy＋Rdz，其中г是沿螺旋线χ＝acosθ，y＝asinθ，z＝θ，从A(a，0，0)到B(a，0，h)的有向曲线(a＞0)．标准答案：(Ⅰ)按旋度计算公式得＝(－χ－(－χ)，－y－(－y)，－z－(－z))＝(0，0，0)．(Ⅱ)若C是闭曲线，以C为边界的曲面S，定向按右手法则，则由斯托克斯公式得∫CPdχ＋Qdy＋Rdz＝rotF.ndS＝0．这里г不封闭，添加直线段(如图26—2)，则C＝г∪构成闭曲线，于是Pdχ＋Qdy＋Rdz＝0J＝∫гPdχ＋Ddy＋Rdχ＝Pdχ＋Qdy＋Rdz＝∫0hR(a，0，z)dz＝∫0hz2dz＝h3．知识点解析：暂无解析19、下列区域D上，是否与路径无关?是否存在原函数?若存在，求出原函数．(Ⅰ)D：χ2＋y2＞0；(Ⅱ)D：y＞0；(Ⅲ)D：χ＜0；(Ⅳ)D：平面除去射线：y＝0，－∞＜χ≤0．(若存在原函数，不要求求原函数．)标准答案：首先明确与路径无关等价于存在原函数．记，易验证：(Ⅰ)D：χ2＋y2＞0不是单连通的，则((χ，y)∈D)不是∫L，Pdχ＋Qdy在D与路径无关的充分条件．事实上，若取闭曲线C：χ2＋y2＝r2，逆时针方向，则∮CPdχ＋Qdy＝＝2π．因此，在D上不是与路径无关，在D上不存在原函数．(Ⅱ)D：y＞0是单连通的，在D上∫LPdχ＋QdyD上与路径无关，存在原函数．则原函数u＝－arctan＋C，其中C为常数．(Ⅲ)同理，在D：χ＜0上与路径无关，存在原函数，可求得原函数为u＝arctan＋C．(Ⅳ)区域D如图27一1所示，D是单连通区域，在D上∫LPdχ＋Qdy在D上与路径无关，Pdχ＋Qdy原函数．知识点解析：暂无解析20、设有平面力F(χ，y)＝(P(χ，y)，Q(χ，y))，其中P(χ，y)＝f(χ)＋y[e－χ－f′(χ)]，Q(χ，y)＝f′(χ)，函数f(χ)二阶连续可导，并满足f′(0)＝0，试确定f(χ)，使得(Ⅰ)力F对运动质点做的功与质点运动路径无关；(Ⅱ)若L是由点A(－1，1)到点8(1，0)逐段光滑的有向曲线，则∫LPdχ＋Qdy＝．标准答案：条件(Ⅰ)即∫LPdχ＋Qdy在全平面与路径无关，即f〞(χ)＝e－χ－f′(χ)，f〞(χ)＋f′(χ)＝e－χ．现求此方程的解．这也是可降阶的二阶方程．令p＝f′(χ)，两边乘μ(χ)＝e∫dχ＝eχ得(eχp)′＝1．积分并注意p(0)＝f′(0)＝0得eχf′(χ)＝χ，f′(χ)＝χe－χ．再积分得f(χ)＝－(χ＋1)e－χ＋C．现由条件(Ⅱ)定出常数C．因积钋与路径无关．取L如图27—3所示的路径，则有∫LPdχ＋Qdy＝∫10Q(－1，y)dy＋∫-11P(χ，0)dχ＝∫10f′(－1)dy＋∫-11f(χ)dχ＝e＋∫-11[－(χ＋1)e－χ＋C]dχ＝e＋(χ＋1)e－χ｜-11＋e－χ｜-11＋2C＝，C＝0．因此，f(χ)＝－(χ＋1)e－χ．知识点解析：暂无解析21、求[0，＋∞)上连续曲线y＝f(χ)≥0的方程，使曲线y＝f(χ)与两坐标轴及过点(t，0)(t＞0)的垂直于χ轴的直线所围成的曲边梯形，绕χ轴旋转所形成的旋转体的形心的横坐标等于t．标准答案：该旋转体记为Ωt，它的体积是V＝π∫01f2(χ)dχ．它的形心的χ坐标χdV／π∫0tf2(χ)dχ，其中＝∫0tχ.πf2(χ)dχ于是＝π∫0tχf2(χ)dχ／π∫0tf2(χ)dχ＝∫0tχf3(χ)dχ／∫0tf2(χ)dχ．按题意得∫0tχf2(χ)dχ／∫0tf2(χ)dχ＝t，即∫0tχf2(χ)dχ＝t∫0tf2(χ)dχ．①两边求导得tf2(t)＝即tf2(t)＝∫0tf2(t)dt②再对t求导得f2(t)＋2tf(t)f′(t)＝4f2(f)，即f′(t)－f(t)＝0(t＞0)．③(①，②式中令t＝0时等式自然成立，不必另加条件．)现在③式两边乘得＝0．积分得f(t)＝C(t＞0)．又f(χ)在[0，＋∞)上连续，因此求得f(χ)＝C(χ≥0)，其中C＞0为常数．知识点解析：暂无解析22、求曲面z＝1＋χ2＋y2上任一点(χ0，y0，z0)的切平面与z＝χ2＋y2所围成立体Ω的体积，以及当(χ0，y0，z0)＝(0，0，1)时Ω的表面积．标准答案：①先求曲面z＝1＋χ2＋y2在点(χ0，y0，z0)处的切平面方程为z＝z0＋2χ0(χ－χ0)＋2y0(y－y0)，即z＝1－χ02－y02＋2χ0χ＋2y0y．②再求切平面与z＝χ2＋y2的交线在χy平面上的投影，由消去z得(χ－χ0)2＋(y－y0)2＝1．因此投影曲线为(χ－χ0)2＋(y－y0)＝1，z＝0．③求立体的体积．记D：(χ－χ0)2＋(y－y0)2≤1，则切平面与z＝χ2＋y2所围成立体的体积V＝[(1－χ02－y02＋2χ0χ＋2y0y)－(χ2＋y2)]dχdy＝{1－[(χ－χ0)2＋(y－y0)2]}dχdy＝π－，④当(χ0，y0，z0)＝(0，0，1)时求Ω的表面积．Ω的表面由平面部分S1：z＝1(χ2＋y2≤1)及旋转抛物面部分S2：z＝χ2＋y2(χ2＋y2≤1)组成，记D：χ2＋y2≤1，则S1的面积A2＝π，S2的面积因此，表面积A＝A1＋A2＝π．知识点解析：暂无解析23、求一段均匀圆柱面S：χ2＋y2＝R2(0≤z≤h对原点处单位质点的引力，设S的面密度ρ＝1．标准答案：由对称性可知，引力F＝(F1，F2，F3)，其中F1＝F2＝0，只需求z方向的分量F3．圆柱面上点(χ，y，z)处取曲面微元dS，它对该质点的引力沿，r(χ，y，z)方向，模为k，r＝｜r｜＝．引力dF＝，在z轴方向的分量dF3＝zdS．整个圆柱面对质点的引力的z分量为F3＝．现投影到y平面上求这个曲面积分．S如图28—3，投影区域Dyz：－R≤y≤R，0≤z≤h．前半曲面S1的方程χ＝，(y，z)∈Dyz，知识点解析：暂无解析24、设an＝，试判断级数an是条件收敛还是绝对收敛或发散．标准答案：直接求an办不到，直接估计an也行不通．用分部积分法将an分解记bn＝，易知交错级数互bn条件收敛．现估计cn＝．由于又收敛cn绝对收敛．因此(bn＋cn)条件收敛．知识点解析：暂无解析25、求幂级数的收敛域．标准答案：变量替换法．令t＝χ2，对用求R公式原级数的收敛半径R＝．因此原幂级数的收敛区间是()．再考察端点χ＝±的敛散性．当χ＝±时，由于显然收敛，而，因此收敛，从而原级数收敛．因此原幂级数的收敛域是．知识点解析：暂无解析26、求的收敛域及和函数．标准答案：(Ⅰ)．求收敛域：原幂级数记为anχn．由收敛域为(－∞，＋∞)．(Ⅱ)求和函数．为了用eχ＝，对原级数进行分解，记原级数的和为S(χ)，则因此S(χ)＝－χe－χ－e－χ＋1＋(1－χ－e－χ)＝－e－χ(χ＋1)＋(1－e－χ)(χ≠0)，S(0)＝0．知识点解析：暂无解析27、设f(χ)＝ln(1＋t)dt，求f(χ)的幂级数展开式．标准答案：由已知现逐项积分得知识点解析：暂无解析28、设f(χ)是周期为2的周期函数，且f(χ)＝写出f(χ)的傅氏级数与其和函数，并求级数的和．标准答案：根据傅氏系数的计算公式，得an＝∫02f(χ)cosnπχdχ＝∫01χcosnπχdχ＝(n＝1，2，3…)，a0＝∫02f(χ)dχ＝∫01χdχ＝，bn＝∫02f(χ)sinnπχdχ＝∫01χsinnπχdχ＝(n＝1，2，3，…)，所以f(χ)的傅氏级数为其和函数的周期为2，且S(χ)＝令χ＝0，得且S(0)＝0，所以知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)－v(x)，并设都不存在，下列论断正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：令当x→0时可排除A；令u(x)=v(x)=，当x→0时可排除B；令当x→0时可排除D．对于选项(C)，使用反证法．设存在，由条件均存在，与题意矛盾，故若必不存在．2、关于函数y=f(x)在点x0的以下结论正确的是()A、若f’(x0)=0，则f(x0)必是一极值B、若f’’(x0)=0，则点x0，f(x0))必是曲线y=f(f)的拐点C、若极限存在(n为正整数)，则f(x)在x0点可导，且有D、若f(x)在x0处可微，则f(x)在x0的某邻域内有界标准答案：D知识点解析：A不一定，反例：f(x)=x3，f’(0)=0，但x=0非极值点；B不一定，需加条件：f’’(x)在x0点两侧异号；C项所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，这是不充分的．3、两条平行直线之间的距离为()A、B、C、1D、2标准答案：B知识点解析：连接直线L1上点M1(1，－1，0)与直线L2上点M2(2，－1，1)的向量为(1，0，1)，L1的方向向量τ=(1，2，1)，则4、设a，b，c为非零向量，则与a不垂直的向量是()A、(a.c)b－(a．b)cB、C、a×bD、a+(a×b)×a标准答案：D知识点解析：已知两向量垂直，则内积为零．对于A，a.[(a.c)b－(a.b)c]=0；对于B，对于C，a.(a×b)=0；对于D，a.[a+(a×b)×n]=｜a｜2≠0，所以答案选择D．5、函数()A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在标准答案：C知识点解析：当xy≠0时，当(x，y)→(0，0)时，由夹逼准则，可得极限值为0．6、设D={(x，y)｜x2+y2＞0}，l是D内的任意一条逐段光滑的简单封闭曲线，则下列第二型曲线积分必有()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：对于A和B，令(当(x，y)≠(0，0))．所以当l不包含(0，0)在其内部时，B不正确．若取l为x=cost，y=sint，t从0到2π，则A中=∫02π[(cost－sint)(－sint)+(cost+sint)cost]dt=2π，所以A不正确．对于C和D，令(当(x，y)≠(0，0))．当l不包含(0，0)在其内部时，D不正确，若取l为x=cost，y=sint，不妨认为t从－π到π，则所以对于D内任意l，C正确．7、设则级数()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为是满足莱布尼茨条件的交错级数，因此是等价无穷小，且调和级数发散，故选C．8、设a＞0为常数，则()A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性与a有关标准答案：A知识点解析：因绝对收敛．9、微分方程(x2+y2)dx+(y3+2xy)dy=0是()A、可分离变量的微分方程B、齐次方程C、一阶线性方程D、全微分方程标准答案：D知识点解析：由Q’x=2y=P’y可知A，B，C均不符合，应选D．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)10、由曲线y=x3，y=0及x=1所围图形绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积为_______．标准答案：知识点解析：该旋转体体积V=∫01π(x3)x2dx=．11、=______．标准答案：其中C为任意常数知识点解析：12、微分方程满足初值条件y(0)=0．的特解是______．标准答案：x=ey－e－y－siny知识点解析：熟悉反函数的导数的读者知道，原方程可化为x关于y的二阶常系数线性方程．将上两式代入原方程，原方程化为解得x关于y的通解为x=C1ey+C2e－y－siny，①当x=0时，y=0，代入式①，得0=C1+C2，再将式①两边对y求导，有当x=0时，解得C1=1，C2=－1，于是得特解x=ey－e－y－siny三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)13、设函数f(x)连续可导，且f(0)=0，F(x)=∫0xf(xn一tn)dt，求标准答案：令xn－tn=u，则F(x)=∫0xtn－1f(xn－tn)dt=∫0xnf(u)du，于是知识点解析：暂无解析14、数列{xn}通项标准答案：知识点解析：暂无解析15、求下列函数的导数：(1)y=aax+axx+axa+aaa(a＞0)；(2)Y=ef(x).f(ex)，其中f(x)具有一阶导数；(3)(4)设f(t)具有二阶导数，求f[f’(x)]，{f[f(x)]}’．标准答案：(1)y’=aax.lna.axlna+axx.lna.(xx)’+axa．lna.axa－1。其中，(xx)’=(exlnx)’=exlnx.(lnx+1)=xx(lnx+1)．(2)y’=ef(x).f’(x)f(ex)+ef(x).f.(ex)ex．(3)(4)令则f(t)=4t2，即f(x)=4x2，有f’(x)=8x，由函数概念得f[f’(x)]=f(8x)=4×(8x)2=256x2，{f[f(x)}=f’[f(x)].f’(x)=8f(x).8x=32x2.8x=256x3．知识点解析：暂无解析16、求的反函数的导数．标准答案：先求yx’，令知识点解析：暂无解析17、防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图1．2—1)，截面的面积为5平方米，问底宽x为多少时才能使建造时所用的材料最省?标准答案：设截面周长为S，矩形高为y，则故唯一极值可疑点为由问题的实际意义知，截面周长必有最小值，并且就在此驻点处取得，因此当底宽为≈2．367米时，截面的周长最小，因而所用材料最省．知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0，则存在ξ∈(a，b)，使标准答案：将f(x)在x=a，x=b处展开泰勒公式．令｜f’’(ξ)｜=max{｜f’’(ξ1)｜，｜f’’(ξ2)｜}．则故原命题得证．知识点解析：暂无解析19、求标准答案：知识点解析：暂无解析20、设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2．已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．标准答案：令u=2x－t，则t=2x－u，dt=－du．当t=0时，u=2x；当t=x时，u=x．故∫0xtf(2x－t)dt=－∫2xx(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du．由已知得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=arctanx2，两边对x求导，得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－[2xf(2x).2－xf(x)]=即2∫x2xf(u)du=令x=1，得知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0，证明：存在一点ξ∈a，6]，使∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．标准答案：因f(x)在[a，b]上连续，故m≤f(x)≤M，其中m，M分别是f(x)在[a，b]上的最小值与最大值．因为g(x)＞0，mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)，两边在[a，b]上取积分，得m∫abg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤M∫abg(x)dx，即从而存在ξ∈[a，b]，使得知识点解析：暂无解析22、设f(x)可导，－∞＜x＜+∞，y＞0．标准答案：知识点解析：暂无解析23、(1)设x＞0，y＞0，z＞0，求函数f(x，y，z)=xyz3在约束条件x2+y2+z2=5R2(R＞0为常数)下的最大值；(2)由(1)的结论证明：当a＞0，b＞0，c＞0时，下述不等式成立：标准答案：(1)由拉格朗日乘数法，设F(x，y，z，λ)=xyz3+λ(x2+y2+z2－5R2)，令由①，②得λ(x=y)=0．若λ=0，则有xyz=0，与题设条件x＞0，y＞0，z＞0不符，故得x=y，因此得z3+2λ=0，3x2z+2λ=0，2x2+z2=5R2．于是得3x2－z2=0及2x2+z2=5R2，从而得唯一的一组解：x=R，y=R，此时对应的f(x，y，z)=xyz3在约束条件x2+y2+z2=5R2下达到最大：(2)由(1)已知，当x2+y2+z2=5R2且x＞0，y＞0，z＞0时，令a=x2，b=y2，c=z2，有证毕．知识点解析：暂无解析24、将∫01dx∫01－xdy∫0x+yf(x，y，z)dz化为先y，再x，后z的三次积分，其中f为连续函数．标准答案：y，z的积分区域为Dyz={(y，z)Θ0≤y≤1－x，0≤z≤x+y}(x视为[0，1]上的一个常数)，换序后Dyz=D1∪D2，D1={(y，z)｜0≤z≤x，0≤y≤1－x}；D2={(y，z)｜x≤z≤1，z－x≤y≤1－x}，故∫01－xdy∫0x+yf(x，y，z)dz=∫0xdz∫01－xf(x，y，z)dy+∫x1dz∫z－x1－xf(x，y，z)dy．于是∫01dx∫01－xdy∫0x+yf(x，y，z)dz=∫01dx∫0xdz∫01－xf(x，y，z)dy+∫01dz∫x1dz∫z－x1－xf(x，y，z)dy=∫01dz∫z1dx01－xf(x，y，z)dy+∫01dz∫0zdx∫z－x1－xf(x，y，z)dy．知识点解析：暂无解析25、变换下列二次积分的积分次序：(1)(2)∫01dy∫1－y1+y2f(x，y)dx；标准答案：(1)如图1．6—6所示，(2)如图1．6—7所示，则∫01dy∫1－y1+y2f(x，y)dx=∫01dx∫1－x1f(x，y)dy+(3)如图1．6—8所示，D=D1∪D2，其中(4)如图1．6—9所示，故=∫－10dy∫－2arcsinyπf(x，y)dx+∫01dy∫arcsinyπ－arcsinyf(x，y)dx知识点解析：暂无解析26、在密度为1的半球体的底面接上一个相同材料的柱体：－h≤z＜0，x2+y2≤R2(h＞0)，试确定h值，使整个球柱体的重心恰好落在球心上．标准答案：设球柱体Ω的重心为由时，整个立体的重心恰好落在球心上．知识点解析：暂无解析27、设函数f(x)是以2π为周期的周期函数，且f(x)=eαx(0≤x＜2π)，其中α≠0，试将f(x)展开成傅里叶级数，并求级数的和．标准答案：因此，由狄利克雷收敛定理知令α=1，x=0，由狄利克雷收敛定理知知识点解析：暂无解析28、求微分方程y’’+2y’+y=xex的通解．标准答案：特征方程r2+2r+1—0的两个根为r1=r2=－1．对应齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e－x．设所求方程的特解为y*=(ax+b)ex，则(y*)’=(ax+a+b)ex，(y*)’’=(ax+2a+b)ex，代入所给方程，有(4ax+4a+4b)ex=xex，解得故所求通解为y=(C1+C2x)e－x+(x－1)ex，其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析29、求微分方程满足初始条件y(0)=1，y’(0)=1的特解．标准答案：此为y’’=f(y，y’)型．令原方程化为当x=0时，y=1，y’=1．代入得1=1(1+C1)，所以C1=0．于是得p2=y2，p=y2(因y=1时y’=1，取正号)，故再分离变量，积分得将x=0时y=1代入得C2=－1，从而得特解知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)在(一∞，＋∞)上有定义，x0≠0为函数f(x)的极大值点，则()．A、x0为f(x)的驻点B、一x0为一f(一x)的极小值点C、一x0为一f(x)的极小值点D、对一切的x有f(x)≤f(x0)标准答案：B知识点解析：因为y=f(一x)的图像与y=f(x)的图像关于y轴对称，所以一x0为f(一x)的极大值点，从而一x0为一f(一x)的极小值点，选(B)．2、设an(x一1)n在x=－1处收敛，则此级数在x=2处()．A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：3、设α～β(x→a)，则等于()．A、eB、e2C、1D、标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)4、当x→0时，ex—为x的三阶无穷小，则a=________，b=________·标准答案：知识点解析：ex=1＋x＋＋o(x3)，=1－bx＋b2x2－b3x3＋o(x3)得=(1＋ax)[1－bx＋b2x2－b3x3＋o(x3)]=1＋(a－b)x＋(b2－ab)x2＋(ab2－b3)x3＋o(x3)，5、=_________．标准答案：＋C知识点解析：6、设f(x，y)满足=2，f(x，0)=1，fy’(x，0)=x，则f(x，y)=_________．标准答案：y2+xy+1知识点解析：因为f(x，0)=1，所以φ2(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．7、设f(x)=x2,则f’(x)=_________．标准答案：f’(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x知识点解析：f’(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x．8、设f(x)连续，则=_________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)9、求．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设f(x)=sinx，求f(x)的间断点及其分类．标准答案：x=0即x=1为f(x)的间断点．知识点解析：暂无解析11、设f(x)=，验证f(x)在[0，2]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求(0，2)内使得f(2)一f(0)=2f’(ξ)成立的ξ．标准答案：由f(1一0)=f(1)=f(1+0)=1得f(x)在x=1处连续，从而f(x)在[0，2]上连续．知识点解析：暂无解析设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：12、存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．标准答案：令φ(x)=e－x2f(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e－x2[f’(x)一2xf(x)]且e－x2≠0，故f’(ξ)=2ξf(ξ)．知识点解析：暂无解析13、存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)+f(η)=0．标准答案：令φ(x)=xf(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在η∈(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=xf’(x)+f(x)，故ηf’(η)+f(η)=0．知识点解析：暂无解析14、设f(x)=sin3x＋∫－ππxf(x)dx，求∫0πf(x)dx．标准答案：令∫－ππxf(x)dx=A，则f(x)=sin3x+A，xf(x)=xsin3x+Ax两边积分得∫－ππxf(x)dx=∫－ππsin3xdx+∫－ππAxdx，即A=∫－ππsin3xdx=2∫0πxsin3xdx=π∫0πsin3xdx知识点解析：暂无解析15、当x≥0时，f(x)=x，设g(x)=，当x≥0时，求∫0xf(t)g(x－t)dt．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设平面图形D由x2+y2≤2x与y≥x围成，求图形D绕直线x=2旋转一周所成的旋转体的体积．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设·标准答案：知识点解析：暂无解析18、计算(x2+y2)dxdydz，其中Ω是由曲线绕z轴一周所成的曲面介于z=2与z=8之间的几何体．标准答案：曲线绕x轴一周所成的曲面为z=(x2+y2)，则Ω=｛(x，y，z)｜(x，y)∈Dz，2≤z≤8｝，其中Dz：x2+y2≤2z，于是知识点解析：暂无解析19、计算曲面积分(x2+y2)dzdx+zdxdy，其中S为锥面z=(0≤z≤1)第一卦限的部分，方向取下侧．标准答案：将曲面S向xOz面投影得Dxz=｛(x，y)｜0≤x≤1，x≤z≤1｝，知识点解析：暂无解析20、将f(x)=arctanx展开成x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设f(x)在(一1，+∞)内连续且f(x)—∫0xtf(t)dt=1(x＞一1)，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设x3一3xy+y3=3确定y为x的函数，求函数y=y(x)的极值点．标准答案：x3一3xy+y3=3两边对x求导得知识点解析：暂无解析23、设f(x)在x=x0的邻域内连续，在x=x0的去心邻域内可导，且f’(x)=M．证明：f’(x0)=M．标准答案：由微分中值定理得f(x)一f(x0)=f’(ξ)(x—x0)，其中ξ介于x0与x之间，则=M，即f’(x0)=M．知识点解析：暂无解析24、．标准答案：知识点解析：暂无解析25、为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，设井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗盛污泥2000N，提升速度为3m／s，在提升过程中，污泥以20N／s的速度从抓斗中漏掉．现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?标准答案：设拉力对空斗所做的功为W1，则W1=400×30=12000(J)．设拉力对绳所做的功为W2，任取[x，x+dx][0，30]，dW2=50(30一x)dx，则W2=∫030dW2=22500(J)．设拉力对污泥做功为W3，任取[T，t+dt][0，10]，dW3=(2000—20t)×3dt，则W3=∫010dW3=57000(J)，拉力克服重力所做的功为W=W1+W2＋W3=91500(J)．知识点解析：暂无解析26、在变力F=｛yz，xz，xy｝的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点M(ξ，η，ζ)，问ξ，η，ζ取何值时，F所做的功最大?求最大的功．标准答案：设原点O到点M(ξ，η，ζ)的直线为L，L的参数方程为知识点解析：暂无解析设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f'(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0·27、求f’(x)；标准答案：(x+1)f’(x)＋(x＋1)f(x)－∫0xf(t)dt=0，两边求导得(x＋1)f’’(x)=－(x＋2)f’(x)．再由f(0)=1，f’(0)＋f(0)=0，得f’(0)=一1，所以C=一1，于是f’(x)=．知识点解析：暂无解析28、证明：当x≥0时，e－x≤f(x)≤1．标准答案：当x≥0时，因为f’(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．令g(x)=f(x)一e－x，g(0)=0，g’(x)=f’(x)+e－x=e－x≥0，知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设f(x)=｜x3一1｜g(x)，其中g(x)连续，则g(1)=0是f(x)在x=1处可导的()．A、充分条件B、必要条件C、充分必要条件D、非充分非必要条件标准答案：C知识点解析：设g(1)=0，f－’(1)=．(x2+x+1)g(x)=0，因为f－’(1)=f＋’(1)=0，所以g(1)=0，故g(1)=0为f(x)在x=1处可导，应选(C)．2、下列广义积分发散的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由发散，应选(B)．3、f(x，y)=arctan在(0，1)处的梯度为()．A、iB、一iC、jD、一j标准答案：A知识点解析：4、极坐标下的累次积分dθ∫02cosθf(rcosθ，rsinθ)rdr等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：累次积分所对应的二重积分的积分区域为D：x2+y2≤2x(y≥0)，则D=｛(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤｝，选(D)．5、f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是()．A、f(x)，g(x)在x0处都可导B、f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导C、f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导D、f(x)，g(x)在x0处都可能不可导标准答案：D知识点解析：令f(x)=显然f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)≡一1在任何一点都可导，选(D)．6、设幂级数an(x一2)n在x=6处条件收敛，则幂级数(x一2)2n的收敛半径为()．A、2B、4C、D、无法确定标准答案：A知识点解析：因为二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)7、当x→0时，3x一4sinx+sinxcosx与xn为同阶无穷小，则n=________．标准答案：5知识点解析：8、由曲线L：绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(0，)处的指向外侧的单位法向量为_________．标准答案：知识点解析：曲线L绕y轴旋转一周所得的旋转曲面为∑：3x2+2y2+3z2一12=09、设函数f(x)=πx+x2(一π＜x＜π)的傅里叶级数为(ancosnx+bnsinnx)，则b3=_________．标准答案：知识点解析：10、设y’’一3y’+ay=一5e－x的特解形式为Axe－x，则其通解为_______．标准答案：y=C1e－x+C2e4x+xe－x知识点解析：因为方程有特解Axe－x，所以一1为特征值，即(一1)2一3×(一1)+a=0a=一4，所以特征方程为λ2一3λ一4=0λ1=一1，λ2=4，齐次方程y’’一3y’+ay=0的通解为y=C1e－x+C2e4x，再把Axe－x代入原方程得A=1，原方程的通解为y=C1e－x+C2e4x+xe－x。11、设f(x)满足等式xf’(x)一f(x)=，且f(1)=4，则∫01f(x)dx=_________．标准答案：2-知识点解析：12、函数μ=x2－2yz在点(1，一2，2)处的方向导数最大值为_________．标准答案：6知识点解析：函数μ=x2一2yz在点(1，一2，2)处的方向导数的最大值即为函数μ=x2一2yz在点(1，一2，2)处的梯度的模，而gradμ｜(1，－2，2)=｛2x，一2z，一2y｝｜(1，一2，2)=｛2，－4，4｝，方向导数的最大值为=6．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)13、求．标准答案：知识点解析：暂无解析14、求．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设y=y(x)由方程ey+6xy+x2一1=0确定，求y’’(0)．标准答案：将x=0代入得y=0，ey+6xy+x2一1=0两边对x求导得ey+2x=0，将x=0，y=0代入得y’(0)=0．将x=0，y=0，y’(0)=0代入得y’’(0)=一2．知识点解析：暂无解析16、证明：当0＜x＜1时，．标准答案：知识点解析：17、求∫arcsinxarccosxdx．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(t)=∫1tdx，求∫01t2f(t)dt．标准答案：知识点解析：暂无解析19、利用格林公式计算∫L(eXsiny+x—y)dx＋(excosy+y)dy，其中L是圆周y=(a＞0)上从点A(2a，0)到点O(0，0)的弧段．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设a1=2，an＋1=(n=1，2，…)．证明：标准答案：(1)(2)由(1)得0≤≤an－an＋1，对级数(an－an＋1)，Sn=(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)=2－an＋1，知识点解析：暂无解析21、一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．标准答案：设t时刻雪堆的半径为r，则有知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[1，+∞)内可导，f’(x)＜0且f(x)=a＞0，令an=f(k)一∫1nf(x)dx．证明：｛an｝收敛且0≤an≤f(1)．标准答案：因为f’(x)＜0，所以f(x)单调减少．又因为an＋1一an=f(n+1)一∫nn＋1f(x)dx=f(n+1)一f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])，所以｛an｝单调减少．因为an=∫kk＋1[f(k)－f(x)]dx＋f(n)，而∫kk＋1[f(k)一f(x)]dx≥0(k=1，2，…，n一1)且=a＞0，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0．由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，+∞))，故an≥f(n)＞0，所以存在．由an=f(1)＋[f(2)一∫12f(x)dx]＋…＋[f(n)－∫n－1nf(x)dx]，而f(k)－∫k－1kf(x)dx≤0(k=2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而0≤≤f(1)．知识点解析：暂无解析设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．23、写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式。标准答案：由存在，得f(0)=0，f’(0)=0，f’’(0)=0，则f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为f(x)=，其中ξ介于0与x之间．知识点解析：暂无解析24、证明：存在ξ1，ξ2∈[一