n次根式与分数指数幂学案 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.1.1n次根式与分数指数幂[学习目标]1.理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念;培养学生数学抽象的核心素养。2.理解根式与分数指数幂的互化:掌握有理数指数幂的运算性质:培养学生数学运算、逻辑推理等核心素养。3.培养学生勇于探索的精神，体会由特殊到一般、由具体到抽象的问题研究方法，发展数学抽象、数学运算的核心素养。[核心素养]数学运算，数学逻辑[重点难点]教学重点:n次方根与分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质:教学难点:对分数指数幂的理解及有理数指数幂的运算.[教学过程]创设情境，引思入课问题情境1:判断正误(1)a3·a3=a6 () (2)(a2)3=a 5() (3)(ab)2=a2b2 () (4)a0÷a2=a-2=1a2(a≠0) (问题情境2:如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2.同时，a叫做S的平方根，记作a=S=S合作探究，增知长智探究一n次方根的定义与性质1.次方根的定义(1)若x2=a,则x叫做a的(2)若x3=a,则x叫做a的问题情境3由平方根、立方根的定义，试着说说4次方根、5次方根…n次方展的定义。定义：一般地，如果xn=a,那么x叫做a的其中n>1,且n∈N*2.n次方根的性质根据次方根的定义分别求出下列各数的n次方根，观察所得的结果，你能得出样的结论?(1)若x3=27,则x=符号表示为 (2)若x5=-32,则x=符号表示为 (3)若x3=0,则x=符号表示为(4)若x4=81,则x=符号表示为(5)若x4=0,则x=符号表示为(6)若x2=-4,则x=符号表示为归纳总结:(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个负数的n次方根是一个这时,a的n次方用符号na(2)当n是偶数时，正数的次方根有个，这两个数互为这时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号-na(a>0)表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±n(3)负数偶次方根(4)零的任何次方根都是记作探究二根式的性质、求值化简1.根式定义:式子na叫n叫做a叫2.根式性质问题情境4:根据n次方根的意义，计算下列各式的值，并探究（na）n(5)2=(5-3)5=(36)3=(417)4=(4-6)4=性质1：根据n次方根的意义，可得（na）n问题情景5：计算下列各式的值，并探究nan表示an的n次方根，na53552=5(-3)5(-5)2=36341743(-6)34(-17)4性质2：当n为奇数时，nan当n为偶数时，nan==练习求下列各式的值3(-8)(-10)24(3-π)(a-b)2探究3：有理指数幂的运算性质问题情景6：根据n次方根的定义和数的运算，对此问题，你能得出怎样的结论？当a>0时，5a当a<0时，4a思考：当根指数的被开方的指数整除时，根式是否也可以表示为分指数幂的形式？通过对上述问题的理解，你能仿照他们表示出：当a>0时，3a当b>0时，b=当c>0时，4c1.正数的正分数指数幂的意义：amn=（a>0，m，n∈N2.正数的负分数指数幂的意义：a-mn==3.0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂等于4.有理数指数幂的运算性质(1)aras=ar+s(a>0,s,r∈Q)(2)(ar)s=ars(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q)【思考】你能否用我们已经学过的知识证明上述性质应用实践，固化深化例1求值82(例2用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中a>0）a2·3aa3跟踪训练计算下列各式（式中字母均是正数）(3a2-a3a-4例3计算下列各式（式子中字母均为正数）(2a23b12)(-6(m14n探究4：无理指数幂及其运算性质实数指数幂的运算性质(1)aras=ar+s(a>0,s,r∈R)(2)(ar)s=ars(a>0,(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R)例1计算下列各式（式中字母均是正数）(2aπ[342例2设a2+a-例3已知x+x-1=3，求x2+x-2的值【随堂练习】判断正误当n∈N*时，(n-16任意实数都有两个偶次方根，他们互为相反数（）nan5-5A.553B.13