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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设,则关于的方程所表示的曲线是()A.长轴在轴上的椭圆 B.长轴在轴上的椭圆C.实轴在轴上的双曲线 D.实轴在轴上的双曲线2.已知集合.为自然数集,则下列表示不正确的是()A. B. C. D.3.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为、、、、五个等级.某班共有名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中,这两科等级均为的学生有人,这两科中仅有一科等级为的学生,其另外一科等级为,则该班()A.物理化学等级都是的学生至多有人B.物理化学等级都是的学生至少有人C.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人D.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人4.若,则“”是“的展开式中项的系数为90”的()A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知抛物线上一点到焦点的距离为,分别为抛物线与圆上的动点,则的最小值为()A. B. C. D.6.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.17.偶函数关于点对称,当时,,求()A. B. C. D.8.如图,正四面体的体积为,底面积为,是高的中点,过的平面与棱、、分别交于、、,设三棱锥的体积为,截面三角形的面积为,则()A., B.,C., D.,9.下列图形中,不是三棱柱展开图的是()A. B. C. D.10.已知,,,则()A. B. C. D.11.已知集合,,则()A. B. C. D.12.空气质量指数是反映空气状况的指数,指数值趋小,表明空气质量越好,下图是某市10月1日-20日指数变化趋势,下列叙述错误的是()A.这20天中指数值的中位数略高于100B.这20天中的中度污染及以上(指数)的天数占C.该市10月的前半个月的空气质量越来越好D.总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线在点处的切线方程为__.14.某高中共有1800人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列,现用分层抽样的方法从中抽取60人,那么高二年级被抽取的人数为________.15.已知数列为等差数列,数列为等比数列,满足,其中,,则的值为_______________.16.平行四边形中,,为边上一点(不与重合),将平行四边形沿折起,使五点均在一个球面上,当四棱锥体积最大时,球的表面积为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆的焦点在轴上,且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.(1)求椭圆的方程;(2)设,过椭圆右焦点的直线交于、两点,若对满足条件的任意直线,不等式恒成立,求的最小值.18.(12分)已知函数.(1)若在上单调递增,求实数的取值范围;(2)若,对,恒有成立,求实数的最小值.19.(12分)设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式恒成立,求实数a的取值范围.20.(12分)数列的前项和为,且.数列满足,其前项和为.(1)求数列与的通项公式;(2)设,求数列的前项和.21.(12分)某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试,从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数(以十位数字为茎,个位数字为叶):若分数不低于95分,则称该员工的成绩为“优秀”.(1)从这20人中任取3人,求恰有1人成绩“优秀”的概率;(2)根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图,并根据频率分布直方图解决下面的问题.组别分组频数频率1234①估计所有员工的平均分数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);②若从所有员工中任选3人,记表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数,求的分布列和数学期望.22.(10分)中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体,给人于美的享受.如图(1)为一花窗;图(2)所示是一扇窗中的一格,呈长方形,长30cm,宽26cm,其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成,由两个菱形和六根支条构成,整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称.设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm,窗芯所需条形木料的长度之和为L.(1)试用x,y表示L;(2)如果要求六根支条的长度均不小于2cm,每个菱形的面积为130cm2,那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计榫卯及其它损耗)?

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】

根据条件,方程.即,结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型.【详解】解:∵k>1,∴1+k>0,k2-1>0,

方程,即,表示实轴在y轴上的双曲线,

故选C.【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征,依据条件把已知的曲线方程化为是关键.2.D【解析】

集合.为自然数集,由此能求出结果.【详解】解:集合.为自然数集,在A中,,正确;在B中,,正确;在C中,,正确;在D中,不是的子集,故D错误.故选:D.【点睛】本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.D【解析】

根据题意分别计算出物理等级为,化学等级为的学生人数以及物理等级为,化学等级为的学生人数,结合表格中的数据进行分析,可得出合适的选项.【详解】根据题意可知,名学生减去名全和一科为另一科为的学生人(其中物理化学的有人,物理化学的有人),表格变为:物理化学对于A选项,物理化学等级都是的学生至多有人,A选项错误;对于B选项,当物理和,化学都是时,或化学和,物理都是时,物理、化学都是的人数最少,至少为(人),B选项错误;对于C选项,在表格中,除去物理化学都是的学生,剩下的都是一科为且最高等级为的学生,因为都是的学生最少人,所以一科为且最高等级为的学生最多为(人),C选项错误;对于D选项,物理化学都是的最多人,所以两科只有一科等级为且最高等级为的学生最少(人),D选项正确.故选:D.【点睛】本题考查合情推理,考查推理能力,属于中等题.4.B【解析】

求得的二项展开式的通项为,令时,可得项的系数为90,即,求得,即可得出结果.【详解】若则二项展开式的通项为,令,即,则项的系数为,充分性成立;当的展开式中项的系数为90,则有,从而,必要性不成立.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.5.D【解析】

利用抛物线的定义,求得p的值,由利用两点间距离公式求得,根据二次函数的性质,求得,由取得最小值为,求得结果.【详解】由抛物线焦点在轴上,准线方程,则点到焦点的距离为,则,所以抛物线方程:,设,圆,圆心为,半径为1,则,当时,取得最小值,最小值为,故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题,涉及到的知识点有抛物线的定义,点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径,二次函数的最小值,属于中档题目.6.A【解析】

由题意得到关于的等式,结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.7.D【解析】

推导出函数是以为周期的周期函数,由此可得出,代值计算即可.【详解】由于偶函数的图象关于点对称,则,,,则,所以,函数是以为周期的周期函数,由于当时,,则.故选:D.【点睛】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值,推导出函数的周期性是解答的关键,考查推理能力与计算能力,属于中等题.8.A【解析】

设,取与重合时的情况,计算出以及的值,利用排除法可得出正确选项.【详解】如图所示,利用排除法,取与重合时的情况.不妨设,延长到,使得.,,,,则,由余弦定理得,,,又,,当平面平面时,,,排除B、D选项;因为,,此时,,当平面平面时,,,排除C选项.故选:A.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.9.C【解析】

根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知,ABD选项可以围成三棱柱,C选项不是三棱柱展开图.故选:C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断,属于基础题.10.B【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性,将数据和做对比,即可判断.【详解】由于,,故.故选:B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小,属基础题.11.D【解析】

先求出集合B,再与集合A求交集即可.【详解】由已知,,故,所以.故选:D.【点睛】本题考查集合的交集运算,考查学生的基本运算能力,是一道容易题.12.C【解析】

结合题意,根据题目中的天的指数值,判断选项中的命题是否正确.【详解】对于,由图可知天的指数值中有个低于,个高于,其中第个接近,第个高于,所以中位数略高于,故正确.对于,由图可知天的指数值中高于的天数为,即占总天数的,故正确.对于,由图可知该市月的前天的空气质量越来越好,从第天到第天空气质量越来越差,故错误.对于,由图可知该市月上旬大部分指数在以下,中旬大部分指数在以上,所以该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好,故正确.故选:【点睛】本题考查了对折线图数据的分析,读懂题意是解题关键,并能运用所学知识对命题进行判断,本题较为基础.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

对函数求导后,代入切点的横坐标得到切线斜率,然后根据直线方程的点斜式,即可写出切线方程.【详解】因为,所以,从而切线的斜率,所以切线方程为,即.故答案为:【点睛】本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法,属基础题.14.【解析】

由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有人,根据抽样比可求得结果.【详解】设高一、高二、高三人数分别为,则且,解得:,用分层抽样的方法抽取人,那么高二年级被抽取的人数为人.故答案为:.【点睛】本题考查分层抽样问题的求解,涉及到等差数列的相关知识,属于基础题.15.【解析】

根据题意,判断出,根据等比数列的性质可得,再令数列中的,,,根据等差数列的性质,列出等式,求出和的值即可.【详解】解:由,其中,,可得,则,令,,可得.①又令数列中的,,,根据等差数列的性质,可得,所以.②根据①②得出,.所以.故答案为.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质,属于基础题.16.【解析】

依题意可得、、、四点共圆,即可得到,从而得到三角形为正三角形,利用余弦定理可得,且,要使四棱锥体积最大,当且仅当面面时体积取得最大值,利用正弦定理求出的外接圆的半径,再又可证面,则外接球的半径,即可求出球的表面积;【详解】解:依题意可得、、、四点共圆,所以因为,所以,,所以三角形为正三角形,则,,利用余弦定理得即,解得,则所以,当面面时,取得最大,所以的外接圆的半径,又面面,,且面面,面所以面,所以外接球的半径所以故答案为:【点睛】本题考查多面体的外接球的相关计算,正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】

(1)由已知条件列出关于和的方程,并计算出和的值,jike得到椭圆的方程.(2)设出点和点坐标,运用点坐标计算出,分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况,求解出的最小值.【详解】(1)由己知得:,解得,所以,椭圆的方程(2)设,.当直线垂直于轴时,,且此时,,当直线不垂直于轴时,设直线由,得.,.要使恒成立,只需,即最小值为【点睛】本题考查了求解椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系,求解过程中需要分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况,并运用根与系数的关系转化为只含一个变量的表达式进行求解,需要掌握解题方法,并且有一定的计算量.18.(1)(2)【解析】

(1)求得,根据已知条件得到在恒成立,由此得到在恒成立,利用分离常数法求得的取值范围.(2)构造函数设,利用求二阶导数的方法,结合恒成立,求得的取值范围,由此求得的最小值.【详解】(1)因为在上单调递增,所以在恒成立,即在恒成立,当时,上式成立,当,有,需,而,,,,故综上,实数的取值范围是(2)设,,则,令,,在单调递增,也就是在单调递增,所以.当即时,,不符合;当即时,,符合当即时,根据零点存在定理,,使,有时,,在单调递减,时,,在单调递增,成立,故只需即可,有,得,符合综上得,,实数的最小值为【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查化归与转化的数学思想方法,考查分类讨论的数学思想方法,属于难题.19.(1)(2)【解析】

(1)利用分段讨论法去掉绝对值,结合图象,从而求得不等式的解集;(2)求出函数的最小值,把问题化为,从而求得的取值范围.【详解】(1)当时,则所以不等式的解集为.(2)等价于,而,故等价于,所以或,即或,所以实数a的取值范围为.【点睛】本题考查含有绝对值的不等式解法、不等式恒成立问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度一般.20.(1),;(2).【解析】

(1)令可求得的值,令,由得出,两式相减可推导出数列为等比数列,确定该数列的公比,利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式,再利用对数的运算性质可得出数列的通项公式;(2)运用等差数列的求和公式,运用数列的分组求和和裂项相消求和,化简可得.【详解】(1)当时,,所以;当时,,得,即,所以,数列是首项为,公比为的等比数列,.;(2)由(1)知数列是首项为,公差为的等差数列,.,.所以.【点睛】本题考查数列的递推式的运用,注意结合等比数列的定

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