2023新教材高中数学第五章统计与概率数据的直观表示导学案新人教B版必修第二册

5.1.3数据的直观表示

8B网0!厮］修圈(教师独具内容)

课程标准：能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会

合理使用统计图表的重要性.

教学重点：柱形图、折线图、扇形图、茎叶图、频数分布直方图、频率分布直方图、频

数分布折线图、频率分布折线图的绘制及应用.

教学难点：频率分布直方图的绘制.

核心概念掌握

知识｝

知识点一柱形图

(1)柱形图(也称为画条形图)可以形象地画比较各种数据之间的画数量关系.

(2)一般地，柱形图中，一条轴上显示的是画所关注的数据类型,另一条轴上对应的是蚂

数量、画个数或者画比例,柱形图中每一矩形都是理笠宽的.

知识点二折线图

折线图可以形象地表示出数据的画变化情况.

知识点三扇形图

(1)扇形图可以形象地表示出四各部分数据在全部数据中所占的比例情况.

(2)扇形图中，每一个扇形的国圆心角以及画弧长,都与这一部分表示的数据画大小成正

比.

知识点四茎叶图

一般来说，茎叶图中，所有的四茎都竖直排列,而驯1沿水平方向排列.茎叶图也可以

只表示一组数.

知识点五频数分布直方图与频率分布直方图

(1)绘制频数分布直方图与频率分布直方图的步骤

①画找出最值，计算极差;

②―合理分组，确定区间;

③国整理数据;

④画作出有关图示.

注意：频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的高度与频数成正比；频

频率

率分布直方图的纵坐标是赢，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面

积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为1.

(2)频数分布折线图和频率分布折线图的作图方法是:把频数分布直方图与频率分布直方

图中每个矩形上面一边的国中点用线段连接起来,同时，为了方便看图，这两种折线图都画

成与横轴画相交.

注意：这两种折线图与横轴的左右两个交点没有实际意义.

新知卜

1.在制作茎叶图时，重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是叶的部分，同一数

据出现几次就记录几次.

2.几种表示频率分布的方法的优点与不足

优点不足

频率

表示数量较确切分析数据分布的总体趋势不方便

分布表

频率分布

表示数据分布情况非常直观原有的具体数据信息被抹掉了

直方图

频率分布

能反映数据的变化趋势不能显示原有数据的信息

折线图

一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得

数据较多或数据位数较多时，不

茎叶图至IJ;二是茎叶图便于记录和表示，能够展示

方便表示数据

数据的分布情况

施评价自测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)柱形图可以形象地表示出数据的变化情况.()

(2)折线图可以形象地比较各种数据之间的数量关系.()

(3)扇形图中，每个扇形的弧长，与这一部分表示的数据大小无关.()

(4)茎叶图不可以表示一组数据.()

(5)频数分布直方图的纵轴表示频数.()

(6)频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频率.()

答案⑴X(2)X(3)X(4)X(5)V(6)V

2.做一做

(1)反映某种股票的涨跌情况，应选择()

A.柱形图B.折线图

C.扇形图D.三种图均可

⑵果园里有荔枝树150棵，龙眼树50棵，芒果树200棵，若要画出它们的扇形图，则

芒果树所占扇形圆心角的度数为（）

A.37.5°B.12.5°

C.180°D.120°

（3）下面茎叶图表示某城市一台自动售货机在18天内的销售额情况（单位：元），图中数

字7的意义是表示这台自动售货机在该天的销售额为元.（）

09

1028

202837

312448

4238

50

A.7B.37

C.27D.2337

（4）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据

（单位:kPa）的分组区间为[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16）,[16,17],将其按从左到

右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直

方图.己知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人

数为.

答案(1)B(2)C(3)C(4)12

核心素养形成

题型一柱形图

例1某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一

号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进

行了随机抽样调查，从而得到一组数据.下图是根据这组数据绘制的柱形图.请结合柱形图

回答下列问题:

(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？

(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？

［解］⑴由题中柱形图知4+8+10+18+10=50(名)，所以该校对50名学生进行了抽

样调查.

1O

(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，占被调查人数的前义100%=36%.

点睛

柱形图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成高度不同的小矩形，然

后把这些小矩形按照一定的顺序排列起来.其特点是便于看出和比较各种数量的多少，即柱形

图能清楚地表示出每个项目的具体数目.

［跟踪训练1］2020年第一季度，钢铁及新材料、轿车等机械制造、烟草及食品、光电

子信息、石化、环保等十大行业的快速发展，带动了某市经济的持续快速增长.其中，规模

居前的六个行业第一季度的生产规模占这十大行业同期生产总规模的百分比依次为27%,

18%、10%、16%、9%、6.25%,如图所示.已知环保业第一季度的生产规模约27亿元，则此次

统计中第一季度十大行业中规模超过40亿元的行业有()

、钢铁及新材料业

［百分比/%二：轿乍等机械制造业

27三：烟草及食品业

四：光电子信息业

18五：石化业

16六：环保业

一二三四五六行业种类

A.2个B.3个

C.4个D.5个

答案C

解析由环保业第一季度的生产规模及占这十大行业同期生产总规模的百分比可知，第

一季度十大行业生产总规模为研=432.超过40亿的有一、二、三、四共4个行业.故选

O.Zo%

c.

题型二折线图

例2下表给出了2019年46两地的降水量：（单位：mm）

1月2月3月4月5月6月

A9.24.95.418.638.0106.3

B41.453.3178.8273.5384.9432.4

7月8月9月10月11月12月

A54.4128.962.973.626.210.6

B67.5228.5201.4147.328.019.1

根据统计表绘制折线图.

［解］建立直角坐标系，用横坐标上的点表示月份，用纵坐标上的点表示降水量，描出

每个月份对应的点，然后用直线段顺次连接相邻的点，得到折线统计图如图表示.

点睛

在绘制折线图时，可以先整理和观察数据统计表，然后建立直角坐标系，描出与数据相

对应的点，再顺次连接相邻的点，就得到折线图.特别注意，画折线图时，横轴、纵轴表示的

实际含义要标明确.

［跟踪训练2］如图是某市2020年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线图，

在这7天中，日温差最大的一天是（）

月

日

月

4142日

AC.B.

日

日

月

43D.4月5

答案D

解析由折线图可以看出，该市日温差最大的一天是4月5日.

题型三扇形图

例3某公司2020年在各个项目中总投资500万元，如图是几类项目的投资占比情况,

O

已知在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占五，那么不少于3万元的项目投

资共有（）

5r元以下的\

项目投资（占46%》

__

以上的项/T：兀至

型投资71万兀的

\/项H投资

\/（占33%沙

A.56万元B.65万元

C.91万元D.147万元

［解析］由题图可知,1万元以上的项目投资占（1-0.46—0.33）X100%=。.21X100%=

21%,故1万元以上的项目投资为500X0.21=105（万元）.因为在1万元以上的项目投资中,

Q1Q1Q

少于3万元的项目投资占力，则不少于3万元的项目投资占万，故105义力=65（万元），故

选B.

［答案］B

点睛

扇形图是用整个圆面积表示总数100%,用圆内的扇形面积表示各部分所占总数的百

分数.

［跟踪训练3］如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形图的部分结果，根据扇形图的情况

可以知道丙、丁两组人数和为（）

A.250B.150

C.400D.300

答案A

120

解析甲组人数是120,占30%,则总人数为=400；乙组人数是400X7.5%=30,则

30%

丙、丁两组人数和为400—120—30=250.

题型四茎叶图

例4某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下：

甲的得分:95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107；

乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.

画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.

［解］甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示.从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得

分情况是大致对称的，中位数是98；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，但

分数分布相对于乙来说，趋向于低分阶段.因此乙同学总体得分情况比甲同学好.

甲||乙

~5~6~

65179

9818368

5493889

71013

0114

点睛

1画茎叶图时，用中间的数表示数据的十位和百位数，两边的数分别表示两组数据的

个位数.要先确定中间的数取数据的哪几位，填写数据时边读边填.比较数据时从数据分布的

对称性、中位数、稳定性等几方面来比较.

2绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，一般地说数据是两位数时，十位数字为“茎”，

个位数字为“叶”；如果是小数的，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解

题时要根据数据的特点合理选择茎和叶.

［跟踪训练4］为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取

20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均

增加的睡眠时间（单位：h）.试验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6,1.2,2.7,1.5,2.8,1.8,2.2,2.3,3.2,3.5,

2.5,2.6,1.2,2.7,1.5,2.9,3.0,3.1,2.3,2.4；

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2,1.7,1.9,0.8,0.9,2.4,1.2,2.6,1.3,1.4,

1.6,0.5,1.8,0,6,2.1,1.1,2.5,1.2,2.7,0.5.

根据两组数据完成如图所示的茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

A药B药

0.

1.

2.

3.

解由观测结果可绘制茎叶图如图所示:

\:_________________B药

55689-

855221.122346789

98776543322.I4567

52103.2

7

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有布的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的

7

试验结果有布的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好.

题型五频数分布直方图与频率分布直方图

例5某校为了解高一年级学生的身高情况，随机抽取了100名高一年级学生进行测量,

测得的身高数据(单位：cm)如下：

168165171167170165170152175174

165170168169171166164155164158

170155166158155160160164156162

160170168164174171165179163172

180174173159163172167160164169

151168158168176155165165169162

177158175165169151163166163167

178165158170169159155163153155

167163164158168167161162167168

161165174156167166162161164166

试列出这组数据的频率分布表，作出这组数据的频数分布直方图与频率分布直方图.

[解]①求极差：从数据表中可看出最大值是180,最小值是151,故极差为180—151

=29.

②确定组距与组数.

极差292

取3为组距，则麻=丁=%，故可将数据分成1。组.

③第一组起点定为150.5,组距为3,这样分出10个组.

[150.5,153.5),[153.5,156.5),[156.5,159.5),[159.5,162.5),[162.5,165.5),

[165.5,168.5),[168.5,171.5),[171.5,174.5),[174.5,177.5),[177.5,180.5].

④列频率分布表.

分组频数频率

[150.5,153.5)40.04

[153.5,156.5)80.08

[156.5,159.5)80.08

[159.5,162.5)110.11

[162.5,165.5)220.22

[165.5,168.5)190.19

[168.5,171.5)140.14

[171.5,174.5)70.07

[174.5,177.5)40.04

[177.5,180.5]30.03

合计1001.0

⑤作频数分布直方图与频率分布直方图，如下图所示:

点睛

(1)在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：

①若极篇差为整数，则极箍差=组数；

②若极鬣差不为整数，则极黯差的整数部分+1=组数-

组正日组犯

(2)组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，以使数据的分布

规律能较清楚地呈现出来；组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若数据个

数不超过100,按照数据的多少常分为5〜12组.一般数据个数越多，所分组数越多.

［跟踪训练5］美国历届总统中，就任时年龄最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时

年仅42岁；就任时年龄最大的是特朗普，他于2016年就任，当时70岁.下面按时间顺序(从

1789年的华盛顿到2016年的特朗普，共45任)给出了历届美国总统就任时的年龄：

57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,

52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,

54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,47,70.

(1)将数据分为7组，列出频率分布表，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图；

(2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况.

解(1)以4为组距，列频率分布表如下：

分组频数频率

[42,46)20.0444

[46,50)70.1555

[50,54)80.1778

[54,58)160.3556

[58,62)50.1111

[62,66)40.0889

[66,70]30.0667

合计451.0000

作出相应的频率分布直方图和频率分布折线图，如图所示:

(2)从频率分布表中可以看出，将近60%的美国总统就任时的年龄在50岁至60岁之间,

45岁及45岁以下和65岁以上就任的总统所占的比例相对较小.

随堂水平

1.如图是P,Q两国2020年财政经费支出情况的扇形图,根据扇形图，下面对两国全年

教育经费支出判断正确的是()

1A

、其他,\其他

P国Q国3

A.P国比Q国多B.Q国比P国多

C.P国与Q国一样多D.无法确定哪国多

答案D

解析从扇形图中只能看出教育经费所占财政费支出Q国比P国多，但不能比较出教育

经费支出数额的多少.

2.如图所示是某校高一年级学生到校方式的柱形图，根据图形可得出骑自行车人数占高

一年级学生总人数的（）

A.20%

C.50%D.60%

答案B

解析某校高一年级学生总数为60+90+150=300,骑自行车人数为90.骑自行车人数

90

占高一年级学生总数的百分比为诉X100%=30%.

OVV

3.（多选）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和

平均最低气温的雷达图.图中/点表示十月的平均最高气温约为15℃,8点表示四月的平均

最低气温约为5℃.下面叙述正确的是（）

平均最低气温

而港高气温

A.各月的平均最低气温都在0°C以上

B.七月的平均温差比一月的平均温差大

C.三月和十一月的平均最高气温基本相同

D.平均最高气温高于20℃的月份有5个

答案ABC

解析由图形可得各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；七月的平均温差约为

10℃,而一月的平均温差约为5°C,B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10℃左右,

基本相同，C正确；平均最高气温高于20℃的月份有7月和8月，D错误.故选ABC.

4.下图是12名同学某次测验的分数的茎叶图,由此可知，这些分数中最低分与最高分

之和为________

53

628

75577

83345

94

答案147

解析最低分为53分，最高分为94分,它们之和为147.

5.为了了解一大片经济林的生长情况，人们随机测量了其中100株树木的底部周长(单

位：cm),得到如下数据:

135981021109912111096100103

1259711711311092102109104112

1051248713197102123104104128

10912311110310592114108104102

12912697100115111106117104109

1118911012180120121104108118

12999909912112310711191100

991011169710210810195107101

1021081179911810611997126108

12311998121101113102103104108

(1)列出频率分布表；

(2)绘制频率分布直方图、频率分布折线图.

解(1)从数据中可以看出，这组数据的最大值为135,最小值为80,故极差为55,可

将其分为11组，组距为5.列频率分布表如下：

分组频数频率

[80,85)10.01

[85,90)20.02

[90,95)40.04

[95,100)140.14

[100,105)240.24

[105,110)150.15

[110,115)120.12

[115,120)90.09

[120,125)110.11

[125,130)60.06

[130,135]20.02

合计1001.00

（2）画频率分布直方图、频率分布折线图，如图所示:

课后课时精练

A级四基］巩固训练

一、选择题

1.下面哪种统计图没有数据信息的损失，所有的原始数据都可以从该图中得到（）

A.条形统计图B.茎叶图

C.扇形统计图D.折线统计图

答案B

解析所有的统计图中，仅有茎叶图完好无损地保存着所有的数据信息.

2.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天课外

阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每

人的课外阅读时间为（）

A.0.6小时B.0.9小时

C.1.0小时D.1.5小时

答案B

解析由题意可知这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（5X0+20X0.5

+10X1.0+10X1.5+5X2.0）=0.9（小时）.

3.如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知（）

8754336

9444

I5|2

A,甲运动员的成绩好于乙运动员

B.乙运动员的成绩好于甲运动员

C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异

D.甲运动员的最低得分为。分

答案A

解析由茎叶图可以看出甲的成绩都集中在30〜50分，且高分较多.而乙的成绩只有一

个高分52分，其他成绩比较低，故甲运动员的成绩好于乙运动员的成绩.

4.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按

如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14

秒且小于15秒，…，第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒.上图是按上述分组方法

得到的频率分布直方图.设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x,成绩大于

等于15秒且小于17秒的学生人数为m则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为（）

频率

A.0.9,35B.0.9,45

C.0.1,35D.0.1,45

答案A

解析成绩落在小于17秒的频率为0.34+0.36+0.18+0.02=0.90,所以x=0.9；成

绩落在大于等于15秒且小于17秒的频率为0.34+0.36=0.70,所以对应的人数为50X0.70

=35.

5.（多选）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更

好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构

成比例，得到如图所示的扇形图：

第：产第•:产

业收入业收入

Q其他收入

种植种植6其他

’收入

收入收入

养殖收入30%

笄殖收入

建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例

则下面结论中正确的是（）

A.新农村建设后,种植收入减少

B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

答案BCD

解析设新农村建设前，经济收入为a,则新农村建设后经济收入为2输则由扇形图可

得新农村建设前种植收入为0.6a,其他收入为0.04&养殖收入为0.3a新农村建设后种植

收入为0.742其他收入为0.1热养殖收入为0.6a,养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a,

所以新农村建设后，种植收入减少是错误的.故选BCD.

二、填空题

6.甲、乙两个城市2019年4月中旬，每天的最高气温统计图如图所示，这9天里，气

温比较稳定的城市是

o^il~12~13_14_15_16~~17~is""1'9」期/日

答案中

解析从折线统计图中可以很清楚地看到乙城市的气温变化较大，而甲城市的气温相对

来说较稳定，变化基本不大.

7.从甲、乙两个班中各随机选出15名同学进行随堂测验，成绩的茎叶图如图所示，则

甲、乙两班的最高成绩分别是一，，从图中看，.班的平均成绩较高.

甲乙

64

857

974416259

876421725789

4814479

692

答案9692乙

解析由茎叶图可知，甲班的最高分是96,乙班的最高分是92.甲班的成绩集中在(60,80)

内，乙班的成绩集中在(70,90)内，故乙班的平均成绩较高.

8.某电子商务公司对10000名网络购物者在2019年度的消费情况进行了统计，发现消

费金额(单位：万元)都在区间。3,0.9］内，其频率分布直方图如图所示.

(1)直方图中的a=；

(2)在这些购物者中，消费金额在区间［0.5,0.9］内的购物者的人数为

答案(1)3(2)6000

解析(D由频率分布直方图及频率和等于1可得，0.2X0.1+0.8X0.1+1.5X0.1+

2.0X0.1+2.5X0.1+aXO.1=1,解得a=3.

(2)因为消费金额在区间［0.5,0.9］内的频率为0.2X0.1+0.8X0.1+2.0X0.1+

3X0.1=0.6,所以消费金额在区间［0.5,0.9］内的购物者的人数为0.6X10000=6000.

三、解答题

9.某中学高二(1)班甲、乙两名同学自上高中以来每次数学考试成绩情况如下(单位:分):

甲的得分:81,75,91,86,89,71,65,88,94,110,107；

乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.

画出甲、乙两人数学成绩的茎叶图，请根据茎叶图对两个人的成绩情况进行比较.

解甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：

从这个茎叶图可以看出，乙同学的得分集中在98分附近，分数数据分布是大致对称的;

甲同学的得分集中在86分附近，分数数据分布也是大致对称的，但较分散.所以乙同学发挥

比较稳定，得分情况好于甲.

10.从高三参加数学竞赛的学生中抽取50名学生的成绩，成绩的分组及各组的频数如下

(单位:分)：

[40,50),2；[50,60),3；[60,70),10；[70,80),15；[80,90),12；[90,100],8.

(1)列出这50名学生成绩的频率分布表；

(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图.

解(1)频率分布表如下：

成绩分组频数频率