新教材2024年秋高中数学章末综合测评4指数函数与对数函数新人教A版必修第一册

章末综合测评(四)指数函数与对数函数(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a<12，则化简4A．2a-C．1-22．函数y＝x-1·ln(2－A．(1，2) B．[1，2)C．(1，2] D．[1，2]3．函数f(x)＝x1A．0 B．1C．2 D．34．(2024·河南信阳高一期末)若4m＝3，则log312＝()A．m+1mB．2m+1mC．5．函数y＝log2(2x＋1)的值域是()A．[1，＋∞) B．(0，1)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)6．(2024·四川泸州高一期末)在α型病毒病情初始阶段，可以用指数函数模型I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的改变规律．指数增长率r与R0、T近似满意R0＝1＋rT，其中R0为病毒基本再生数，T为两代间传染所需的平均时间，有学者基于已有数据估计出R0＝3.22，T＝10.据此，在α型病毒病情初始阶段，累计感染病例数增加至I(0)的4倍，至少须要(参考数据：ln2≈0.69)()A．6天B．7天C．8天D．9天7．设a，b，c均为正数，且2a＝log12a，12b＝log12b12A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c8．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga|x＋k|的大致图象是()ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．(2024·河南南阳高一期中)已知函数f(x)＝ax+1＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(a－3，3)，则()A．a＝3B．f(1)＝6C．f(x)为R上的增函数D．f(x)>10的解集为(2，＋∞)10．(2024·江苏淮安高一期中)已知正实数a，b满意ba＝4，且a＋log2b＝3，则a＋b的值可以为()A．2B．3C．4D．511．若f(x)＝lg(|x－2|＋1)，则下列命题正确的是()A．f(x＋2)是偶函数B．f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数C．f(x)没有最大值D．f(x)没有最小值12．已知正实数x，y满意log2x＋log12y12x－1A．1x<1y B．xC．ln(y－x＋1)>0 D．2x－y<1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若f(x)＝a·2x+2a14．已知函数f(x)＝ax-1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，试写出一个满意下列条件的对数型函数g(x)的解析式________．①图象恒过点A；②是偶函数；③在(0，＋∞)上单调递减．15．(2024·江苏南京高一期末)闻名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，假如物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满意：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若当空气温度为30℃时，某物体的温度从90℃下降到60℃用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为________℃.16．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8，m)和(9，3)．(1)实数m的值为________；(2)若函数g(x)＝af(x)(a>0，a≠1)在区间[16，36]上的最大值等于最小值的两倍，则实数a的值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2024·湖北襄阳五中期中)(1)求(2×33)6＋912×823(2)设2x＝3y＝72，求3x18．(本小题满分12分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2，9)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．19．(本小题满分12分)已知指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)过点(m，n)；在①2m-2＋9-3n＝0，②函数y＝x2-2x＋4的顶点坐标为(m，(1)求f(x)的解析式，推断并证明g(x)＝f(x)＋1f(2)解不等式：loga(1＋x)＜loga(2－x)．20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的零点；(3)设g(x)＝ax－bx，求g(x)在[0，4]上的值域．21．(本小题满分12分)(2024·山东德州市第一中学期末)某医药公司研发的一种新药，假如成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量y(单位：微克)与时间t(单位：时)之间的关系满意如图所示的曲线，当t∈[0，1.5)时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[1.5，6]时，曲线是函数y＝loga(t＋2.5)＋5(a＞0，a≠1)图象的一部分，依据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效．(1)试求服药后6小时内每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式；(2)问服药多久后起先有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？(精确到0.1)(参考数据2≈1.414)22．(本小题满分12分)若在定义域内存在实数x0，使f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，则称函数有“漂移点”x0.(1)请推断函数f(x)＝2x(2)求证：函数f(x)＝x2＋3x在(0，1)上存在漂移点；(3)若函数f(x)＝lgax2在(0，＋∞)上有漂移点，求实数章末综合测评(四)1．C2．B3．B4．A5．D6．B7．A8．B9．BCD[由题意可得aa-2＋2＝3恒成立，故a＝2，A错误；依据题意，得a＝2，∴f(x)＝2x+1＋2，∴f(1)＝22＋2＝6，故B正确；∵f(x)＝2x+1＋2，∴f(x)为R上的增函数，C正确；f(x)＝2x+1＋2>10，解得x>2，D正确．故选BCD．]10．CD[因为ba＝4，所以logb4＝a，故a＋log2b＝logb4＋log2b＝2logb2＋log2b＝3，设log2b＝x，则logb2＝1故2x＋x＝3，解得当x＝1时，log2b＝1，故b＝2，a＝log24＝2，故a＋b＝4；当x＝2时，log2b＝2，故b＝4，a＝log44＝1，故a＋b＝5．故选CD．]11．ABC[f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，故A正确．画出函数的图象，如图所示，所以函数在(－∞，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，且存在最小值，没有最大值，故ABC正确．故选ABC．]12．BC[∵正实数x，y满意log2x＋log12y∴log2x－12x<log2y－易知f(x)＝log2x－12x在(0，＋∞)上为增函数，故x∴1x>1y，x3<∴y－x>0，y－x＋1>1，ln(y－x＋1)>0，故C正确；2x－y<20＝1，故D不肯定正确．故选BC．]13．13[因为f(x)＝a·2x+2a-12x+1为R上的奇函数，所以f14．g(x)＝log12x＋2(答案不唯一)[函数f(x)＝ax-1＋1中，令x－1＝0，解得x＝1，f(1)＝a0＋1＝2，所以f(x)的图象恒过点A(1，2)．取g(x)＝logg(x)＝g(－x)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则g(x)是偶函数，满意条件②；易知g(x)在(0，＋∞)内单调递减，满意条件③．]15.37.5[由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝60，所以，60＝30＋(90－30)e-14k，可得e-14k＝1再经过28分钟后，该物体的温度为θ＝30＋(90－30)e-42k＝30＋(90－30)(e-14k)3＝37.5．]16．(1)22(2)22或2[(1)设f(x)＝xα，依题意可得9α＝3∴α＝12，f(x)＝x∴m＝f(8)＝812＝2(2)g(x)＝ax，∵x∈[16，36]，∴x∈[4，6]，当0<a<1时，g(x)max＝a4，g(x)min＝a6，由题意得a4＝2a6，解得a＝22当a>1时，g(x)max＝a6，g(x)min＝a4，由题意得a6＝2a4，解得a＝2．综上，所求实数a的值为22或2．17．解：(1)(2×33)6＋912×82＝23×32＋3×4＋lg5000.5＝72＋12＋3＝87(2)依题意有x＝log272，y＝log372，1x＝log722，1y＝log72所以3x＋2y＝3log722＋2log723＝log72(8×9)＝18．解：(1)将点(－2，9)代入f(x)＝ax(a>0，a≠1)中得a-2＝9，解得a＝1∴f(x)＝13(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0，∴f(2m－1)<f(m＋3)．∵f(x)＝1∴2m－1>m＋3，解得m>4，∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．19．解：(1)由①可知，2m-2＋9-3n＝0，即2m-2＝0，9-3n＝0，解得m＝1，n＝3，由②可知函数y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3的顶点坐标为(1，综上，三个条件中任选一个，均有m＝1，n＝3，即f(x)＝即a＝3，f(x)＝3x．g(x)为偶函数．证明如下：g(x)＝f(x)＋1fx＝3x＋3－x，x∈g(－x)＝f(－x)＋1f-x＝3x＋3－x＝g(∴g(x)为偶函数．(2)loga(1＋x)＜loga(2－x)，即log3(1＋x)＜log3(2－x)，可化为2－x＞1＋x＞0，∴－1＜x＜12即不等式loga(1＋x)＜loga(2－x)的解集为x-20．解：(1)由已知得f1＝解得a＝4，b＝2．(2)由(1)知f(x)＝log2(4x－2x)，令f(x)＝0得4x－2x＝1，即(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝1±又2x>0，∴2x＝1+52，解得x＝log2(3)由(1)知g(x)＝4x－2x，令2x＝t，则g(t)＝t2－t＝t-122－14，t所以g(x)∈[0，240]．21．解：(1)当0≤t<1.5时，由图象可设y＝k(t－1)2＋4，将点(0，0)的坐标代入函数表达式，解得k＝－4，即当0≤t<1.5时，y＝－4(t－1)2＋4，当1.5≤t≤6时，将点(1.5，3)的坐标代入函数y＝loga(t＋2.5)＋5中，解得a＝12故y＝-(2)令－4(t－1)2＋4≥2，解得1－22≤t≤1＋22，即又0≤t<1.5，∴0.3≤t<1.5，故服药0.3小时之后起先有治疗效果，令log解得－2.5<t≤5.5，又1.5≤t≤6，故1.5≤t≤5.5，综上，0.3≤t≤5.5，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时．22．解：(1)假设函数f(x)＝2x有“漂移点”x0，则2x0+1＝2x0＋2，(2)证明：令h(