2024-2025学年高中数学第2章推理与证明章末综合检测二新人教B版选修1-2

PAGEPAGE1章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特别的推理；④类比推理是由特别到一般的推理；⑤类比推理是由特别到特别的推理．A．①②③ B．②③④C．②④⑤ D．①③⑤解析：选D．由推理的定义可知，归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特别到特别的推理；演绎推理是由一般到特别的推理．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为()A．a，b都能被3整除 B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除 D．a不能被3整除解析：选B．反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整除．3．把下列在平面内成立的结论类比到空间，结论不成立的是()A．假如一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交B．假如一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直C．假如两条直线与第三条直线都不相交，则这两条直线不相交D．假如两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行解析：选D．类比A的结论为：假如一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．类比B的结论为：假如一个平面与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立．类比C的结论为：假如两个平面与第三个平面都不相交，则这两个平面不相交，成立．类比D的结论为：假如两个平面同时与第三个平面垂直，则这两个平面平行，不成立．4．若a>0，b>0，则有()A．eq\f(b2,a)>2b－a B．eq\f(b2,a)<2b－aC．eq\f(b2,a)≥2b－a D．eq\f(b2,a)≤2b－a解析：选C．因为eq\f(b2,a)－(2b－a)＝eq\f(b2－2ab＋a2,a)＝eq\f((b－a)2,a)≥0，所以eq\f(b2,a)≥2b－a.5．证明命题：“f(x)＝ex＋eq\f(1,ex)在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f(x)＝ex＋eq\f(1,ex)，所以f′(x)＝ex－eq\f(1,ex).因为x>0，所以ex>1，0<eq\f(1,ex)<1.所以ex－eq\f(1,ex)>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，运用的证明方法是()A．综合法 B．分析法C．反证法 D．以上都不是解析：选A．这是从已知条件动身利用已知的定理证得结论的，是综合法，故选A．6．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1，1)内可导且单调递增，所以在(－1，1)内，f′(x)＝3x2>0恒成立．以上推理中()A．大前提错误 B．小前提错误C．结论正确 D．推理形式错误解析：选A．f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)≥0恒成立，故大前提错误，故选A．7．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”索的因应是()A．a－b>0 B．a－c<0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：选C．要证明eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a，只需证b2－ac<3a2，只需证(a＋c)2－ac<3a2，只需证－2a2＋ac＋c2<0，即证2a2－ac－c2>0，即证(a－c)·(2a＋c)>0，即证(a－c)(a－b)>0.8．若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，则△ABC是()A．等边三角形B．有一个内角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一个内角是30°的等腰三角形解析：选C．因为eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，由正弦定理得，eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinB,b)＝eq\f(sinC,c)，所以eq\f(sinB,b)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)＝eq\f(sinC,c).所以sinB＝cosB，sinC＝cosC，所以∠B＝∠C＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形．9．视察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，则第100项为()A．10 B．14C．13 D．100解析：选B．设n∈N＋，则数字n共有n个，所以eq\f(n(n＋1),2)≤100，即n(n＋1)≤200.又因为n∈N＋，所以n＝13，到第13个13时共有eq\f(13×14,2)＝91项，从第92项起先为14，故第100项为14.10．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值()A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0解析：选D．因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝0，又因为a2＋b2＋c2≥0，所以2(ab＋bc＋ac)≤0.故选D．11．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为eq\f(1,n)(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如eq\f(1,1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)，eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)，eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)，…，则第7行第4个数(从左往右数)为()eq\f(1,1)eq\f(1,2)eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)eq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,5)eq\f(1,20)eq\f(1,30)eq\f(1,20)eq\f(1,5)…A．eq\f(1,140) B．eq\f(1,105)C．eq\f(1,60) D．eq\f(1,42)解析：选A．由“第n行有n个数且两端的数均为eq\f(1,n)”可知，第7行第1个数为eq\f(1,7)，由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为eq\f(1,6)－eq\f(1,7)＝eq\f(1,42).同理易知，第7行第3个数为eq\f(1,30)－eq\f(1,42)＝eq\f(1,105)，第7行第4个数为eq\f(1,60)－eq\f(1,105)＝eq\f(1,140).故选A．12．已知点A(x1，xeq\o\al(2,1))，B(x2，xeq\o\al(2,2))是函数y＝x2图象上随意不同的两点，依据图象知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论eq\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),2)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))eq\s\up12(2)成立，运用类比方法可知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))图象上不同的两点，则类似地有结论()A．eq\f(sinx1＋sinx2,2)>sineq\f(x1＋x2,2)B．eq\f(sinx1＋sinx2,2)<sineq\f(x1＋x2,2)C．eq\f(sinx1＋sinx2,2)≥sineq\f(x1＋x2,2)D．eq\f(sinx1＋sinx2,2)≤sineq\f(x1＋x2,2)解析：选B．画出y＝x2的图象，由已知得AB的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),2)))恒在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))\s\up12(2)))的上方，画出y＝sinx，x∈(0，π)的图象可得A，B的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(sinx1＋sinx2,2)))恒在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，sin\f(x1＋x2,2)))的下方，故B正确．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．设正实数a、b、c满意a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．解析：假设a、b、c都小于eq\f(1,3)，则a＋b＋c<1，“假设错误，故a、b、c中至少有一个数不小于eq\f(1,3)”．答案：eq\f(1,3)14．已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m，n满意f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．解析：因为当0<a<1时，函数f(x)＝ax为减函数，a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0，1)，所以函数f(x)＝(eq\f(\r(5)－1,2))x为减函数．故由f(m)>f(n)得m<n.答案：m<n15．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：为便利说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A，B，C.从丙动身，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必定是C，最终由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A.答案：1和316.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2eq\r(2)，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，以此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________．解析：依据题意易得a1＝2，a2＝eq\r(2)，a3＝1，所以{an}构成以a1＝2，q＝eq\f(\r(2),2)的等比数列，所以a7＝a1q6＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(6)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)视察图，可以发觉：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝421＋3＋5＋7＋9＝25＝52，…由上述详细事实能得出怎样的结论？解：将上述事实分别叙述如下：对于正整数，有前2个奇数的和等于2的平方；前3个奇数的和等于3的平方；前4个奇数的和等于4的平方；前5个奇数的和等于5的平方；…由此猜想：前n(n∈N＋)个奇数的和等于n的平方，即1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.18．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且满意an＝2－Sn(n∈N＋)．(1)求a1，a2，a3，a4的值并猜想数列{an}的通项公式；(2)依据(1)猜想出的通项公式，用三段论证明数列{an}是等比数列．解：(1)由an＝2－Sn，得a1＝1，a2＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(1,4)，a4＝eq\f(1,8).猜想an＝(eq\f(1,2))n－1(n∈N＋)．(2)对于数列{an}，若eq\f(an＋1,an)＝p，p是非零常数，则{an}是等比数列． 大前提因为an＝(eq\f(1,2))n－1，n∈N＋，且eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2)， 小前提所以通项公式为an＝(eq\f(1,2))n－1的数列{an}是等比数列． 结论19．(本小题满分12分)已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)；sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2)，通过视察上述两等式的规律，请你写出对随意角度α都成立的一般性的命题，并赐予证明．解：一般形式为sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝eq\f(3,2).证明：左边＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1－cos(2α＋120°),2)＋eq\f(1－cos(2α＋240°),2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(cos2α－\f(1,2)cos2α－\f(\r(3),2)sin2α－\f(1,2)cos2α＋))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2α))＝eq\f(3,2)＝右边．eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(将一般形式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝\f(3,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2(α－240°)＋sin2(α－120°)＋sin2α＝\f(3,2)等均正确))20.(本小题满分12分)已知在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．(1)证明：PF⊥FD.(2)推断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD.解：(1)证明：连接AF，则AF＝eq\r(2)，DF＝eq\r(2)，又AD＝2，所以DF2＋AF2＝AD2，所以DF⊥AF，又PA⊥平面ABCD，所以DF⊥PA，又PA∩AF＝A，所以eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(DF⊥平面PAF,PF⊂平面PAF))⇒DF⊥PF.(2)过点E作EH∥FD，交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH＝eq\f(1,4)AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝eq\f(1,4)AP.所以平面EHG∥平面PFD，所以EG∥平面PFD.从而线段AP上满意AG＝eq\f(1,4)AP的点G即为所求．21．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中随意两边长均不相等，若eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列．(1)比较eq\r(\f(b,a))与eq\r(\f(c,b))的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B不行能是钝角．解：(1)eq\r(\f(b,a))<eq\r(\f(c,b)).证明如下：要证eq\r(\f(b,a))<eq\r(\f(c,b))，只需证eq\f(b,a)<eq\f(c,b).因为a，b，c>0，所以只需证b2<ac.因为eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，所以eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,ac))，所以b2≤ac.又a，b，c均不相等，所以b2<ac.故所得大小关系正确．(2)证明：法一：在△ABC中，由余弦定理得，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)≥eq\f(2ac－b2,2ac)>eq\f(ac－b2,2ac)>0，所以角B不行能是