高考数学二轮复习 抛物线学案（含解析）-人教版高三全册数学学案

抛物线

考向一：抛物线定义

抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，注意在解题中利用两者之间相互转化。

1、(2016•浙江高考)若抛物线y=4x上的点〃到焦点尸的距离为10,则〃到y轴的距离

是•

解析设〃(刘，％),由抛物线的方程知焦点尸(1,0).根据抛物线的定义得|版|=刘+1

=10,Ao—9,即点〃到y轴的距禺为9.

条件探究：将条件变为“在抛物线上找一点〃，使I盟|+1步1最小，其中水3,2)”.求

点〃的坐标及此时的最小值.

解如图，点/在抛物线/=4x的内部，由抛物线的定义可知，|扬1+|姐=|财+

\MH\,

其中I期为点〃到抛物线的准线的距离.

过/作抛物线准线的垂线交抛物线于助，垂足为8,

贝-掰|+|诙|=|例|+|附》|力2=4,

当且仅当点〃在掰的位置时等号成立.

此时点〃的坐标为(1,2).

2、［2015•全国I,10］已知抛物线G/=8x的焦点为凡准线为户是，上一点，Q

是直线所与。的一个交点.若94殉则|函=()

75

A.—B.—C.3D.2

解析过点。作画，/交，于点0',因为尻4而，所以|图：|阳=3：4,又焦

点尸到准线/的距离为4,所以|弧=|画|=3

3、［2017•全国II,16］己知尸是抛物线C：/=8x的焦点，〃是。上一点，河的延长

线交y轴于点儿若〃为四的中点，则|刚=.

解析：不妨设点〃位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点4过点〃作准线的垂

线，垂足为点瓦交y轴于点户，

：.PM//OF.

由题意知，尸(2,0),\FO\=\AO\=2.

•.•点〃为的中点，PM//OF,

：.|MP\4m=1.

又团―=2,：.\MB\=\MP\+\BP\=?>.

由抛物线的定义知I姐=I烟=3,故|刚=2|阴=6.

考向二：抛物线的标准方程与几何性质

顶点0(0,0)

对稼

.y=0画工=0

轴

(恭)廿。）回尸（）

焦点F画F（0,一£）

性离心

e=1

质率

准线

L—2工=包国产彳回厂乡

方程22乙乙

范围RRRR

开口

向右向左向上向下

方向

1、［2016•全国I,101以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于48两点，交C的准线

于〃£两点.已知|初=4也，|庞|=2/，则C的焦点到准线的距离为（）

A.2B.4C.6D.8

答案B

2、历24

解析不妨设。：炉=2px（0>0）,2（xi,2噌），则荀=---得----=-，由题意可知|如|=

1乙PP

\OD\,得8）+8=抹）+5,解得°=4.故选B.

22

2、【2019年高考全国n卷理数】若抛物线/=2加（90）的焦点是椭圆土+乙=1的一个焦

3PP

点，则P=

A.2B.3C.4D.8

【解析】因为抛物线y2=2px（p>0）的焦点（匕0）是椭圆工+乙=1的一个焦点，所

23Pp

以3p-p=（与,解得p=8,故选D.

考向三：直线与抛物线的综合问题

9

1、［2018•全国I,8］设抛物线C：/=4x的焦点为凡过点(一2,0)且斜率为］的直线

与C交于"两点，则应•麻=()

A.5B.6C.7D.8

99

解析根据题意，过点(一2,0)且斜率为鼻的直线方程为尸鼻(x+2),与抛物线方程联

O0

'2

y=-x+(2,

立，3消去X并整理，得96y+8=0,解得

y=4x,

”(1,2),M4,4),又尸(1,0),所以屈(0,2),方六(3,4),从

而可以求得沏•就=0X3+2X4=8,故选D.

条件探究：将条件变为过点(一2,0)的直线与C交于弘"两

点，求而•诙的范围？

根据题意，直线的斜率存在且不为零，设M(Xi，yD，N(x2,y2),

设直线方程为=1+2),与抛物线方程联立得ky2—4y+8k=0,yi+y2=：,

丫1丫2=8

FM・FN=(x、_3Yi),(x2-丫2)

=xxx

i2一(i+x2)+1+丫也=7'7-(7+7)+l+丫泾

号+l+y^

=17-4

k2

因为△=16-32k2>0,0<k2<i,

FM-而的范围为(—8,9)

2、［2017•全国I,10］已知尸为抛物线C：V=4x的焦点，过厂作两条互相垂直的直

线，，12,直线，与。交于46两点，直线入与C交于〃£两点，则|阴+|阳的最小

值为()

A.16B.14C.12D.10

解析因为尸为y=4x的焦点，所以6(1,0).

由题意直线九入的斜率均存在,且不为0,设4的斜率为A,贝U心的斜率为一%故

直线71,人的方程分别为y=A（x—1）,

1.、

y=-7{x—l)・

\y=kx-l，

由《2得A?3—（2始+4）X+«2=0.

LK=4X,

、2^+4

设4（矛i,ji）,B1X2,外），则不+至=~J2-，矛1至=1,

匕厂I।।4］+如

所以|/剧=xi+x2+2=------1------.

同理可得|朗=4（1+芯）.

所以+p+4（1+尸）=4（下+1+1+后）

=8+4（如++）28+4X2=16,

当且仅当好=",即4=±1时，取得等号.故选A.

3、［2018•全国III,16］已知点〃（一1,1）和抛物线C：/=4x,过。的焦点且斜率为A

的直线与。交于48两点.若/匈e=90°,则#=.

答案2

解析设/（X1,%）,B（X2,㈤，

龙=4矛,1

则

4=4孙

所以五一应=4不一4%

刀一先4

所以A=

X1一用yi+y2

取"的中点〃（苞，㈤，分别过点46作准线x=一1的垂线，垂足分别为/,B'.

因为/9=90°,所以|朋/|=3明=支|"1+|即)=*|附'\+\BB'|).

因为〃为的中点，所以超平行于x轴.

因为〃（一1,1）,所以为=1,则为+独=2,所以A=2.

4、［2019年高考全国I卷理数】已知抛物线G/=3x的焦点为F,

3

斜率为二的直线/与C的交点为4B,与x轴的交点为上

2

(1)^\AF\+\BF\=4,求，的方程;

(2)若AP=3PB,求恒剧.

3

【解析】设直线/:y=5%+/,4(石,%),8(%2，%)•

呜，。［3

(1)由题设得14故|山口+|3/|=石+%+万，由题设可得

5

.3

,y-—x+t,>,12Q—1)

由12,可得9炉+12«—l)x+4产9=0,则玉+々=——-~--

J2=3X)

从而-四a57

得”一

928

37

所以/的方程为y=.

28

(2)由AP=3方可得%=—3%.

［3

,y=—x+t,,

由＜-2，可得y~—2_y+2/=0.

y2=3x

所以%+乂=2.从而一3y2+为=2，故%=T,%=3.

代入C的方程得Xi=3,%2=g.

故|A3|=^y^.

5、［2017•北京卷，18］已知抛物线C：/=2px过点户(1,1).过点(0,作直线/与

抛物线。交于不同的两点弘N,过点〃作x轴的垂线分别与直线如交于点4B,其中

。为原点.

(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程;

（2）求证：/为线段创的中点.

解（1）由抛物线C：/=2°x过点?（1,1）,得

所以抛物线。的方程为/=X.

1

抛物线C的焦点坐标为6，0）,准线方程为X：

4-

设直线的方程为？=AX+B（AW0），与抛物线。的交点为加不,

⑵证明;由题意,11

%),Nix?,刃).

尸Ax+；,

由＜得4A2/+