高考数学一轮复习 2.8 函数的图象 理 苏教版

2.9函数的图象一、填空题1.函数的图象可由的图象向右平移个单位,再向下平移个单位而得到.解析因为所以填1,1.答案112．函数f(x)＝eq\f(x＋1,x)的图象的对称中心为________．解析f(x)＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)，故f(x)的对称中心为(0,1)．答案(0,1)3．已知f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________．解析在函数g(x)的图象上任取一点(x，y)，这一点关于x＝1的对称点为(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2－x，,y0＝y.))∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2－x＝3x－2.答案g(x)＝3x－24.函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x≤1，,log\f(1,3)x，x＞1，))则y＝f(x＋1)的图象大致是________．解析y＝f(x＋1)是由y＝f(x)的图象向左平移一个单位得到的，故为②.答案②5．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)与y＝log5x的图象交点的个数为________．解析(数形结合法)根据f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)＝f(x＋2)，则函数f(x)是以2为周期的函数，分别作出函数y＝f(x)与y＝log5x的图象(如图)，可知函数y＝f(x)与y＝log5x的图象的交点个数为4.答案4【点评】本题采用了数形结合法.数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观6．若函数f(x)在区间[－2,3]上是增函数，则函数f(x＋5)的单调递增区间是________．解析∵f(x＋5)的图象是f(x)的图象向左平移5个单位得到的．∴f(x＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2]．答案[－7，－2]7.观察相关的函数图象，对下列命题中的真假情况进行判断．①10x＝x有实数解；②10x＝x2有实数解；③10x＞x在x∈R上恒成立；④10x＞x2在x∈(0，＋∞)上恒成立；⑤10x＝－x有两个相异实数解．其中真命题的序号为________．解析正确画出相关函数的图象即可判断，y＝10x与y＝x的图象如图(1)；y＝10x与y＝x2的图象如图(2)；y＝10x与y＝－x的图象如图(3)．答案②③④8．设f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是________．解析在同一坐标系中，作出y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的图象如右图所示，可观察出当x＝0时函数f(x)取得最大值6.答案69．甲、乙二人沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1＜v2)．甲一半的路程使用速度v1，另一半的路程使用速度v2；乙一半时间使用速度v1，另一半的时间使用速度v2.关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中4个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程)，则其中可能正确的图示分析为________．解析从A地到B地，甲用的时间t甲＝eq\f(s,2v1)＋eq\f(s,2v2)＝eq\f(v1＋v2,2v1v2)s，乙用的时间t乙满足：eq\f(t乙,2)(v1＋v2)＝s，∴t乙＝eq\f(2s,v1＋v2)，t甲－t乙＝eq\f(v1－v22s,2v1v2v1＋v2)＞0.∴t甲＞t乙，即甲、乙不会同时达到B地，∴排除③④，当甲前一半路程速度是v1，后一半路程速度是v2，乙前一半时间速度是v1，后一半时间速度是v2时，①正确．当甲前一半路程速度是v2，后一半速度是v1，乙前一半时间的速度是v2，后一半时间的速度是v1时，②正确．答案①②10．任取x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＞eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)是(a，b)上的凸函数．在下列图象中，是凸函数图象的有________．答案④11．若直线x＝1是函数y＝f(2x)的图象的一条对称轴，则f(3－2x)的图象关于直线________对称．答案x＝eq\f(1,2)12．若0＜a＜1，则函数y＝loga(x＋5)的图象不经过第____象限．答案一13．已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)，图象如图所示．对满足0＜x1＜x2＜1的任意x1，x2，给出下列结论：①f(x1)－f(x2)＞x1－x2；②x2f(x1)＞x1f(x③eq\f(fx1＋fx2,2)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2))).其中正确结论的序号是________．解析由f(x2)－f(x1)＞x2－x1，可得eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＞1，即两点(x1，f(x1))与(x2，f(x2))的连线斜率大小1，显然①不正确；由x2f(x1)＞x1f(x2)得eq\f(fx1,x1)＞eq\f(fx2,x2)，即表示两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的．答案②③二、解答题14.作出函数y＝eq\f(1－|x|,|1－x|)的图象．解析函数的定义域是{x|x∈R，且x≠1}．当x<0时，有y＝eq\f(1－|x|,|1－x|)＝eq\f(1＋x,1－x)＝eq\f(1－x－2,x－1)＝－1－eq\f(2,x－1)；当0≤x<1时，有y＝eq\f(1－|x|,|1－x|)＝eq\f(1－x,1－x)＝1；当x>1时，y＝－1.综上，有y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－\f(2,x－1)，x<0，,1，0≤x<1，,－1，x>1.))函数的图象由三部分组成：当x<0时函数的图象由函数y＝－eq\f(2,x)的图象向右平移1个单位长度后再向下平移1个单位长度得到；当0≤x<1时，函数的图象是线段y＝1(0≤x<1)，不含点(1,1)；当x>1时，函数的图象是射线y＝－1(x>1)，不含射线的端点(1，－1)．15．利用函数图象讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．解析设y＝|1－x|，y＝kx，则方程的实根的个数就是函数y＝|1－x|的图象与y＝kx的图象交点的个数．由右边图象可知：当－1≤k＜0时，方程没有实数根；当k＝0或k＜－1或k≥1时，方程只有一个实数根；当0＜k＜1时，方程有两个不相等的实数根．16．已知函数f(x)＝eq\r(1－x2)，g(x)＝x＋2，若方程f(x＋a)＝g(x)有两不同实根，求a的取值范围．解析y＝f(x＋a)＝eq\r(1－x＋a2)，方程可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,1－x＋a2≥0，,y2＝1－x＋a2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,x＋a2＋y2＝1.))∴函数y＝f(x＋a)的图象为以(－a,0)为圆心，半径为1的圆在x轴上和x轴上方的部分，如右图．设过(－2,0)点和与直线相切的半圆方程分别为y＝f(x＋a1)和y＝f(x＋a2)，则可求出a1＝1，a2＝2－eq\r(2).由图象可观察出当－a1≤－a＜－a2，即a2＜a≤a1时，y＝f(x＋a)的图象与y＝g(x)的图象有两个不同交点，即2－eq\r(2)＜a≤1时，方程f(x＋a)＝g(x)有两个不同的实根．17．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．思路分析分别作出函数y＝f(x)与y＝x＋a的图象，观察它们的交点个数．解析f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－22－1，x∈－∞，1]∪[3，＋∞，,－x－22＋1，x∈1，3，))作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1)，(2,3)．(2)由题意|x2－4x＋3|＝x＋a.于是，设y＝x＋a，在同一坐标系下再作出y＝x＋a的图象．如图所示．则当直线y＝x＋a过点(1,0)时a＝－1；当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋a，,y＝－x2＋4x－3))⇒x2－3x＋a＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－eq\f(3,4).由图象知当a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4)))时方程至少有三个不等实根．【点评】数形结合思想是高考每年必考内容，它对填空题、解答题均有很大的帮助，但对于解答题而言，图形只是起到帮助分析问题的作用，步骤还要有适当数学语言来表示．18．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．解析∵f(x)的图