专题19.2.3一次函数与方程不等式（备课件）八年级数学下册系列（人教版）

19.2一次函数第十九章一次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结

八年级数学下册（人教版）

教学课件19.2.3一次函数与方程、不等式情境引入学习目标1．认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系．（重点、难点）2．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.讲授新课一次函数与一元一次方程一32121-2Oxy-1-13

问题1下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．用函数的观点看：解一元一次方程ax+b=k就是求当函数（y=ax+b）值为k时对应的自变量的值．2x+1=3的解y=2x+12x+1=0的解2x+1=-1的解合作探究求一元一次方程

kx+b=0的解．

一次函数与一元一次方程的关系一次函数y=kx+b中，y=0时x的值．

从“函数值”看求一元一次方程

kx+b=0的解．

求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标．

从“函数图象”看归纳总结例

一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒，由题意得2x+5=17解得x=6答：再过6秒它的速度为17米/秒.典例精析解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数，y=2x+5由2x+5=17得2x－12=0由右图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6.Oxy6－12y=2x－12解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数，y=2x+5由右图可以看出当y=17时，x=6.y=2x+5xyO6175－2.5一次函数与一元一次不等式二

问题2下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．不等式ax+b＞c的解集就是使函数y=ax+b的函数值大于c的对应的自变量取值范围；不等式ax+b＜c的解集就是使函数y=ax+b的函数值小于c的对应的自变量取值范围．32121-2Oxy-1-13y=3x+2y=2y=0y=-1合作探究作出一次函数y=2x-5的图象：O12345-2-1x2314-3-5-2-4y-1y=2x-5x…02.5…y=2x-5…-50…观察图象回答下列问题:(1)x取何值时,2x-5=0？当x=2.5时,2x-5=0.O12345-2-1x2-1314-3-5-2-4yy=2x-5(2.5,0)分析:y=0(2)x取哪些值时,2x-5>0？当x>2.5,2x-5>0.O12345-2-1x2-1314-3-5-2-4yy=2x-5(2.5,0)分析:y>0(3)x取哪些值时,2x-5<0？当x<2.5时,2x-5<0.O12345-2-1x2-1314-3-5-2-4yy=2x-5v(2.5,0)分析:y<0(4)x取哪些值时,2x-5>3？当x>4时,2x-5>3.O12345-2-1x2-1314-3-5-2-4yy=2x-5分析:y＞3概括总结

通过对图象的观察、分析,得:

我们既可以运用函数图象解不等式,也可以运用解不等式帮助研究函数问题,二者相互渗透,互相作用.不等式与函数是紧密联系着的一个整体.想一想：如果y=-2x-5,那么当x取何值时,y>0?O-3-2-112-5-4x2-1314-3-5-2-4yy=-2x-5思路二:将函数问题转化为不等式问题.即解不等式-2x-5>0.∴当x<-2.5时,y>0.思路一:运用函数图象解不等式.由图象可得当x<-2.5时,y>0.(-2.5,0)作一次函数y=-2x-5的图象

例

画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：（1）不等式-3x+6>0和-3x+6<0的解集;（2）当x取何值时，y<3?解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0).

x

O

B(2,0)

A(0,6)

y解：（1）由图象可知，不等式

-3x+6>0的解集是图象位于x轴上方的x的取值范围,即x<2；不等式-3x+6<0的解集是图象位于x轴下方的x的取值范围，即x>2；

x

O

B(2,0)

A(0,6)

31 (1,3)

y（2）由图象可知，当x>1时，y<3.（1）不等式-3x+6>0和-3x+6<0的解集;（2）当x取何值时，y<3?求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围从“函数值”看求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集

确定直线y=kx+b在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围

从“函数图象”看一次函数与一元一次不等式的关系归纳总结一次函数与二元一次方程组三问题

1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升．两个气球都上升了1h．(1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔y(m)与气球上升时间x(min)的函数关系．h1h2气球1海拔高度：y=x+5；气球2海拔高度：y=0.5x+15．思考1：一次函数与二元一次方程有什么关系？一次函数二元一次方程一次函数

y=0.5x+15二元一次方程

y-0.5x=15二元一次方程

y=0.5x+15用方程观点看用函数观点看从式子（数）角度看：由函数图象的定义可知：直线y=0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y=0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解.思考2：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？15105-5510Oxyy=0.5x+15从数的角度看：就是求自变量为何值时，两个一次函数y=x+5，y=0.5x+15的函数值相等，并求出函数值．解方程组y=x+5

y=0.5x+15h1h2

(2)什么时刻，1号气球的高度赶上2号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.气球1海拔高度：y=x+5气球2海拔高度：y=0.5x+15二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．A（20，25）302520151051020y=x+5y=0.5x+15155Oxy从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？归纳总结

一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．方程组的解

对应两条直线交点的坐标.Oyx例

如图，求直线l1与l2的交点坐标.分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.解方程组y=2x+2，

y=-x+3，解：因为直线l1过点(-1，0)，(0，2)

，用待定系数法可求得直线l1的解析式为y=2x+2.同理可求得直线l2的解析式为y=-x+3.得x=y=即直线l1与l2的交点坐标为Oyx1、方程x+y=5的解有多少个？写出其中几个。2、在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它们在一次函数y=5－x的图像上吗？3、在一次函数y=5－x的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？4、以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=5－x的图像相同吗？想一想：方程x+y=5的解有无数个。事实上，以方程x+y=5的解为坐标的点组成的图像与一次函数y=5－x的图像相同。结论：

的解为坐标的点组成的图像与一次函数

的图像相同。1、在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=5－x和y=2x－1的图像，这两个图像有交点吗？2、交点的坐标与方程的解有关系吗？结论：一次函数y=5－x和y=2x－1的图像的交点为（2，3），因此就是方程组的解。做一做：小结：二元一次方程组的解可看作两个一次函数和的图像的交点。1、有一组数同时适合x+y＝2和x＋y＝5吗？2、一次函数y＝2－x和y＝5－x的图像之间有何关系？你能从中“悟出”些什么吗？结论方程组的解与函数图像之间的关系：当函数图像有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图像（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。创新探究：练一练：1、用作图像的方法讨论方程组有解的条件。2、直线与的交点坐标为（m，8），求3、已知一次函数与的图像交于X轴上(原点外)一点，求。1y0x465321235-1-2647-1-2-3P（2，2）1y0x465321235-1-2647-1-2-3P（2，3）y=2x－1y=5－x练一练1．（2022·浙江湖州·八年级期末）已知一次函数y=kx+b的图象经过第一，二，三象限，且与x轴交于点（－2，0），则不等式kx+b＞0的解是（）A．x＞-2 B．x＞2 C．x＜-2 D．x＜2【答案】A【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限，则函数y随x的增大而增大，∴k>0．∵一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点（-2，0），即当x=-2时，y=0，∴关于x的不等式kx+b>0的解集是x>-2．故选：A．

【答案】A【点睛】本题考查了求两个一次函数的交点问题，解题的关键是正确的解出方程组的解．3．（2022年甘肃省兰州市诊断考试（一诊）数学试题）已知关于x，y的方程组

的解是

，则直线y=-x+b与y=-3x+2的交点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】将x=-1代入y=-3x+2，求出y=5，(-1,5)即为直线y=-x+b与y=-3x+2的交点坐标，判断(-1,5)所在象限即可．

【答案】D【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．5．（2022·安徽滁州·八年级期末）如图，直线y=kx+b经过点A（m，－2）和点B（－4，0），直线y=2x过点A，则不等式2x＞kx+b的解集为___．【分析】直线过点A（m，－2）求出m的值，不等式2x＞kx+b即y=2x在直线y=kx+b上方时对应x的范围，根据图象即可求解．【答案】x＞-16．（2021·江西上饶·二模）如图，正比例函数y1=2x和一次函数y2=kx+b交于点A（a，2），则当y1＞y2