构造同构式解题专题-高三数学一轮复习

构造同构式解题一道恒成立问题已知不等式恒成立，求实数的取值范围放缩秒杀法：原不等式等价于：经分析可得：下面构造函数，令．利用经典不等式进行放缩．事实上有：故可得的取值范围为：．解题心得：本题作为导数经典题型之恒成立问题，如果按照求导的模式进行求解的最小值，可能会遇到很大的计算麻烦．放缩法的好处在于避免繁琐的计算与讨论成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度．找到这个函数模型的方法，我们就称为同构法．如，若能等价变形为，然后利用的单调性，如递增，再转化为，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力、对代数式的变形能力的要求也是比较高的．正所谓，同构解题，观察第一！同构出马，谁与争锋！同构思想放光芒，转化之后天地宽！1.地位同等要同构，主要针对双变量：方程组上下同构，合二为一泰山移．（1）为增函数．（2）为减函数．含有地位同等的两个变量，，或，等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）．2.指对跨阶想同构，同左同右取对数．同构基本模式：（1）积型：如：，后面的转化同（1）．说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．（2）商型：（3）和差型：如：．3.无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量．（1），后面的转化同2.（1）（2）（3），后面的转化同2.（1）．说明：由于两边互为反函数，所以还可以这样转化.对于某些不等式，两边互为反函数是比较隐蔽的，若能发现，则难者亦易矣．如：，左右两边互为反函数，所以只需，即，可得.4．同构放缩需有方，切放同构一起上．这个是对同构思想方法的一个灵活运用．【放缩也是一种能力】利用切线放缩，往往需要局部同构．【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可】掌握常见放缩：（注意取等号的条件，以及常见变形）（1）【变形：】（2）【变形：】说明：等，这些变形新宠是近年来因为交流的频繁而流传开来的．对解决指对混合不等式问题，如恒成立求参数取值范围，或证明不等式，都带来极大的便利．当然，在具体使用中，往往要结合切线放缩，或换元法。可以说掌握了这些变形新宠及常见切线型不等式，就大大降低了这类问题的难度．（会推广到关于与或的各种组合的变形）．例1.对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．（1）；解析：（2）；解析：（3）；解析：（4）解析：（5）解析：.（6）解析：（7）解析：（8）解析：例2.已知不等式，对恒成立，则的取值范围是______．解析：（三种模式，只需写一种）由（3）得，，即，由导数法可得，从而．例3.若对任意，恒有，则实数的最小值为______．解析：，【积型同构】令，则，易知在上递减，在上递增，所以，所以在单调递增．则，由导数法易证，所以．故答案为答案：知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B．解析：，【和差型同构】令，显然为增函数．则原命题又等价于．由于，所以，即得．例5.对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为______．解析：【积型同构】．由于为增函数，所以由，得，即恒成立．令，则，易得，所以实数的最小值为．知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.解析：，【同构】令，由，且，知在为减函数，所以．故选C．知函数，证明：当时，．证明：当时，，所以只需证明．由于，【同构】令，由知为增函数，又易证，所以，即成立．故当时，．知是函数的零点，则______．答案：2．解析：.所以，即，或.则.例9.已知函数，，其中．求证：.证明：，令，则，易知，故．知函数的值域为，则实数的最小值是______．解析：（利用了）等号成立的条件是，即有解．令，则，易得．故的最小值为.知函数，若，求的取值范围．解析：.由于，当且仅当等号成立，所以．例12.已知，，当时，若恒成立，求实数的取值范围．解析：.当，不等式恒成立；当时，，由于，【利用】当且仅当等号成立，所以．故．知函数，若关于的不等式在上能取等，则实数的取值集合是______．答案：．解析：恒成立，又等价于，即恒成立，根据恒成立，可知．知函数．求证：时，．证明：，令，则，易知，又时，．所以时，．明：.证明：因为.所以知，函数的最小值为0，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C．解析：，当且仅当，即时等号成立，所以。成下列各问（1）已知，则函数的最大值为______；（2）函数的最小值是______；（3）函数的最大值是______；（4）函数的最小值是______.答案：（1）2；（2）1；（3）0；（4）1解析：（1），由于，当且仅当时等号成立，所以．（2），当且仅当时等号成立．（3），当且仅当时等号成立．（4），当且仅当时等号成立．成下列各问（1）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是______；（2）已知函数，若恒成立，则正数的取值范围是______；（3）已知函数，若恒成立，则正数的取值范围是______；（4）已知不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围是______.（5）已知函数，其中，若恒成立，则实数与的大小关系是______；（6）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是______；（7）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是______；（8）已知不等式，对恒成立，则的最大值为______；（9）若不等式能取等，则实数的取值范围是______；答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）.解析：（1），.【或通过数形结合，得．】（2），当时，原不等式恒成立；当时，，由于，当且仅当等号成立，所以．故．（3），当时，原不等式恒成立；当时，，由于，当且仅当等号成立，所以.故.（