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文档简介

2024-2025学年定西市重点中学5月高三月考数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知为一条直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则2.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在(单位:元)的同学有34人,则的值为()A.100 B.1000 C.90 D.903.下列函数中,既是奇函数,又在上是增函数的是().A. B.C. D.4.若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是()A. B. C. D.5.已知,则()A.2 B. C. D.36.已知复数,其中,,是虚数单位,则()A. B. C. D.7.已知集合,,,则集合()A. B. C. D.8.执行下面的程序框图,若输出的的值为63,则判断框中可以填入的关于的判断条件是()A. B. C. D.9.以下三个命题:①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,判断“与有关系”的把握越大;其中真命题的个数为()A.3 B.2 C.1 D.010.已知与之间的一组数据:12343.24.87.5若关于的线性回归方程为,则的值为()A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.4.511.设a=log73,,c=30.7,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.12.若为虚数单位,网格纸上小正方形的边长为1,图中复平面内点表示复数,则表示复数的点是()A.E B.F C.G D.H二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,己知半圆的直径,点是弦(包含端点,)上的动点,点在弧上.若是等边三角形,且满足,则的最小值为___________.14.已知,则_____。15.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则的最小值为.16.已知数列的各项均为正数,记为数列的前项和,若,,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设点,动圆经过点且和直线相切.记动圆的圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点的直线与曲线交于、两点,且直线与轴交于点,设,,求证:为定值.18.(12分)已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点,与的公共弦的长为.(1)求的方程;(2)过点的直线与相交于、两点,与相交于、两点,且与同向,设在点处的切线与轴的交点为,证明:直线绕点旋转时,总是钝角三角形;(3)为上的动点,、为长轴的两个端点,过点作的平行线交椭圆于点,过点作的平行线交椭圆于点,请问的面积是否为定值,并说明理由.19.(12分)已知函数的图象向左平移后与函数图象重合.(1)求和的值;(2)若函数,求的单调递增区间及图象的对称轴方程.20.(12分)设函数,是函数的导数.(1)若,证明在区间上没有零点;(2)在上恒成立,求的取值范围.21.(12分)曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线,的交点分别为、(、异于原点),当斜率时,求的最小值.22.(10分)已知数列满足,等差数列满足,(1)分别求出,的通项公式;(2)设数列的前n项和为,数列的前n项和为证明:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】A.若,则或,故A错误;B.若,则或故B错误;C.若,则或,或与相交;D.若,则,正确.故选D.2.A【解析】

利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率,再结合支出在(单位:元)的同学有34人,即得解【详解】由题意,支出在(单位:元)的同学有34人由频率分布直方图可知,支出在的同学的频率为.故选:A本题考查了频率分布直方图的应用,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.3.B【解析】

奇函数满足定义域关于原点对称且,在上即可.【详解】A:因为定义域为,所以不可能时奇函数,错误;B:定义域关于原点对称,且满足奇函数,又,所以在上,正确;C:定义域关于原点对称,且满足奇函数,,在上,因为,所以在上不是增函数,错误;D:定义域关于原点对称,且,满足奇函数,在上很明显存在变号零点,所以在上不是增函数,错误;故选:B此题考查判断函数奇偶性和单调性,注意奇偶性的前提定义域关于原点对称,属于简单题目.4.B【解析】

复数,在复平面内对应的点在第二象限,可得关于a的不等式组,解得a的范围.【详解】,由其在复平面对应的点在第二象限,得,则.故选:B.本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.5.A【解析】

利用分段函数的性质逐步求解即可得答案.【详解】,;;故选:.本题考查了函数值的求法,考查对数的运算和对数函数的性质,是基础题,解题时注意函数性质的合理应用.6.D【解析】试题分析:由,得,则,故选D.考点:1、复数的运算;2、复数的模.7.D【解析】

根据集合的混合运算,即可容易求得结果.【详解】,故可得.故选:D.本题考查集合的混合运算,属基础题.8.B【解析】

根据程序框图,逐步执行,直到的值为63,结束循环,即可得出判断条件.【详解】执行框图如下:初始值:,第一步:,此时不能输出,继续循环;第二步:,此时不能输出,继续循环;第三步:,此时不能输出,继续循环;第四步:,此时不能输出,继续循环;第五步:,此时不能输出,继续循环;第六步:,此时要输出,结束循环;故,判断条件为.故选B本题主要考查完善程序框图,只需逐步执行框图,结合输出结果,即可确定判断条件,属于常考题型.9.C【解析】

根据抽样方式的特征,可判断①;根据相关系数的性质,可判断②;根据独立性检验的方法和步骤,可判断③.【详解】①根据抽样是间隔相同,且样本间无明显差异,故①应是系统抽样,即①为假命题;②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱,则相关系数的绝对值越接近于0;故②为真命题;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,“与有关系”的把握程度越小,故③为假命题.故选:.本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点,属于基础题.10.D【解析】

利用表格中的数据,可求解得到代入回归方程,可得,再结合表格数据,即得解.【详解】利用表格中数据,可得又,.解得故选:D本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.11.D【解析】

,,得解.【详解】,,,所以,故选D比较不同数的大小,找中间量作比较是一种常见的方法.12.C【解析】

由于在复平面内点的坐标为,所以,然后将代入化简后可找到其对应的点.【详解】由,所以,对应点.故选:C此题考查的是复数与复平面内点的对就关系,复数的运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【解析】

建系,设,表示出点坐标,则,根据的范围得出答案.【详解】解:以为原点建立平面坐标系如图所示:则,,,,设,则,,,,,,,显然当取得最大值4时,取得最小值1.故答案为:1.本题考查了平面向量的数量积运算,坐标运算,属于中档题.14.【解析】

由已知求,再利用和角正切公式,求得,【详解】因为所以cos因此.本题考查了同角三角函数基本关系式与和角的正切公式。15..【解析】.16.63【解析】

对进行化简,可得,再根据等比数列前项和公式进行求解即可【详解】由数列为首项为,公比的等比数列,所以63本题考查等比数列基本量的求法,当处理复杂因式时,常用基本方法为:因式分解,约分。但解题本质还是围绕等差和等比的基本性质三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)见解析.【解析】

(1)已知点轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,由此可得曲线的方程;(2)设直线方程为,,则,设,由直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得,,由,,用横坐标表示出,然后计算,并代入,可得结论.【详解】(1)设动圆圆心,由抛物线定义知:点轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,设其方程为,则,解得.∴曲线的方程为;(2)证明:设直线方程为,,则,设,由得,①,则,,②,由,,得,,整理得,,∴,代入②得:.本题考查求曲线方程,考查抛物线的定义,考查直线与抛物线相交问题中的定值问题.解题方法是设而不求的思想方法,即设交点坐标,设直线方程,直线方程代入抛物线(或圆锥曲线)方程得一元二次方程,应用韦达定理得,,代入题中其他条件所求式子中化简变形.18.(1);(2)证明见解析;(3)是,理由见解析.【解析】

(1)根据两个曲线的焦点相同,得到,再根据与的公共弦长为得出,可求出和的值,进而可得出曲线的方程;(2)设点,根据导数的几何意义得到曲线在点处的切线方程,求出点的坐标,利用向量的数量积得出,则问题得以证明;(3)设直线,直线,、、,推导出以及,求出和,通过化简计算可得出为定值,进而可得出结论.【详解】(1)由知其焦点的坐标为,也是椭圆的一个焦点,,①又与的公共弦的长为,与都关于轴对称,且的方程为,由此易知与的公共点的坐标为,,②联立①②,得,,故的方程为;(2)如图,,由得,在点处的切线方程为,即,令,得,即,,而,于是,因此是锐角,从而是钝角.故直线绕点旋转时,总是钝角三角形;(3)设直线,直线,、、,则,设向量和的夹角为,则的面积为,由,可得,同理可得,故有.又,故,则,因此,的面积为定值.本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系,考查钝角三角形的判定以及三角形面积为定值的求解,关键是联立方程,构造方程,利用韦达定理,以及向量的关系,得到关于斜率的方程,计算量大,属于难题.19.(1),;(2),,.【解析】

(1)直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果.(2)首先把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果.【详解】(1)由题意得,,(2)由,解得,所以对称轴为,.由,解得,所以单调递增区间为.,本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.20.(1)证明见解析(2)【解析】

(1)先利用导数的四则运算法则和导数公式求出,再由函数的导数可知,函数在上单调递增,在上单调递减,而,,可知在区间上恒成立,即在区间上没有零点;(2)由题意可将转化为,构造函数,利用导数讨论研究其在上的单调性,由,即可求出的取值范围.【详解】(1)若,则,,设,则,,,故函数是奇函数.当时,,,这时,又函数是奇函数,所以当时,.综上,当时,函数单调递增;当时,函数单调递减.又,,故在区间上恒成立,所以在区间上没有零点.(2),由,所以恒成立,若,则,设,.故当时,,又,所以当时,,满足题意;当时,有,与条件矛盾,舍去;当时,令,则,又,故在区间上有无穷多个零点,设最小的零点为,则当时,,因此在上单调递增.,所以.于是,当时,,得,与条件矛盾.故的取值范围是.本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用,以及利用导数研究函数的单调性和最值,涉及分类讨论思想和放缩法的应用,难度较大,意在考查学生的数学建模能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.21.(1)的极坐标方程为;曲线的直角坐标方程.(2)【解析】

(1)消去参数,可得曲线的直角坐标方程,再利用极坐标与直角坐标的互化,即可求解.(2)解法1:设直线的倾斜角为,把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程,求得,再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程,得,得出,利用基本不等式,即可求解;解法2:设直线的极坐标方程为,分别代入曲线,的极坐标方程,得,,得出,即可基本不等式,即可求解.【详解】(1)由题曲线的参数方程为(为参数),消去参数,可得曲线的直角坐标方程为,即,则曲线的极坐标方程为,即,又因为曲线的极坐标方程为,即,根据,代入即可求解曲线的直角坐标方程.(2)解法1:设直线的倾斜角为,则直线的参数方程为(为参数,),把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:,解得,,,把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:,解得,,,,,即,,,,当且仅当,即时取等号,故的最小值为.解法2:设直线的极坐标方程为),代入曲线的极坐标方程,得,

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