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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列命题是真命题的是()A.若平面,,,满足,,则;B.命题:,,则:,;C.“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件;D.命题“若,则”的逆否命题为:“若,则”.2.如图所示,三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一内角为,若向弦图内随机抛掷500颗米粒(米粒大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为()A.134 B.67 C.182 D.1083.一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起,每一项都等于前面所有项之和(例如:1,3,4,8,16…).则首项为2,某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为()A.3 B.4 C.5 D.64.已知函数,.若存在,使得成立,则的最大值为()A. B.C. D.5.已知,函数在区间内没有最值,给出下列四个结论:①在上单调递增;②③在上没有零点;④在上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是()A.②④ B.①③ C.②③ D.①②④6.若双曲线的一条渐近线与直线垂直,则该双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.7.若平面向量,满足,则的最大值为()A. B. C. D.8.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作一条直线与双曲线右支交于两点,坐标原点为,若,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.9.“”是“函数的图象关于直线对称”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.设等差数列的前项和为,若,则()A.10 B.9 C.8 D.711.若函数满足,且,则的最小值是()A. B. C. D.12.已知直线是曲线的切线,则()A.或1 B.或2 C.或 D.或1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.戊戌年结束,己亥年伊始,小康,小梁,小谭,小杨,小刘,小林六人分成四组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分别奔赴四所不同的学校参加演讲,则不同的分配方案有_________种(用数字作答),14.已知a,b均为正数,且,的最小值为________.15.如图所示,在正三棱柱中,是的中点,,则异面直线与所成的角为____.16.若函数,则的值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;(Ⅱ)已知直线与曲线交于,两点,与轴交于点,求.18.(12分)已知数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.19.(12分)已知三棱锥P-ABC(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形ABCD为边长等于的正方形,和均为正三角形,在三棱锥P-ABC中:(1)证明:平面平面ABC;(2)若点M在棱PA上运动,当直线BM与平面PAC所成的角最大时,求直线MA与平面MBC所成角的正弦值.20.(12分)如图1,四边形为直角梯形,,,,,,为线段上一点,满足,为的中点,现将梯形沿折叠(如图2),使平面平面.(1)求证:平面平面;(2)能否在线段上找到一点(端点除外)使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由.21.(12分)在中,角、、的对边分别为、、,且.(1)若,,求的值;(2)若,求的值.22.(10分)已知函数,直线为曲线的切线(为自然对数的底数).(1)求实数的值;(2)用表示中的最小值,设函数,若函数为增函数,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
根据面面关系判断A;根据否定的定义判断B;根据充分条件,必要条件的定义判断C;根据逆否命题的定义判断D.【详解】若平面,,,满足,,则可能相交,故A错误;命题“:,”的否定为:,,故B错误;为真,说明至少一个为真命题,则不能推出为真;为真,说明都为真命题,则为真,所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件,故C错误;命题“若,则”的逆否命题为:“若,则”,故D正确;故选D【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件,写出命题的逆否命题等,属于中档题.2.B【解析】
根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.【详解】解:设大正方形的边长为1,则小直角三角形的边长为,
则小正方形的边长为,小正方形的面积,
则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为,
故选:B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用,求出对应的面积之比是解决本题的关键.3.A【解析】
根据定义,表示出数列的通项并等于2020.结合的正整数性质即可确定解的个数.【详解】由题意可知首项为2,设第二项为,则第三项为,第四项为,第五项为第n项为且,则,因为,当的值可以为;即有3个这种超级斐波那契数列,故选:A.【点睛】本题考查了数列新定义的应用,注意自变量的取值范围,对题意理解要准确,属于中档题.4.C【解析】
由题意可知,,由可得出,,利用导数可得出函数在区间上单调递增,函数在区间上单调递增,进而可得出,由此可得出,可得出,构造函数,利用导数求出函数在上的最大值即可得解.【详解】,,由于,则,同理可知,,函数的定义域为,对恒成立,所以,函数在区间上单调递增,同理可知,函数在区间上单调递增,,则,,则,构造函数,其中,则.当时,,此时函数单调递增;当时,,此时函数单调递减.所以,.故选:C.【点睛】本题考查代数式最值的计算,涉及指对同构思想的应用,考查化归与转化思想的应用,有一定的难度.5.A【解析】
先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出,判断函数的单调性和零点情况得解.【详解】因为函数在区间内没有最值.所以,或解得或.又,所以.令.可得.且在上单调递减.当时,,且,所以在上只有一个零点.所以正确结论的编号②④故选:A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,考查函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.B【解析】
由题中垂直关系,可得渐近线的方程,结合,构造齐次关系即得解【详解】双曲线的一条渐近线与直线垂直.∴双曲线的渐近线方程为.,得.则离心率.故选:B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率,考查了学生综合分析,概念理解,数学运算的能力,属于中档题.7.C【解析】
可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达,利用向量数量积的性质,化简为三角函数最值.【详解】由题意可得:,,,故选:C【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.8.B【解析】
由题可知,,再结合双曲线第一定义,可得,对有,即,解得,再对,由勾股定理可得,化简即可求解【详解】如图,因为,所以.因为所以.在中,,即,得,则.在中,由得.故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率求法,几何性质的应用,属于中档题9.A【解析】
先求解函数的图象关于直线对称的等价条件,得到,分析即得解.【详解】若函数的图象关于直线对称,则,解得,故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断,考查了学生逻辑推理,概念理解,数学运算的能力,属于基础题.10.B【解析】
根据题意,解得,,得到答案.【详解】,解得,,故.故选:.【点睛】本题考查了等差数列的求和,意在考查学生的计算能力.11.A【解析】
由推导出,且,将所求代数式变形为,利用基本不等式求得的取值范围,再利用函数的单调性可得出其最小值.【详解】函数满足,,即,,,,即,,则,由基本不等式得,当且仅当时,等号成立.,由于函数在区间上为增函数,所以,当时,取得最小值.故选:A.【点睛】本题考查代数式最值的计算,涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用,考查计算能力,属于中等题.12.D【解析】
求得直线的斜率,利用曲线的导数,求得切点坐标,代入直线方程,求得的值.【详解】直线的斜率为,对于,令,解得,故切点为,代入直线方程得,解得或1.故选:D【点睛】本小题主要考查根据切线方程求参数,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1080【解析】
按照先分组,再分配的分式,先将六人分成四组,其中两个组各2人,另两个组各1人有种,再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种,然后用分步计数原理求解.【详解】将六人分成四组,其中两个组各2人,另两个组各1人有种,再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种,则不同的分配方案有种.故答案为:1080【点睛】本题主要考查分组分配问题,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.14.【解析】
本题首先可以根据将化简为,然后根据基本不等式即可求出最小值.【详解】因为,所以,当且仅当,即、时取等号,故答案为:.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值,基本不等式公式为,在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况,考查化归与转化思想,是中档题.15.【解析】
要求两条异面直线所成的角,需要通过见中点找中点的方法,找出边的中点,连接出中位线,得到平行,从而得到两条异面直线所成的角,得到角以后,再在三角形中求出角.【详解】取的中点E,连AE,,易证,∴为异面直线与所成角,设等边三角形边长为,易算得∴在∴故答案为【点睛】本题考查异面直线所成的角,本题是一个典型的异面直线所成的角的问题,解答时也是应用典型的见中点找中点的方法,注意求角的三个环节,一画,二证,三求.16.【解析】
根据题意,由函数的解析式求出的值,进而计算可得答案.【详解】根据题意,函数,则,则;故答案为:.【点睛】本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(x-1)2+y2=4,直线l的直角坐标方程为x-y-2=0;(2)3.【解析】
(1)消参得到曲线的普通方程,利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程;(2)先得到直线的参数方程,将直线的参数方程代入到圆的方程,得到关于的一元二次方程,由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解.【详解】(1)由曲线C的参数方程(α为参数)(α为参数),两式平方相加,得曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=4;由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos-ρsinθsin=ρcosθ-ρsinθ=2,即直线l的直角坐标方程为x-y-2=0.(2)由题意可得P(2,0),则直线l的参数方程为(t为参数).设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则|PA|·|PB|=|t1|·|t2|,将(t为参数)代入(x-1)2+y2=4,得t2+t-3=0,则Δ>0,由韦达定理可得t1·t2=-3,所以|PA|·|PB|=|-3|=3.18.(1);(2)【解析】
(1)根据递推公式,用配凑法构造等比数列,求其通项公式,进而求出的通项公式;(2)求出数列的通项公式,利用错位相减法求数列的前项和.【详解】解:(1),,是首项为,公比为的等比数列.所以,.(2).【点睛】本题考查了由数列的递推公式求通项公式,错位相减法求数列的前n项和的问题,属于中档题.19.(1)见解析(2)【解析】
(1)设的中点为,连接.由展开图可知,,.为的中点,则有,根据勾股定理可证得,则平面,即可证得平面平面.(2)由线面成角的定义可知是直线与平面所成的角,且,最大即为最短时,即是的中点建立空间直角坐标系,求出与平面的法向量利用公式即可求得结果.【详解】(1)设AC的中点为O,连接BO,PO.由题意,得,,.在中,,O为AC的中点,,在中,,,,,.,平面,平面ABC,平面PAC,平面平面ABC.(2)由(1)知,,,平面PAC,是直线BM与平面PAC所成的角,且,当OM最短时,即M是PA的中点时,最大.由平面ABC,,,,于是以OC,OB,OD所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图示空间直角坐标系,则,,设平面MBC的法向量为,直线MA与平面MBC所成角为,则由得:.令,得,,即.则.直线MA与平面MBC所成角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查线面成角问题,借助空间向量是解决线面成角问题的关键,难度一般.20.(1)证明见解析;(2)存在点是线段的中点,使得直线与平面所成角的正弦值为.【解析】
(1)在直角梯形中,根据,,得为等边三角形,再由余弦定理求得,满足,得到,再根据平面平面,利用面面垂直的性质定理证明.(2)建立空间直角坐标系:假设在上存在一点使直线与平面所成角的正弦值为,且,,求得平面的一个法向量,再利用线面角公式求解.【详解】(1)证明:在直角梯形中,,,因此为等边三角形,从而,又,由余弦定理得:,∴,即,且折叠后与位置关系不变,又∵平面平面,且平面平面.∴平面,∵平面,∴平面平面.(2)∵为等边三角形,为的中点,∴,又∵平面平面,且平面平面,∴平面,取的中点,连结,则,从而,以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系:则,,则,假设在上存在一点使直线与平面所成角的正弦值为,且,,∵,∴,故,∴,又,该平面的法向量为,,令得,∴,解得或(舍),综上可知,存在点是线段的中点,使得直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和向量法研究线面角问题,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.21.(1);(2).【解析】
(1)利用余弦定理得出关于的二次方程,结合,可求出的值;(2)利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出的值,利用同角三角函数的基本关系求出的值,
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