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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数图像可能是()A. B. C. D.2.复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设,为非零向量,则“存在正数,使得”是“”的()A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.充分不必要条件4.的展开式中有理项有()A.项 B.项 C.项 D.项5.定义在上的函数满足,则()A.-1 B.0 C.1 D.26.等比数列的前项和为,若,,,,则()A. B. C. D.7.已知集合,则集合的非空子集个数是()A.2 B.3 C.7 D.88.已知函数与的图象有一个横坐标为的交点,若函数的图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍后,得到的函数在有且仅有5个零点,则的取值范围是()A. B.C. D.9.数列满足:,,,为其前n项和,则()A.0 B.1 C.3 D.410.已知实数,,函数在上单调递增,则实数的取值范围是()A. B. C. D.11.复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.双曲线:(),左焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知△ABC得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为_____.14.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为__________.15.在正方体中,分别为棱的中点,则直线与直线所成角的正切值为_________.16.如图在三棱柱中,,,,点为线段上一动点,则的最小值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,,,分别为,的中点,是上异于,的点,.(1)证明:平面平面;(2)若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.18.(12分)每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度.现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶.若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”.(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率;(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及.19.(12分)已知函数,直线是曲线在处的切线.(1)求证:无论实数取何值,直线恒过定点,并求出该定点的坐标;(2)若直线经过点,试判断函数的零点个数并证明.20.(12分)已知函数.(Ⅰ)若是第二象限角,且,求的值;(Ⅱ)求函数的定义域和值域.21.(12分)等差数列的前项和为,已知,.(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和为;(Ⅱ)设为数列的前项的和,求证:.22.(10分)已知函数.(1)解不等式;(2)记函数的最大值为,若,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
先判断函数的奇偶性可排除选项A,C,当时,可分析函数值为正,即可判断选项.【详解】,,即函数为偶函数,故排除选项A,C,当正数越来越小,趋近于0时,,所以函数,故排除选项B,故选:D【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性,识别函数的图象,属于中档题.2.B【解析】
利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.【详解】解:,则复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点的坐标为:,位于第二象限.故选:B.【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义,属于基础题.3.D【解析】
充分性中,由向量数乘的几何意义得,再由数量积运算即可说明成立;必要性中,由数量积运算可得,不一定有正数,使得,所以不成立,即可得答案.【详解】充分性:若存在正数,使得,则,,得证;必要性:若,则,不一定有正数,使得,故不成立;所以是充分不必要条件故选:D【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,向量数乘的几何意义,还考查了充分必要条件的判定,属于简单题.4.B【解析】
由二项展开式定理求出通项,求出的指数为整数时的个数,即可求解.【详解】,,当,,,时,为有理项,共项.故选:B.【点睛】本题考查二项展开式项的特征,熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键,属于基础题.5.C【解析】
推导出,由此能求出的值.【详解】∵定义在上的函数满足,∴,故选C.【点睛】本题主要考查函数值的求法,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用,属于中档题.6.D【解析】试题分析:由于在等比数列中,由可得:,又因为,所以有:是方程的二实根,又,,所以,故解得:,从而公比;那么,故选D.考点:等比数列.7.C【解析】
先确定集合中元素,可得非空子集个数.【详解】由题意,共3个元素,其子集个数为,非空子集有7个.故选:C.【点睛】本题考查集合的概念,考查子集的概念,含有个元素的集合其子集个数为,非空子集有个.8.A【解析】
根据题意,,求出,所以,根据三角函数图像平移伸缩,即可求出的取值范围.【详解】已知与的图象有一个横坐标为的交点,则,,,,,若函数图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,则,所以当时,,在有且仅有5个零点,,.故选:A.【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题,考查转化思想和计算能力.9.D【解析】
用去换中的n,得,相加即可找到数列的周期,再利用计算.【详解】由已知,①,所以②,①+②,得,从而,数列是以6为周期的周期数列,且前6项分别为1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故选:D.【点睛】本题考查周期数列的应用,在求时,先算出一个周期的和即,再将表示成即可,本题是一道中档题.10.D【解析】
根据题意,对于函数分2段分析:当,由指数函数的性质分析可得①,当,由导数与函数单调性的关系可得,在上恒成立,变形可得②,再结合函数的单调性,分析可得③,联立三个式子,分析可得答案.【详解】解:根据题意,函数在上单调递增,
当,若为增函数,则①,
当,若为增函数,必有在上恒成立,
变形可得:,
又由,可得在上单调递减,则,
若在上恒成立,则有②,
若函数在上单调递增,左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值,则需有,③
联立①②③可得:.
故选:D.【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用,注意分段函数单调性的性质.11.A【解析】
试题分析:由题意可得:.共轭复数为,故选A.考点:1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系12.B【解析】
首先求得双曲线的一条渐近线方程,再利用左焦点到渐近线的距离为2,列方程即可求出,进而求出渐近线的方程.【详解】设左焦点为,一条渐近线的方程为,由左焦点到渐近线的距离为2,可得,所以渐近线方程为,即为,故选:B【点睛】本题考查双曲线的渐近线的方程,考查了点到直线的距离公式,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.-【解析】试题分析:根据题意设三角形的三边长分别设为为a,2a,2a,∵2a>2a>a,∴2a所对的角为最大角,设为θ,则根据余弦定理得考点:余弦定理及等比数列的定义.14..【解析】分析:由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.详解:由题意可知了,比赛可能的方法有种,其中田忌可获胜的比赛方法有三种:田忌的中等马对齐王的下等马,田忌的上等马对齐王的下等马,田忌的上等马对齐王的中等马,结合古典概型公式可得,田忌的马获胜的概率为.点睛:有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.(1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏,可借助“树状图”列举.(2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.15.【解析】
由中位线定理和正方体性质得,从而作出异面直线所成的角,在三角形中计算可得.【详解】如图,连接,,,∵分别为棱的中点,∴,又正方体中,即是平行四边形,∴,∴,(或其补角)就是直线与直线所成角,是等边三角形,∴=60°,其正切值为.故答案为:.【点睛】本题考查异面直线所成的角,解题关键是根据定义作出异面直线所成的角.16.【解析】
把绕着进行旋转,当四点共面时,运用勾股定理即可求得的最小值.【详解】将以为轴旋转至与面在一个平面,展开图如图所示,若,,三点共线时最小为,为直角三角形,故答案为:【点睛】本题考查了空间几何体的翻折,平面内两点之间线段最短,解直角三角形进行求解,考查了空间想象能力和计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)详见解析;(2).【解析】
(1)由直径所对的圆周角为,可知,通过计算,利用勾股定理的逆定理可以判断出为直角三角形,所以有.由已知可以证明出,这样利用线面垂直的判定定理可以证明平面,利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面;(2)以为坐标原点,分别以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,求出相应点的坐标,求出平面的一个法向量和平面的法向量,利用空间向量数量积运算公式,可以求出二面角的余弦值.【详解】解:(1)证明:因为半圆弧上的一点,所以.在中,分别为的中点,所以,且.于是在中,,所以为直角三角形,且.因为,,所以.因为,,,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)由已知,以为坐标原点,分别以垂直于、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,.设平面的一个法向量为,则即,取,得.设平面的法向量,则即,取,得.所以,又二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了利用线面垂直判定面面垂直、利用空间向量数量积求二面角的余弦值问题.18.(Ⅰ).(Ⅱ)见解析.【解析】
(Ⅰ)人中很幸福的有人,可以先计算其逆事件,即人都认为不很幸福的概率,再用减去人都认为不很幸福的概率即可;(Ⅱ)根据题意,随机变量,列出分布列,根据公式求出期望即可.【详解】(Ⅰ)设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的,则表示人都认为不很幸福(Ⅱ)根据题意,随机变量,的可能的取值为;;;所以随机变量的分布列为:所以的期望【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率分布列,数学期望的求解,概率分布中的二项分布问题,属于常规题型.19.(1)见解析,(2)函数存在唯一零点.【解析】
(1)首先求出导函数,利用导数的几何意义求出处的切线斜率,利用点斜式即可求出切线方程,根据方程即可求出定点.(2)由(1)求出函数,令方程可转化为记,利用导数判断函数在上单调递增,根据,由零点存在性定理即可求出零点个数.【详解】所以直线方程为即,恒过点将代入直线方程,得考虑方程即,等价于记,则于是函数在上单调递增,又所以函数在区间上存在唯一零点,即函数存在唯一零点.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线过定点、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理,属于难题.20.(Ⅰ)(Ⅱ)函数的定义域为,值域为【解析】
(1)由为第二象限角及的值,利用同角三角函数间的基本关系求出及的值,再代入中即可得到结果.(2)函数解析式利用二倍角和辅助角公式将化为一个角的正弦函数,根据的范围,即可得到函数值域.【详解】解:(1)因为是第二象限角,且,所以.所以,所以.(2)函数的定义域为.化简,得,因为,且,,所以,所以.所以函数的值域为.(注:或许有人会认为“因为,所以”,其实不然,因为.)【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式,三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题,涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于常考题型.21.(Ⅰ),(Ⅱ)见解析【解析】
(Ⅰ)根据等差数列公式直接计算得到答案.(Ⅱ),根据裂项求和法计算得到得到证明.【详解】(Ⅰ)等差数列的公差为,由,得,,即,,解得,.∴,.(Ⅱ),∴,∴,即.【点睛】本题考查了等差数列的基本量的计算,裂项求和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.22.(1);(2)证明
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