新高考数学二轮复习重难点5-2 数列前n项和的求法（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）

重难点5-2数列前n项和的求法数列求和是高考数学的必考内容，一般利用等差数列的通项来构建考查裂项求和，构建等差等比数列考查错位相减法求和，解答题中等差数列、等比数列通项的考查往往是第1问，数列求和则是第2问。近几年在数列求和中加大了思维能力的考查，减少了对程序化计算（错位相减、裂项相消）的考查，主要基于新的情景，要求考生通过归纳或挖掘数列各项间关系发现规律再进行求和。【题型1公式法求数列前n项和】满分技巧（1）等差数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，推导方法：倒序相加法．（2）等比数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，推导方法：乘公比，错位相减法．（3）一些常见的数列的前n项和：①SKIPIF1<0；SKIPIF1<0②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；=4\*GB3④SKIPIF1<0【例1】（2023·广东珠海·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0为等比数列，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则依题意有：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）所以SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首项为3，公差为2的等差数列，SKIPIF1<0【变式1-1】（2023·宁夏银川·高三校联考阶段练习）设正项等比数列SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的等差中项为SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项为SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，由题意，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，显然数列SKIPIF1<0是等差数列，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式1-2】（2023·山西·校考模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）10【解析】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）由（1）可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是是等差数列，故SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值是10.【变式1-3】（2023·四川德阳·统考一模）已知首项为SKIPIF1<0的等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差数列.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的最大项.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由题意得SKIPIF1<0，设公比为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，此时不满足SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或1（舍去），故SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由对勾函数可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，最大值为SKIPIF1<0，故.数列SKIPIF1<0的最大项为SKIPIF1<0【变式1-4】（2023·山西临汾·校考模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前n项和，求使得SKIPIF1<0成立的最小正整数n的值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）13【解析】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的奇数项以及偶数项均为公比为3的等比数列，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的奇数项以1为首项，3为公比的等比数列，偶数项以3为首项，公比为3的等比数列，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0为单调递增数列，且SKIPIF1<0，所以此时满足SKIPIF1<0的最小的SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为奇数时，此时SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0为单调递增数列，且SKIPIF1<0，所以此时满足SKIPIF1<0的最小的SKIPIF1<0为13，综上可得使得SKIPIF1<0成立的最小正整数n为13【题型2分组法求数列前n项和】满分技巧（1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．（2）常见类型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列；=2\*GB3②通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.【例2】（2023·山西忻州·高三校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由题意可得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），两式作差，得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，适合SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0.（2）由（1得）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【变式2-1】（2023·江苏无锡·高三校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由SKIPIF1<0①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②①②式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0两边同除以SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，可知数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列，可知数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【变式2-2】（2023·江西贵溪·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）令SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前10项和．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．经检验，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足上式，所以SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的前10项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【变式2-3】（2023·广东广州·统考模拟预测）设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前2n项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）依题意，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也符合.所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【变式2-4】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,两式相减得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，相乘得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时符合上式，所以SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为奇数时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【题型3并项法求数列前n项和】满分技巧一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，SKIPIF1<0．【例3】（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）若数列SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0，则该数列的前100项之和为.【答案】100【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以该数列的前100项之和为SKIPIF1<0.【变式3-1】（2023·河北邯郸·统考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不成立，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【变式3-2】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前23项的和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）设等差数列公差为d，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式3-3】（2023·湖南邵阳·高三校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由已知可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，上述等式累加可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也满足SKIPIF1<0，故对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0为等差数列，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为奇数时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0.【变式3-4】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求证：数列SKIPIF1<0为等比数列；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项的和SKIPIF1<0．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，各式相加得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；综上所述，SKIPIF1<0.【题型4逆序相加法求数列前n项和】满分技巧如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．【例4】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知SKIPIF1<0为正项等比数列，且SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．2023B．2024C．SKIPIF1<0D．1012【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0为正项等比数列，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以两式相加可得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：A.【变式4-1】（2023·山东潍坊·高三安丘市第一中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0为等比数列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，利用课本中推导等差数列前SKIPIF1<0项和的公式的方法，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．2017C．4034D．8068【答案】C【解析】用倒序相加法：令SKIPIF1<0①则也有SKIPIF1<0②由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，于是由①②两式相加得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C【变式4-2】（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：D．【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0①，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②，①－②得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0仍然成立，∴SKIPIF1<0．∴当n=1时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当n=1时，上式也成立，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【变式4-4】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①－②得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，又∵SKIPIF1<0∴①＋②得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.【题型5错位相减法求数列前n项和】满分技巧1、解题步骤2、注意解题“3关键”①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．3、等差乘等比数列求和，令SKIPIF1<0，可以用错位相减法．SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0．整理得：SKIPIF1<0．【例5】（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0是等差数列.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0是等差数列，记其公差为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【变式5-1】（2023·青海·校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由已知，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，成立，综上可知，SKIPIF1<0；（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0【变式5-2】（2023·山东泰安·高三统考期中）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）记SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是公差为2，首项为SKIPIF1<0的等差数列.SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）当SKIPIF1<0时，也符合，所以SKIPIF1<0【变式5-3】（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）依题意，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是以2为公差的等差数列.而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的首项为3，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.（2）由（1）可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0也满足该式，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两式相减得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0【变式5-4】（2023·江苏南京·高三期末）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且对任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（1）设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0是等差数列；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因为对任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0替换SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列；（2）令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以由（1）得，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，公差为SKIPIF1<0的等差数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0①，则SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0.【题型6裂项相消法求数列前n项和】满分技巧1、用裂项法求和的裂项原则及规律（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．2、裂项相消法中常见的裂项技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【例6】（2023·四川南充·统考一模）已知数列SKIPIF1<0是首项为2的等比数列，公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前2023项和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是首项为2的等比数列，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的前2023项和SKIPIF1<0.【变式6-1】（2023·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是n、SKIPIF1<0的等差中项，SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0是等比数列；（2）设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中项，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相减可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列；（2）由（1）可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式6-2】（2023·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0也适合上式，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【变式6-3】（2023·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）已知正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，试比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，并加以证明.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，证明见解析【解析】（1）因为SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0为正项数列，所以SKIPIF1<0．由累加法得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0．证明如下：由题意及（1）可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．两式相减，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【变式6-4】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）设SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析.【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0符合SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【题型7含绝对值数列的前n项和】【例7】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，也满足上式．故SKIPIF1<0．（2）由（1）可知：SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0，设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上：SKIPIF1<0【变式7-1】（2023·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0的公差为整数，SKIPIF1<0，设其前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，依题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0经检验满足题意.（2）依题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.【变式7-2】（2023·重庆·高三重庆市第七中学校校考阶段练习）已知SKIPIF1<0是正项等比数列.SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）当SKIPIF1<0为递增数列，设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0