新高考数学二轮复习热点4-1 平面向量的概念 线性运算与基本定理（6题型+满分技巧+限时检测）（解析版）

热点4-1平面向量的概念、线性运算与基本定理平面向量属于高考的必考内容。纵观近几年的高考情况，主要以选择题及填空题的形式出现，向量的线性运算、基本定理以及坐标运算属于热门考点。同时也作为工具，与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等。预计2024年的高考对于这部分内容考察主要还是以小题为主，若出题大概率以题的形式出现。【题型1平面向量的基本概念辨析】满分技巧解决向量概念问题的关键点1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关．3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量．4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．5、非零向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0方向上的单位向量，因此单位向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0方向相同．6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小．7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件．【例1】（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是非零向量，下列四个条件中，能使SKIPIF1<0一定成立的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0同向.对于A:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方向相反,A选项错误；对于B:SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0,不能得出方向，B选项错误；对于C:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0方向向相同,则SKIPIF1<0成立，C选项正确；对于D:SKIPIF1<0,不能确定SKIPIF1<0的方向，D选项错误，故选：C．【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向相反B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向相同C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】对于A，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向相同，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向相反，故A不正确；对于B，显然SKIPIF1<0，即B正确；对于C，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0与1的大小不确定，故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系不确定，故C不正确；对于D，SKIPIF1<0是向量，而SKIPIF1<0表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．故选：B【变式1-2】（2023·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考阶段练习）（多选）下列说法中不正确的是（）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为单位向量，则SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0是与非零向量SKIPIF1<0共线的单位向量【答案】BC【解析】对于A，根据零向量的定义，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A正确；对于B，当SKIPIF1<0时，显然SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，但是零向量的方向是任意的，所以不一定有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故B错误；对于C，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0为单位向量，但SKIPIF1<0，故C错误；对于D，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为单位向量，由SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，即SKIPIF1<0是与非零向量SKIPIF1<0共线的单位向量，故D正确，故选：BC.【变式1-3】（2023·重庆沙坪坝·高三南开中学校考阶段练习）（多选）已知非零向量SKIPIF1<0，下列命题正确的是（）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．与向量SKIPIF1<0共线的单位向量是SKIPIF1<0C．“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是锐角”的充分不必要条件D．若SKIPIF1<0是平面的一组基底，则SKIPIF1<0也能作为该平面的一组基底【答案】AD【解析】对于A，非零向量SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得存在非零实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，A正确；对于B，与SKIPIF1<0共线的单位向量是SKIPIF1<0，B错误；对于C，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向共线时，满足SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为0，不是锐角，C错误；对于D，SKIPIF1<0是平面的一组基底，则SKIPIF1<0不共线，假设向量SKIPIF1<0共线，则存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0不同时为0，于是SKIPIF1<0共线，与SKIPIF1<0不共线矛盾，即假设是错的，因此向量SKIPIF1<0不共线，D正确.故选：AD【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）（多选）给出下列命题，不正确的有（）A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B．若A，B，C，D是不共线的四点，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，则四边形ABCD为平行四边形C．SKIPIF1<0的充要条件是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0D．已知λ，μ为实数，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线【答案】ACD【解析】A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当SKIPIF1<0且方向相反时，即使SKIPIF1<0，也不能得到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可以为任意向量，满足SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不一定共线，故选:ACD.【题型2平面向量的线性运算】满分技巧向量的运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（1）平面四边形法则：平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（2）三角形法则：两箭头间向量是差，箭头与箭尾向量是和；（3）平面向量多边形法则：一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即SKIPIF1<0。特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．【例2】（2023·北京·高三北京市第三十五中学校考期中）在等腰梯形ABCD中，SKIPIF1<0，M为BC的中点，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为在等腰梯形ABCD中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,因为M为BC的中点，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故选:B.【变式2-1】（2023·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．7B．6C．5D．4【答案】C【解析】由题意及图可得，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：C．【变式2-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）（多选）如图是一个正六边形SKIPIF1<0，下列说法正确的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】对A，SKIPIF1<0，故A正确；对B，由图易得SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0平分角SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为正三角形，根据平行四边形法则有SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0共线且同方向．易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为含SKIPIF1<0角的直角三角形，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故B正确；对C，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C错误；对D，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0，故D正确．故选：ABD．【变式2-3】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为对角线SKIPIF1<0上靠近点SKIPIF1<0的三等分点，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】易知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A【变式2-4】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0的中点为D，点E在SKIPIF1<0所在平面内，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．7B．6C．3D．2【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：A．【题型3平面向量共线定理及应用】满分技巧1、证明向量共线：若存在实数λ，使SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与非零向量SKIPIF1<0共线；2、证明三点共线：若存在实数λ，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有公共点A，则A，B，C三点共线；3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值【例3】（2022·四川绵阳·统考二模）已知平面向量a，b不共线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线【答案】D【解析】对A，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，A错误；对B，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，B错误；对于C，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，C错误；对于D，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确，故选：D.【变式3-1】（2023·陕西铜川·高三校考期末）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0（）A．在直线SKIPIF1<0上B．在直线SKIPIF1<0上C．在直线SKIPIF1<0上D．为SKIPIF1<0的外心【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0共线，因为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公共端点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三点共线，所以点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，故选：A【变式3-2】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）已知平面向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为（）A．1B．SKIPIF1<0C．1或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0均不为零向量，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故选：C．【变式3-3】（2024·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0分别于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0三点共线知，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.【变式3-4】（2024·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上的中线，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】如图所示，由SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点，得到SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．【题型4平面向量基本定理及应用】满分技巧平面向量基本定理的实质及解题思路1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量的间的关系；2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。注意同一向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解是唯一的。【例4】（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）在SKIPIF1<0中，点D，E分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．两式相减，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：D．【变式4-1】（2024·全国·高三专题练习）设向量SKIPIF1<0是平面内一个基底，且SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0可以用另一个基底SKIPIF1<0表示，即SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0不共线，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【变式4-2】（2023·江苏南通·高三如东高级中学校考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不共线的向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不共线的向量，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C【变式4-3】（2024·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）直角梯形SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0为直角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．1D．2【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.【变式4-4】（2023·安徽蚌埠·高三固镇县第二中学校考阶段练习）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0上的动点.（1）证明：SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0的中点时，用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0.【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）因为SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0上的动点，所以存在SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.【题型5平面向量的坐标运算】满分技巧1、向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用。2、平面向量共线的坐标表示问题的解题策略：（1）如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的充要条件是SKIPIF1<0”；（2）在求与一个已知向量SKIPIF1<0共线的向量时，可设所求向量为SKIPIF1<0【例5】（2023·江苏·高三海安高级中学校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上的高，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：B【变式5-1】（2024·陕西西安·统考一模）已知平面向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则实数SKIPIF1<0．【答案】2【解析】SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【变式5-2】（2024·北京大兴·高三统考期末）设向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D【变式5-3】（2024·河北保定·高三阜平中学校联考期末）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A.【变式5-4】（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形SKIPIF1<0中，动点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，到达SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，建立平面直角坐标系，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0综上，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：B【题型6向量运算在几何中的应用】满分技巧利用向量运算解决几何问题时由两种方法：一几何法：利用向量的线性运算求解几何关系；二坐标法：根据题设条件建立合适的直角坐标系，通过坐标运算解决。【例6】（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）若O是SKIPIF1<0所在平面内的一点，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形【答案】D【解析】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，两边平方，化简得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为直角三角形.因为SKIPIF1<0不一定等于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不一定为等腰直角三角形，故选：D.【变式6-1】（2023·黑龙江绥化·高三校考期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等边三角形．故选：A．【变式6-2】（2024·山东菏泽·高三鄄城县第一中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0的面积为24，平面SKIPIF1<0中的点SKIPIF1<0分别满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（）A．7B．8C．9D．10【答案】A【解析】如图，由题意，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：A．【变式6-3】（2024·河南焦作·高三统考期末）已知SKIPIF1<0所在平面内一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0的面积的（）A．5倍B．4倍C．3倍D．2倍【答案】A【解析】设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的五等分点，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0的面积的5倍．故选：A.【变式6-4】（2023·陕西铜川·高三校考期末）如图，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．（1）用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；（2）求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分点，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0（建议用时：60分钟）1．（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0为单位向量，下列命题中：①若SKIPIF1<0为平面内的某个向量，则SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，假命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时SKIPIF1<0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）下列各式化简结果正确的是（）A．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝0D．SKIPIF1<0－SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0【答案】B【解析】对A，SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，A错误；对B，SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0,B正确；对C，SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，C错误；对D，SKIPIF1<0－SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0,D错误；故选:B.3．（2024·广东广州·仲元中学校考一模）已知在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：A.4．（2024·江苏南京·金陵中学校考模拟预测）如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，对于A项，显然SKIPIF1<0与SKIPIF1<0方向不一致，所以SKIPIF1<0，故A项错误；对于B项，由图知SKIPIF1<0是钝角，则SKIPIF1<0，故B项错误；对于C项，由题意知点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，则易得：SKIPIF1<0,即得：SKIPIF1<0，故C项正确；对于D项，由SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0与SKIPIF1<0显然不共线，故SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0项错误，故选：C．5．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为单位向量，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为单位向量，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0同向共线时取等号，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，反之，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线并且方向相反时，SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线”的充分不必要条件，A正确，故选：A6．（2023·北京朝阳·高三统考期中）已知平面内四个不同的点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．3【答案】D【解析】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D.7．（2023·陕西西安·高三统考阶段练习）在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C8．（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为SKIPIF1<0.如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的黄金分割点，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意得SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D9．（2023·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知平面四边形SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，平面内点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如图，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，在平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0相似于SKIPIF1<0相似比为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，故选:B.10．（2023·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考期中）已知P，Q分别为SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点C的坐标为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由P，Q分别为SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以点C的坐标为SKIPIF1<0，故选：A11．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．4B．SKIPIF1<0C．2D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：D12．（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考开学考试）设向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数m的值为（）A．SKIPIF1<0B．2C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数m的值为SKIPIF1<0，故选：D13．（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．3B．-1C．2D．4【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：A.14．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）在直角梯形ABCD中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E为BC边上一点，且SKIPIF1<0