2022年高中数学北师大版必修第一册：第七章 单元测试

第七章测评

（时间:120分钟满分:150分）

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.下列事件是必然事件的是（）

A.连续两次掷一枚硬币,两次都出现正面向上

B.异性电荷相互吸引

C.在标准大气压下，水在1℃时结冰

D.任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数

H丽四个选项都是随机事件,根据定义可知B选项是必然事件.故选B.

ggB

2.（2020河北高二期末）将红、黑、蓝、白5张纸牌（其中白纸牌有2张）随机分发给甲、乙、丙、丁4

个人,每人至少分得1张，则下列两个事件为互斥事件的是（）

A.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”

B.事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”

C.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”

D.事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”

解相对于A,事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”可以同时发生，不是互斥事件;对于B,事

件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”可能同时发生，不是互斥事件;对于D,事件“甲分得2张

白牌”与事件“乙分得1张黑牌”能同时发生，不是互斥事件;但C中的两个事件不可能同时发生，是互

斥事件，故选C.

H]c

3.一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：

组(0,(10,(20,(30,(40,(50,(60,

别10]20]30]40]50]60]70]

频

1213241516137

数

则样本数据落在（10,40]上的频率为（）

A.0.13B.0.39C.0.52D.0.64

解丽由题意可知频数在（10,40]的有13+24+15=52,由频率=频数r总数可得0.52.故选C.

H]c

4.某大学外语系有6名志愿者，其中志愿者422。只通晓英语,志愿者BI,BZ,B3只通晓俄语.现从这6

名志愿者中选出2名，组成一个能通晓两种语言的小组，则C被选中的概率为（)

|解析|从这6名志愿者中选出2名组成通晓两种语言的小组的样本点为

(4,BI),(AI,&),(4I,&),(A2,8I),(A2,&),(A2,B3),(C,BI),(C,&),(C,B3),共有9个.其中C被选中的样本点有

Q1

(C,BI),(C,B2),(C,B3),^3个，所以所求概率为怖=今故选C.

H]c

5.(2020吉林实验高二期末)已知随机事件A,8,C中鼻与8互斥,8与C对立，且P(A)=0.3,尸(0=0.6,则

尸(A+B)=()

A.0.3B,0.6C.0.7D.0.9

解析|因为尸(。=0.6,事件B与C对立，所以P(B)=0.4,又尸(A)=0.3,A与B互斥，所以

尸(A+B)=尸(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7,故选C.

H]c

6.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件4="第一枚硬币正面向上"，事件8="第二枚硬币正面向上“，则

()

A.事件A与事件B互为对立事件

B.事件A与事件B为互斥事件

C.事件A与事件B相等

D.事件A与事件B相互独立

画抛掷两枚质地均匀的硬币，事件A发生与否与事件B无关，事件8发生与否与事件A无关，所以

事件A与事件8相互独立.故选D.

H]D

7.法国有个名人叫作布莱尔・帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个问题，他们说,他们下

赌金之后,约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金700法郎，赌了半天,甲赢了4局,乙赢了3局,时间很

晚了，他们都不想再赌下去了.假设每局两赌徒输赢的概率各占今每局输赢相互独立,那么这700法郎

如何分配比较合理()

A.甲400法郎，乙300法郎

B.甲500法郎，乙200法郎

C.甲525法郎，乙175法郎

D.甲350法郎，乙350法郎

隆丽假定再赌一局，甲获胜的概率为《若再赌两局，甲才获胜的概率为：x=',所以甲获胜的概率为

；+：=所以甲应分得700x)=525(法郎)，乙应分得700x；=175(法郎).故选C.

42444

ggc

8.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，和士且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的

次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击,则停止射击时，甲射击了两次的概率是()

A?B—C—D19

202580400

解机击中目标时甲射击了两次包括甲乙第一次均未击中、甲第二次击中，及甲前两次均未击中、乙

第二次才击中，所以其概率为尸=3卜|+卜/也拉磊+焉=悬故选D.

居D

二'多项选择题(每小题5分，共20分)

9.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，则下列不是对立事件的为()

A.恰有1名男生和恰有2名男生

B.至少有1名男生和至少有1名女生

C.至少有1名男生和全是男生

D.至少有1名男生和全是女生

WgA是互斥事件,不是对立事件，理由:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质选出的是“1名男

生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件，但其并事件不是必然事

件，所以不是对立事件.B不是互斥事件，从而也不是对立事件.理由“至少有1名男生”包括“1名男

生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是

女生”两种结果，它们可同时发生.C不是互斥事件，从而也不是对立事件,理由广至少有1名男生”包括

“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生.D是互斥事件,也是对立事件.理

由广'至少有1名男生”包括T名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能

同时发生，且其并事件是必然事件，所以是对立事件.故选ABC.

答案|ABC

10.(2020辽宁高一期末)下面结论正确的是()

A.若P(A)+P(B)=1,则事件A与B互为对立事件

B.若尸(AB)=P(A)尸(B),则事件A与B是相互独立事件

C.若事件A与B是互斥事件，则A与互也是互斥事件

D.若事件A与B是相互独立事件，则A与耳也是相互独立事件

解析|对于A选项，要使A,B为对立事件，除尸(4)+尸(8)=1还需满足尸(A8)=0,也即A,B不能同时发生，

所以A选项错误.对于B选项，根据相互独立事件的知识可知,B选项正确.对于C选项2包含于瓦所

以A与耳不是互斥事件，所以C选项错误.对于D选项，根据相互独立事件的知识可知,D选项正确.故

选BD.

答案|BD

11.下列概率模型是古典概型的为()

A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小

B.同时掷一次两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率

C.近三天中有一天降雨的概率

D.10人站成一排，其中甲,乙相邻的概率

解祠古典概型的特点:⑦■-次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性;算个样本点发生的可

能性是均等的，即等可能性.显然A,B,D符合古典概型的特征，所以A,B,D是古典概型;C选项,每天是

否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性,不是古典概型.故选ABD.

|答案［BD

12.从甲袋中摸出一个红球的概率是《从乙袋中摸出一个红球的概率是今从两袋各摸出一个球,下列结

论正确的是()

A.2个球都是红球的概率为:

B.2个球不都是红球的概率为争

C.至少有1个红球的概率为|

D.2个球中恰有1个红球的概率为2

廨函设“从甲袋中摸出一个红球”为事件4,“从乙袋中摸出一个红球”为事件4,则P(4)=指尸(4尸今

111

且44独立.在A中,2个球都是红球为44,其概率为3x：=正确;在B中,“2个球不都是红球”

D2O

是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为各B错误;在C中,2个球中至少有1个红球的概率为1-

O

——91911911

尸⑷尸(B)=l《x|=j,C正确;2个球中恰有1个红球的概率为右x1+|xj=1,D正确.故选ACD.

|答案|ACD

三、填空题(每小题5分，共20分)

13.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.04,出现丙

级品的概率为0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为.

隧丽记事件A=｛抽得甲级品｝,2=｛抽得乙级品｝,C=｛抽得丙级品｝，因为事件A,3,C互为互斥事件，且三

个事件对立，所以抽得正品即为抽得甲级品的概率为尸(A)=l-P(8)-P(O=0.95.

答案|。95

14.(2020江苏高三专题练习)电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是:立德树

人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力.某参赛队从中任选2个

主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是.

解画从5个版块中任选2个主题共有10个样本点，而“立德树人”主题被该队选中包含4个样本点，故

所求概率为4=0.4.

gg0.4

15.某学校进行足球选拔赛,有甲、乙、丙、丁四个球队，每两队要进行一场比赛,开始记分规则为:胜

一场得3分，平一场得1分，负一场得。分，甲胜乙、丙、丁的概率分别是050.6,0.8,甲负乙、丙、丁

的概率分别是0.3,020.1,最后得分大于等于7胜出，则甲胜出的概率为.

解相两队比赛，一队胜、平、负是互斥事件，因此由题意甲平乙、丙、丁的概率分别是0.2,020.1,所

以甲胜的概率为尸=0.5x0.6x0.8+0.5x0.6x0.1+0.5x0.2x0.8+0.2x0.6x0.8=0.446.

答案0.446

16.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰.已

知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为之且各轮问题能否正确回答互不影响,

则该选手被淘汰的概率为.

暖丽记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件A(i=l,2,3),则尸(AI)="(A2)=|,尸(&)=|.

则该选手被淘汰的概率为P=P(W+4灰+44灰尸尸(不)+P(4)P(五)+P(4)P(A2)尸(五)="+gx

2.433101

5+5X5X5=n5'

L^^25

四'解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)(2020山西高一期末)从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如

下表所示:

遇到6个及

红6

012345

灯个个以

数上

概率0.020.1a0.350.20.10.03

⑴求表中字母a的值；

(2)求至少遇到4个红灯的概率；

(3)求至多遇到5个红灯的概率.

回⑴由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2.

(2)设事件A为遇到红灯的个数为4,事件B为遇到红灯的个数为5,事件C为遇到红灯的个数为

6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为AUBUC,因为事件A,B,C互斥,所以尸(AUBU

O=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+(M+0.03=0.33,即至少遇到4个红灯的概率为0.33.

(3)设事件。为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件万.则P(万)=1-尸(0)=1-

0.03=0.97.

18.(12分)盒子里放有外形相同且编号为1,2,3,4,5的五个小球，其中1号与2号是黑球,3号、4号与5

号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次.

(1)求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；

(2)求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.

版由题知，共有25个样本点，

12

(1)2个球中恰好1个黑球为13,14,15,23,24,25,再交换一下，共有12个样本点,故概率

(2)取到的2个球中至少有1个是红球的对立事件为没有一个红球,即全是黑球为11,12,21,22,共

4个样本点，即尸

19.(12分)(2020全国1,文17)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位:件)按标准分为

A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元,50

元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲

分厂加工成本费为25元/(牛,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在

两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级

的频数分布表

等

ABCD

级

频

40202020

数

乙分厂产品等级

的频数分布表

等

ABCD

级

频

28173421

数

(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承

接加工业务？

m(1)由试加工产品等级的频数分布表知，

甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为编=0.4;

乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为需=0.28.

(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

-

利

润6525-5

75

频

40202020

数

因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为

65x40+25x20-5x20-75x20--

--------------W0--------------=15.

由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

利

70300

润70

频

28173421

数

因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为

70x28+30x17+0x34-70x211八

---------135---------=10-

比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利-润,应选甲分厂承接加工业务.

20.(12分)某单位开展岗前培训期间，甲、乙2人参加了5次考试，成绩统计如下:

lr第二第三第四第五

1次次次次

甲的成

8282799587

绩

乙的成

9575809085

绩

(1)根据有关统计知识回答问题:若从甲、乙2人中选出1人上岗，你认为选谁合适?请说明理由；

(2)根据有关概率知识解答以下问题:若一次考试两人成绩之差的绝对值不超过3分，则称该次考试两

人“水平相当”.由上述5次成绩统计，任意抽查两次考试，求至少有一次考试两人“水平相当”的概率.

回⑴甲的平均成绩为元甲=82+82+^+95+87=85,乙的平均成绩为元乙=95+75+弋+90+85=85,

故甲、乙二人的平均水平一样.

-15

甲的成绩的方差为4=g£(加亚申)2=316

甲5』甲

-15

乙的成绩的方差为s；=微£。广元乙)2=50,

・：s备＜sL，故应派甲合适.

(2)从5次考试的成绩中，任意取出2次，所有的样本点有10个，其中，满足至少有一次考试两人“水

平相当”的有:(79,80)和(87,85)、(79,80)和(82,95)、(79,80)和(82,75)、(79,80)和(95,90)、(87,85)和

7

(82,95)、(87,85)和(82,75)、(87,85)和(95,90),共有7个样本点，故所求事件的概率等于行

21.(12分)(2020辽宁高一期末)某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是

同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲、乙两队进行比赛,甲队每场获胜的概率为方且各场比

赛互不影响.

(1)若采用三局两胜制进行比赛，求甲队获胜的概率；

(2)若采用五局三胜制进行比赛，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率.

解设4(i=l,2,3,4,5)表示甲队在第i场比赛获胜.

⑴所求概率为尸(A1A2)+P(A而4)+「(狠2A3)=(|"+|x(1)2x2=各

--------------------------91^1162

(2)所求概率为P^A^A^+P^A^A^+P^A2A3A4)=^X1,3*3=黑.

22.(12分)(2020内蒙古高二期末)在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的

主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.甲镇有基层干部60人，乙镇有基层干部60人，丙镇

有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层随机抽样，从甲、乙、丙三镇共选20名基层干

部,统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成［5,15),［15,25),［25,35),［35,45),［45,55］5组，绘制成如

图所示的频率分布直方图.

频率

W

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

51525354555走访数量/户

(1)求这20人中有多少人来自丙镇，并估计甲、乙、丙三镇的基层干部走访贫困户户数的中位数(精

确到整数位)；

(2)如果把走访贫困户达到或超过35户视为工作出色，求选出的20名基层干部中工作出色的人数，并

从中选2人做交流发言，求这2人中至少有一人走访的贫困户在［45,55］的概率.

觎(1)20人中来自丙镇的有RI%X80=8(人).

11OU十OU十。U

设中位数为入户.

r(0.015+0.025)xl0=0.4<0.5,0.4+0.030xl0=0.7>0.5,

.：估计中位数工£［25,35).

(x-25)x0.030=0.1,.328.33=28.

(2)20名基层干部中工作出色的人数为(0.020+0.010)x10x20=6,其中，走访户数在［35,45)的有

0.02x10x20=4(人)，设为〃力,c,d,走访户数在［45,55］的有0.01x10x20=2人，设为e工从6人中抽取2人

有3力),(％),3,欧31),33,(瓦。,(仇公(仇6),30(4公(6以(。沿,3«),(弱),(6力共15个样本点，其中2人

走访贫困户都在［35,45)的有(〃力),(〃,o),3/),(九0),(46?),3/),共6个样本点.故所求概率「二与怖=|-

第八章数学建模活动(一)

§1走近数学建模§2数学建模的主要步骤

§3数学建模活动的主要过程

【内容概述】

数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问

题的过程.主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、确定

参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题.数学建模活动是基于数学思维运用模型

解决实际问题的一类综合实践活动.

【数学建模】

数学建模的基本过程如下：

।实^■情境।

T

।提出问题।

---------

।建模型।

I

।求解模型।

不合乎实际

।实隔果I

数学建模活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程.具

体表现为:发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案,通过自

主探索、合作研究论证数学结论.

【建模案例】测量学校内、外建筑物的高度

【目的】运用所学知识解决实际测量高度问题，体验数学建模活动的完整过程.组织学生通过分

组、合作等形式，完成选题、开题、做题、结题四个环节.

【情境】给出下面的测量任务：

（1）测量本校的一座教学楼的高度；

（2）测量本校的旗杆的高度；

（3）测量学校院墙外的一座不可及，但在学校操场上可以看得见的物体的高度.

可以每2〜3个学生组成一个测量小组，以小组为单位完成，并填写测量报告表.

测量课题报告表

项目名称：完成时间:

1.成员与分工

姓名|分工

2.测量对象

例如,某小组选择的测量对象是:旗杆、教学楼、校外

的大厦.________________________________________

3.测量方法（请说明测量原理、测量工具、创新点等）

4.测量数据、计算过程或结果（可以另外附图或附页）

5.研究结果（包括误差分析）

6.简述工作感受

【活动过程】

教师可以对学生的工作流程提出如下要求和建议:

(1)成立项目小组，确定工作目标，准备测量工具；

(2)小组成员查阅有关资料,进行讨论交流，寻求测量效率高的方法,设计测量方案(最好设计两套

测量方案)；

(3)分工合作，明确责任.例如，测量、记录数据、计算求解、撰写报告的分工等；

(4)撰写报告，讨论交流.可以用照片、模型、PPT等形式展现获得的成果.

根据上述要求，每个小组要完成以下工作：

⑴选题

⑵开题

可以在课堂上组织开题交流，让每一个项目小组陈述初步测量方案,教师和其他同学可以提出质

疑例如:

如果有学生提出要通过测量仰角计算高度，教师可以追问:怎么测量?用什么工具测量？目的是提

醒学生，事先设计出有效的测量方法和选用实用的测量仪器.

如果有学生提出要通过测量太阳的影长计算高度，教师可以追问:几时测量比较好?如果学生提出

比较测量物和参照物的影长时，教师可以追问:是同时测量好，还是先后测量好？目的是提醒学生注意

测量的细节.

如果有学生提出用照相机拍一张测量对象和参照物(如一个已知身高的人)的合影，通过参照物的

高度按比例计算出楼的高度.教师可以追问:参照物应该在哪里?与测量对象是什么位置关系？目的是

提醒学生注意现实测量与未来计算的关联.

在讨论的基础上，项目小组最终形成各自的测量方案.讨论的目的是让学生仔细想清楚测量过程

中将使用的数学模型，这样可以减少实践过程中的盲目性，培养学生良好的思维习惯;同时可以让学生

意识到，看似简单的问题,也有许多认真思考、认真对待的东西，促进科学精神的形成.

(3)做题

依据小组的测量方案实施测量,尽量安排各个小组在同一时间进行测量，这样有利于教师的现场

观察和管理.老师需要提醒学生:要有分工、合作、责任落实到个人.

在测量过程中，老师要认真巡视,记录那些态度认真、合作默契、方法恰当的测量小组和个人，供

讲评时使用.特别要注意观察和发现测量中出现的问题，避免因测量方法不合理产生较大误差,当学生

出现类似问题时,教师要把问题看做极好的教育契机，启发学生分析原因，引导他们发现出问题的原

因，寻求解决问题的办法.

(4)结题

在每一位学生都完成了“测量报告，，后，可以安排一次交流讲评活动,遴选的交流报告最好有鲜明

的特点，如测量结果准确,过程完整清晰，方法有创意，误差处理得当，报告书写规范等;或者测量的结果

出现明显误差，使用的方法不当.交流讲评往往是数学建模活动中最为重要的环节，可以使学生在这一

过程中相互借鉴，共同提高.

【建立模型】

测量不可及“理想大厦”的方法

L两次测角法

(1)测量并记录测量工具距离地面hm-

(2)用大量角器，将一边对准大厦的顶部，计算并记录仰角a;

(3)后退am,重复(2)中的操作，计算并记录仰角£;

(4)楼高x的计算公式为尤=警鬻+/7,

tana-tan^

其中如图所示.

两次测角法示意图

2.镜面反射法

(1)将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能够看到房顶的位置，测量人与镜子的距离；

(2)将镜子后移am,重复(1)中的操作；

(3)楼高尤的计算公式为芯=0.

其中匹。2是人与镜子的距离,。是两次观测时镜面之间的距离也是人的“眼高”，如图所示.根据光

的反射原理，利用相似三角形的性质联立方程组,可以得到这个公式.

镜面反射法示意图

【检验结果】

记录实际测量数据并计算结果,测量误差简要分析.

(1)两次测角法--

实际测量数据：1r1r

仰

67°52°

角

后退距离为2