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文档简介
2019-2020学年高二上学期期末数学试卷
一、选择题
1.直线2x-3y-6=0在y轴上的截距为()
A.2B.-2C.3D.-3
2.圆心为C(-1,1),半径为2的圆的方程为()
A.x+y+2x-2y-2=0B.x+y-2^+2y-2=0
C.?+2x-2y=。D.f+夕-2A+2y=0
3.抛物线y=2〃的焦点坐标是()
A.(0,B.0)C.(0,D.0)
4.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题:有厚
墙尺,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;
小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半,问两鼠在第几天相遇?()
A.第2天B.第3天C.第4天D.第5天
22
5.A,8是双曲线2的左、右顶点,"为双曲线上异于4,8的一点,则直线外,
916
阳的斜率之积为()
A.AB.工C.独D.且
161699
6.已知等差数列{aj前〃项的和为£,若$=27,曷。=8,则跖=()
A.154B.153C.77D.78
7.已知直线A:3侬+(M2)y+3=0,/2:(加-2)肝(研2)八2=0,且1\///2,则加的
值为()
A.-1B.—C.工或-2D.-1或-2
22
SgSQ
8.设等比数列{d}的前77项和为£,若U=3,()
S3S6
A.2B.—C.—D.3
33
9.已知抛物线G:J=4x的焦点为尸,。为抛物线上一点,连接尸并延长交抛物线的准线于
点、p,且点尸的纵坐标为负数,若内|PQ|=2|QF|,则直线所的方程为()
A.V3x-y-Vs=0B.V3x+y-V3=0
C.V3x+y_VI=O^.Vsx+y-V3=0D.x41y-l=0
10.等差数列{a.}的前"项和为£,公差为4则()
A.d<0,&随"的增大而减小
B.cf>0,£随〃的增大而增大
C.d<Q,除2-£随〃的增大而增大
D.cf>Q,%2-S随"的增大而增大
11.数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条
直线称为欧拉线.已知△腕的顶点/(2,0),B(0,4),若其欧拉线的方程为x-
八2=0,则顶点C的坐标为()
A.(-4,0)B.(-2,-2)C.(-3,1)D.(-4,-2)
222
12.设厂是椭圆。与送k=1(a>6>0)的一个焦点,。是。上的点,圆必|^=且一与
a2b29
直线所交于A,8两点,若4,8是线段炉的两个三等分点,则C的离心率为()
A.返B,返C.&D.叵
3345
二、填空题(本大题共4小题)
13.平行线人:3*-2y-5=0与/2:6x-4八3=0之间的距离为.
14.已知抛物线/=4x的一条弦四恰好以/<1,1)为中点,则弦/所在直线方程是.
22
15.已知圆C:4+,-10尸16=0上有且仅有三个点到双曲线¥-%=1(a>0,6>0)的
一条渐近线的距离为1,则该双曲线的高心率为.
16.数列{&}的前〃项和为&,且满足(.-4)2+2=3(而-4),且取=1,则Soo的
最小值为.
三、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知双曲线的焦点为月(-4,0),R(4,0),且该双曲线过点P(6,2或).
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若双曲线上的点“满足炳"L伤,求△炳木的面积.
18.在平面直角坐标系中,设直线A+y-kO(〃GR)与圆0:〃+2=8交于不同两点4,B.
(1)求实数〃的取值范围;
(2)若圆上存在点C使得△/8C为等边三角形,求实数m的值.
19.已知{a〃}是公比为整数的等比数列,a=9,且a“含+6,合成等差数列.
(1)求数列{a.}的通项公式;
(2)若6=(4n-1)a„(〃WN*),求数列{4}的前〃项和S.
20.已知直线y=2x-〃与抛物线C:/=2px(p>0)交于点4,B.
(1)〃=p且|48|=5,求抛物线C的方程;
(2)若/w=4p,求证:O/U08(0为坐标原点).
21.甲、乙两大超市同时开业,第一年的全年销售额为a万元,由于经营方式不同,甲超
市前"年的总销售额为卷(户-"2)万元,乙超市第"年的销售额比前一年销售额多
nn-1
a(y)万元•
(I)求甲、乙两超市第〃年销售额的表达式;
(II)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一
超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?
22
22.已知为分别为椭圆C:—+^-=1(6>0)的左右焦点.
4b2
(1)当6=1时,点?为椭圆,上一点且P位于第一象限,若PF「PF'==,求点P
1/4
的坐标;
,2
(2)当椭圆焦距为2时,直线y=4A+m交椭圆C交于4,8两点,且用koB=-——,
4
判断△/1丝的面积是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四项中,只有一项
是符合题目要求的)
1.直线2x-3y-6=0在y轴上的截距为()
A.2B.-2C.3D.-3
【分析】直线ax+6j+c=0中,令x=0,得直线在y轴上的截距为-£■.
b
解:直线2x-3y-6=0,
令x=0,得y==-2.
直线2x-3y-6=0在y轴上的截距为-2.
故选:B.
2.圆心为C(-1,1),半径为2的圆的方程为()
A.x+y+2x-2y-2=0B.x+y-2x^2y-2=0
C.x+y+2x-2y=0D.^+y-2x+2y=0
【分析】由题意先求出圆的标准方程,再把它化为一般方程,可得结论.
解:圆心为C(-1,1),半径为2的圆的方程为(/1)2+(y-1)-4,即4+/+2x
-2y-2=0,
故选:A.
3.抛物线y=2l的焦点坐标是()
A.(0,B.0)C.(0,D.0)
【分析】将抛物线化为标准方程,结合抛物线的性质,可得答案.
解:抛物线y=2f的标准方程为:x=-^-y9
故抛物线*=2胃的焦点坐标是(0,1),
8
故选:C.
4.我国古代数学典籍《九章算术》第七聿“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题:有厚
墙尺,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;
小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半,问两鼠在第几天相遇?()
A.第2天B.第3天C.第4天D.第5天
【分析】利用已知条件,逐步求出结果即可.
解:第一天:大老鼠与小老鼠的打洞尺数:1+1=2;
第二天:大老鼠与小老鼠的打洞尺数:2+0.5=2.5,两天总和:2+2.5=4.5,
第三天:大老鼠与小老鼠的打洞尺数:4+0.25=4.25,厚墙5尺,第3天不足打洞尺数,
所以两鼠在第3天相遇
故选:B.
5.A,8是双曲线工__2_=1的左、右顶点,P为双曲线上异于4,8的一点,则直线〃,
916
阳的斜率之积为()
【分析】求出48坐标,设出",利用已知条件,列出关系式,求解即可.
解:A,8是双曲线2__2_=1的左、右顶点,所以4(-3,0),B(3,0),
916
222
设。(m,n),则:双曲线皿—H_=],所以〃2=.16(m.二9)
9169
216(&2-9)
直线以,阳的斜率之积:一】•一==-§—=9=孕.
m+3m-312-*9F7-9
mm-9
故选:C.
6.已知等差数列{aj前〃项的和为£,若S=27,曷。=8,则治=()
A.154B.153C.77D.78
9X(ai+aa)
【分析】根据题意,由&=-----------工—=9a=27,解可得比=3,又由$4=
2
14X(ai+a“)14X(ar+ain)
114,=、5"10’计算可得答案.
22
9X(\+aQ)
解:根据题意,等差数列{a〃}中,若£=27,即&=-----1_J=9备=27,解可得
2
a=3,
14X(a1+a14)14X(ac+ain)
又由各0=8,则&4=_______1___"一=________2__幺=77,
22
故选:C.
7.已知直线A:3m/(府2)>+3=0,/2:(勿-2)/(府2)六2=0,且1\///2,则m的
值为()
A.一1B.—C.工或一2D.一1或一2
22
【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解.
解::•直线A:3m/(府2)y*-3=0,/2:(勿-2)妙(研2)六2=0,且1\///2,
■3m_m+2>3
・•词=m+2户5
解得/77=-1.
故选:4
Sq
8.设等比数列{劣}的前"项和为£,若乎=3,贝寸三()
$3$6
A.2B.•C.1—D.3
33
【分析】首先由等比数列前"项和公式列方程,并解得/,然后再次利用等比数列前〃
项和公式则求得答案.
aj(1-q6)
解:设公比为q,则--a=上。=1+d=3,
S3aj(l-qJ)l-qJ
1-q
所以d=2,
s9_l-q9_l-23_7
所以•
S61-q61-223
故选:B.
9.已知抛物线C:V=4x的焦点为E。为抛物线上一点,连接尸并延长交抛物线的准线于
点、p,且点。的纵坐标为负数,若百|PQ|=2|QF|,则直线所的方程为()
A.Vsx-y-V3=0B.Fx+y-F=0
C.Mx+y-炳=旗Mx+y-炳=°D.x-\a-l=0
【分析】过点。作准线*=-1的垂线,垂足为题由抛物线的定义得1M=|明,从而
可求出直线炉的斜率,根据点斜式写出直线方程.
解:由题意,F(1,0),准线方程为:*=-1,
过点。作准线的垂线,垂足为“,
由点Q的纵坐标为负数可知点0在第一象限,
由抛物线的定义可得IM=I明,
vV3|PQl=2|QF|,
.|QM|_V3
*,1PQF^2',
:.ZMPQ=6Q°,从而直线炉的倾斜角为30°,斜率为
...直线炉的方程为:y=^-(x-l),即Xf/3y-l=o.
故选:D.
10.等差数列{a〃}的前"项和为S,公差为4则()
A.d<0,£随〃的增大而减小
B.d>0,S随〃的增大而增大
C.d<0,&2-£随"的增大而增大
D.(f>0,除2-£随"的增大而增大
【分析】根据题意,由等差数列的性质依次分析选项,综合即可得答案.
解:根据题意,依次分析选项:
对于4,Sn-S„.s=an,当a〃<0时,S随"的增大而减小,与d无关,4错误;
对于8,=当4>0时,£随〃的增大而增大,与d无关,8错误;
对于G,S*。-S产a*、+amz,当"V0时,等差数列{aj为递减数列,鼠2-£随〃的增大而
减小,C错误;
对于〃,SmLS.=am、+a*当d>0时,等差数列{aj为递增数列,除2-£随〃的增大而
增大,〃正确;
故选:D.
11.数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条
直线称为欧拉线.已知△脑的顶点4(2,0),B(0,4),若其欧拉线的方程为x-
齐2=0,则顶点C的坐标为()
A.(-4,0)B.(-2,-2)C.(-3,1)D,(-4,-2)
【分析】设出点C的坐标,由重心坐标公式求得重心,代入欧拉线得一方程,求出AB
的垂直平分线,和欧拉线方程联立求得三角形的外心,由外心到两个顶点的距离相等得
另一方程,两方程联立求得点C的坐标.
解:设C(m,ri),由重心坐标公式得,
三角形48C的重心为(萼,竽),
JO
代入欧拉线方程得:2也-生口+2=0,
33
整理得:加-"4=0①
4-n
48的中点为(1,2),kAB=-^=-2,
48的中垂线方程为y-2=](x-1),即x-2^3=0.
x-2y+3=o,解得x=-l
联立-
x-y+2=0y=l
.♦.△48C的外心为(-1,1).
则(加I)2+(/?-1)2=32+12=10,
整理得:nf+rf+2m-2n=8②
联立①②得:/77=-4,77=0或朽0,〃=4,
当m=0,〃=4时8,C重合,舍去.
・・・顶点C的坐标是(-4,0).
故选:A.
222
12.设下是椭圆C:(a>b>0)的一个焦点,P是C上的点,圆/+/=且一与
a2b29
直线所交于48两点,若48是线段炉的两个三等分点,则C的离心率为()
A.返B.返C.&D.叵
3345
【分析】取48中点,,椭圆另一个焦点为£连结在根据平面几何的知识、勾股定理及
中位线的性质得a=5d
解:如图,取48中点,椭圆另一个焦点为£,连结PE.
,.,A8三等分线段所,二”也是48中点,%OHLAB
谀OH=d,她PE=2d,PF=2a-2d,AH=^~,
3
在双△〃物中,O/f=O/f+A/ft解得a=5&
在RtZkM7中,FH=—^,0H=—,OF=c,由命=M+用
55
化简得17az=25,,即C的离心率为H.
a55
故选:D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡上相应位置)
13.平行线4:3x-2y-5=0与/2:6x-4八3=0之间的距离为_Yp_.
【分析】将4方程化成6x-4y-10=0,再利用两条平行线之间的距离公式加以计算,
即可得到人与A之间的距离.
解:将/,:3x-2y-5=0化成6x-4y-10=0
/./,:3x-2y-5=0与/2:6*-4八3=0之间的距离为
|-10-3|_13_713
762+(-4)2V522
故答案为:」亘
2
14.已知抛物线/=4x的一条弦48恰好以。(1,1)为中点,则弦形所在直线方程是,^
一.一1二0.
【分析】设出48坐标,分别代入抛物线方程,两式相减整理,利用中点的纵坐标求得
直线四的斜率,再由点斜式方程即可得到所求直线方程.
解:设力(xi,yD,B(x2fy2),
代入抛物线方程得"2=4必,①,%2=4电②,
-„y<-y4
①-②整理得k=—~-9=---=2,
X「X2丫1+丫2
则弦48所在直线方程为y-1=2(x-1),
即为2x-y-1=0.
故答案为:2x-y-1=0.
15.已知圆。»+/-10八16=0上有且仅有三个点到双曲线工;-25=1(a>0,Z»>0)的
「bz
一条渐近线的距离为1,则该双曲线的离心率为—.
~2~
【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径,写出双曲线的一条渐近线方程,由题意可得
圆心到双曲线渐近线的距离等于2,由此列式求解双曲线离心率的取值.
解:圆C-.4+/-10yH6=0可化为*+(y-5)2=9,可得圆心为(0,5),半径厂=3,
V圆ftx+y-10y+16=0上有且仅有三个点到双曲线三-25=1的一条渐近线的距离为
1,
.•.圆心到双曲线渐近线的距离为2,
由对称性不妨取双曲线与-4=1的一条渐近线为bx-ay=09
|0-5a|
ATT=T=2,即为5&=2c,
vb+a
则&=£■=$
a2'
故答案为:—.
2
16.数列{&}的前〃项和为Sn,且满足(am-a.),2=3(a.,-a〃),且以=1,则的
最小值为-1075.
【分析】利用已知条件求出数列的公差,然后转化求解$00的最小值.
解:由条件满足(百"1-6〃)2+2=3(而-a),
得痴-an=2或痴-an—\,
由丽=1知,当"<49时,an<0;
当时,4>0.
故当前50项的公差为2,后50项的公差为1时,数列的前100项和最小.
50X4950X49
所以(Sioo)min=5OX一(-2)+50X2-1一2-=-1075.
故答案为:-1075.
三、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知双曲线的焦点为月(-4,0),R(4,0),且该双曲线过点P(6,2加).
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若双曲线上的点“满足松JL跖,求△松Q的面积.
22
【分析】(1)设双曲线的方程为七-%=1(a>0,6>0),运用双曲线的定义,以
ab
及两点的距离公式可得a,结合a,b,c的关系,可得6,c,即可得到所求双曲线的方
程;
(2)由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理、面积公式,化简可得所求值.
22
解:(1)设双曲线的方程为号-4=1(a>0,6>0),
a?b2
由石(-4,0),F2(4,0),且该双曲线过点P(6,2&),可得
2a=7(6+4)2+(2V2)2-7(6-4)2+(272)2=电,
•,a=(2-/3)=12»又c=4,产=41(2V^)2=4,
124
(2)由|iMFj-llFgl|=4V3»慌Fi12+|MF212=64,
得I伤I柩1=8,
^I=4,
18.在平面直角坐标系中,设直线A+y-/77=O(mGR)与圆。x?+/=8交于不同两点4,B.
(1)求实数加的取值范围:
(2)若圆上存在点C使得△4外为等边三角形,求实数m的值.
【分析】(1)由题意知圆心0到直线的距离d-患<么历,即可解出答案.
JT0JT
(2)有题知圆周角NACB=w,得圆心角/AOB=W~,则圆心0到直线的距离
OO
就可解得勿的值.
【解答】(1)由题意知圆心0到直线的距离d.
解得-4</77<4,所以加的取值范围为-4</77<4;
(2)•••△彳外为等边三角形,•・・圆周角/ACB=今兀,得圆心角NAOB二9牛兀,
OO
d骋/
则圆心0到直线的距离解得m—±2.
19.已知{aj是公比为整数的等比数列,52=9,且a+6,备成等差数列.
(1)求数列{劣}的通项公式;
(2)若b“=(4/7-1)an("GN*),求数列{4}的前"项和£.
【分析】(1)设{aj是公比r7为整数的等比数列,运用等比数列的通项公式和等差数列
的中项性质,解方程可得首项和公比,进而得到所求通项公式;
(2)求得〃=(4n-1)a〃=(4/7-1)•3",运用数列的错位相减法求和,结合等比数
列的求和公式,化简可得所求和.
解:(1){aj是公比q为整数的等比数列,32=9,且留,生+6,为成等差数列,
可得曷0=9,2(a+6)=&+孙即2(&/6)=ai+ai,,
解得3\—Q—3,
则a„=3"(z?eN*);
(2)b„=(4n-1)a„=(4/7-1)•3",
前〃项和£=3・3+7・9+11*27+-+(4n-1)•3",
3£=3・9+7•27+11•81+-+(4n-1)•3"',
相减可得-2£=9+4(9+27+…+3")-(4n-1)•3田
=9+4.9(:3—1)一(4〃_。•3"',
1-3
化简可得£=(2n--1)•3叫卷.
20.已知直线y=2x-m与抛物线C:y=2px(p>0)交于点4,B.
(1)m=p且|48|=5,求抛物线C的方程;
(2)若m=4p,求证:0U08(0为坐标原点).
【分析】(1)联立直线y=2x-0和抛物线方程,可得x的二次方程,应用韦达定理和
弦长公式,解方程可得p,进而得到所求抛物线的方程;
(2)y=2x-4p联立抛物线方程/=2px,可得x的二次方程,应用韦达定理和两直线
垂直的条件,化简计算可得证明.
解:(1)直线y=2x-0与抛物线C:y=2px(p>0)联立,
可得44-66/=0,设/I(xi,/J,8(x2,”),
可得的XIX2=£—,
e2,
\AB\=7l+4(xj+x2)-4XjX2=V5后/_/=5,
解得p=2,即抛物线的方程为"=4x;
(2)证明:由y=2x-4p联立抛物线方程步=2px,
可得2*2-9pA+8p2=0,
g
设4(X”,B(x2,%),可得用+此=?,MM=40Z,
即有My2=(2pX]・(-,2PX2)=-2讨XIx2=--4P2
即有*M+yi“=O,
可得OALOB.
21.甲、乙两大超市同时开业,第一年的全年销售额为a万元,由于经营方式不同,甲超
市前〃年的总销售额为会(〃?-92)万元,乙超市第〃年的销售额比前一年销售额多
9n-1
a(京)万元•
(I)求甲、乙两超市第〃年销售额的表达式;
(II)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一
超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?
【分析】(I)利用&=y5-K2),即a产S“-Sz,可求%的表达式;〃》2时,
bn-bn-y=a(-1-),利用b„=by+(.bz-/>1)+(左-A)+•••+(Z>„,可求6〃的表
达式;
(II)利用(I)中a„,儿的表达式,代入求解,计算可得第7年乙超市的年销售额不
足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.
解:(I)假设甲超市前"年总销售额为£,第〃年销售额为d则(4-"2)(/7
22),因为〃=1时,舒=分,则"22时,
劣=£-£-1==(ri-仆2)-=[(/?-1)2-(/7-1)+2]=a(n-1),
22
a.n=l
故a„=<
(n-l)a,n》2’
设乙趣市第〃年销售额为b„,
9n-1
又打=a,"22时,bn-b„-A=a(A)
故d=6+&-=)+(力-=)+•••+(b「b.-、)=[3-2-管
显然"=1也适合,故儿=[3-2・"-']a(nGN*).
(II)当/7=2时,氏=a,从=@,有a2>-^-bz;当n=3时,a=2a,&=宇&,有&
当〃,4时,a〃》3a,而勿V3a,故乙超市有可能被收购.
当〃24时,令则■!■("-1!)a>[3-2»']a,.*.o-1>6-4»(―)”
3
即〃>7-4・(—)"I
3
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又当时,0V4・(=)故当〃£N*且〃N7时,必有〃>7-4・/1-1
3
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购
22,已知&E分别为椭圆C:——H—r-=1(6>0)的左右焦点.
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