统考版高考数学一轮复习第三章3.1变化率与导数导数的计算课时作业理含解析

一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业13变化率与导数、导数的计算〖基础达标〗一、选择题1．〖2021·江西九江统考〗f(x)＝x(2019＋lnx)，若f′(x0)＝2020，则x0＝()A．e2B．1C．ln2D．e2．下列求导过程不正确的选项是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2)B．(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))C．(xa)′＝axa－1D．(logax)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,lna)))′＝eq\f(1,xlna)3．已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3lnx的一条切线，则m的值为()A．0B．2C．1D．34．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设eq\f(f2－f1,2－1)＝a，则下列不等式正确的是()A．f′(1)<f′(2)<aB．f′(1)<a<f′(2)C．f′(2)<f′(1)<aD．a<f′(1)<f′(2)5．〖2021·广东省七校联合体高三联考试题〗已知函数f(x)＝xlnx＋a的图象在点(1，f(1))处的切线经过原点，则实数a＝()A．1B．0C.eq\f(1,e)D．－1二、填空题6．〖2021·南昌市NCS模拟考试〗曲线f(x)＝(x2＋x)lnx在点(1，f(1))处的切线方程为________________________________________________________________________．7．〖2021·江西南昌模拟〗设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(lnx)＝x＋lnx，则f′(1)＝________.8．〖2021·福建龙岩质检〗若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝eq\f(π,2)处的切线与直线ax＋2y＋1＝0相互垂直，则实数a＝________.三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(2)y＝eq\f(x＋cosx,x＋sinx)；(3)y＝eq\f(ln2x＋3,x2＋1).10.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．〖能力挑战〗11．〖2021·广州市普通高中毕业班综合测试〗已知点P(x0，y0)是曲线C：y＝x3－x2＋1上的点，曲线C在点P处的切线与直线y＝8x－11平行，则()A．x0＝2B．x0＝－eq\f(4,3)C．x0＝2或x0＝－eq\f(4,3)D．x0＝－2或x0＝eq\f(4,3)12．〖2021·合肥市高三教学质量检测〗已知f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝e－x－ex2(e是自然对数的底数)，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程是()A．y＝－ex＋eB．y＝ex＋eC．y＝ex－eD．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2e－\f(1,e)))x－2e＋eq\f(1,e)13．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为________．课时作业131．〖解析〗f′(x)＝2019＋lnx＋x×eq\f(1,x)＝2020＋lnx，故由f′(x0)＝2020，得2020＋lnx0＝2020，则lnx0＝0，解得x0＝1.故选B项．〖答案〗B2．〖解析〗根据题意，依次分析选项：对于A，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝(x－1)′＝－eq\f(1,x2)，A错误；对于B，(eq\r(x))′＝()′＝eq\f(1,2)×x－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2\r(x))，B正确；对于C，(xa)′＝axa－1，C正确；对于D，(logax)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,lna)))′＝eq\f(1,xlna)，D正确；故选A.〖答案〗A3．〖解析〗因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3lnx的切线，所以令y′＝2x－eq\f(3,x)＝－1，得x＝1或x＝－eq\f(3,2)(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2，故选B.〖答案〗B4．〖解析〗由图象可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，∵eq\f(f2－f1,2－1)＝a，∴易知f′(1)<a<f′(2)．〖答案〗B5．〖解析〗f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，∴切线方程为y＝x－1＋a，故0＝0－1＋a，解得a＝1，故选A.〖答案〗A6．〖解析〗由题意得f′(x)＝(2x＋1)lnx＋x＋1，则f′(1)＝2，又f(1)＝0，所以所求的切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.〖答案〗2x－y－2＝07．〖解析〗因为f(lnx)＝x＋lnx，所以f(x)＝x＋ex，所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.〖答案〗1＋e8．〖解析〗因为f′(x)＝sinx＋xcosx，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝sineq\f(π,2)＋eq\f(π,2)·coseq\f(π,2)＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－eq\f(a,2)，所以1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝－1，解得a＝2.〖答案〗29．〖解析〗(1)解法一：因为y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，所以y′＝24x3＋9x2－16x－4.解法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.(2)y′＝eq\f(x＋cosx′x＋sinx－x＋cosxx＋sinx′,x＋sinx2)＝eq\f(1－sinxx＋sinx－x＋cosx1＋cosx,x＋sinx2)＝eq\f(－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1,x＋sinx2).(3)y′＝eq\f([ln2x＋3]′x2＋1－ln2x＋3x2＋1′,x2＋12)＝eq\f(\f(2x＋3′,2x＋3)·x2＋1－2xln2x＋3,x2＋12)＝eq\f(2x2＋1－2x2x＋3ln2x＋3,2x＋3x2＋12).10．〖解析〗(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x－2)，又切线过点P(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，所以xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－2＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，所以经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.11．〖解析〗因为曲线C在点P处的切线与直线y＝8x－11平行，所以曲线C在点P处的切线的斜率为8.由y＝x3－x2＋1求导得y′＝3x2－2x，令y′|x＝x0＝3xeq\o\al(2,0)－2x0＝8，解得x0＝2或x0＝－eq\f(4,3).当x0＝2时，y0＝23－22＋1＝5，此时切线的方程为y－5＝8(x－2)，即y＝8x－11，与直线y＝8x－11重合，故x0＝2不符合题意．经验证可知x0＝－eq\f(4,3)符合题意，故选B.〖答案〗B12．〖解析〗设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝ex－ex2，因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－ex＋ex2，所以f′(x)＝－ex＋2ex，所以f′(1)＝e，f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝e(x－1)，即y＝ex－e.〖答案〗C13．〖解析〗由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处的切线斜率等于－eq\f(1,3)，即f′(3)＝－eq\f(1,3).又g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g(3)＝3f(3)＝3，g′(3)＝1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0，则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为y－3＝0.〖答案〗y－3＝0课时作业13变化率与导数、导数的计算〖基础达标〗一、选择题1．〖2021·江西九江统考〗f(x)＝x(2019＋lnx)，若f′(x0)＝2020，则x0＝()A．e2B．1C．ln2D．e2．下列求导过程不正确的选项是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2)B．(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))C．(xa)′＝axa－1D．(logax)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,lna)))′＝eq\f(1,xlna)3．已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3lnx的一条切线，则m的值为()A．0B．2C．1D．34．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设eq\f(f2－f1,2－1)＝a，则下列不等式正确的是()A．f′(1)<f′(2)<aB．f′(1)<a<f′(2)C．f′(2)<f′(1)<aD．a<f′(1)<f′(2)5．〖2021·广东省七校联合体高三联考试题〗已知函数f(x)＝xlnx＋a的图象在点(1，f(1))处的切线经过原点，则实数a＝()A．1B．0C.eq\f(1,e)D．－1二、填空题6．〖2021·南昌市NCS模拟考试〗曲线f(x)＝(x2＋x)lnx在点(1，f(1))处的切线方程为________________________________________________________________________．7．〖2021·江西南昌模拟〗设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(lnx)＝x＋lnx，则f′(1)＝________.8．〖2021·福建龙岩质检〗若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝eq\f(π,2)处的切线与直线ax＋2y＋1＝0相互垂直，则实数a＝________.三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(2)y＝eq\f(x＋cosx,x＋sinx)；(3)y＝eq\f(ln2x＋3,x2＋1).10.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．〖能力挑战〗11．〖2021·广州市普通高中毕业班综合测试〗已知点P(x0，y0)是曲线C：y＝x3－x2＋1上的点，曲线C在点P处的切线与直线y＝8x－11平行，则()A．x0＝2B．x0＝－eq\f(4,3)C．x0＝2或x0＝－eq\f(4,3)D．x0＝－2或x0＝eq\f(4,3)12．〖2021·合肥市高三教学质量检测〗已知f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝e－x－ex2(e是自然对数的底数)，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程是()A．y＝－ex＋eB．y＝ex＋eC．y＝ex－eD．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2e－\f(1,e)))x－2e＋eq\f(1,e)13．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为________．课时作业131．〖解析〗f′(x)＝2019＋lnx＋x×eq\f(1,x)＝2020＋lnx，故由f′(x0)＝2020，得2020＋lnx0＝2020，则lnx0＝0，解得x0＝1.故选B项．〖答案〗B2．〖解析〗根据题意，依次分析选项：对于A，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝(x－1)′＝－eq\f(1,x2)，A错误；对于B，(eq\r(x))′＝()′＝eq\f(1,2)×x－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2\r(x))，B正确；对于C，(xa)′＝axa－1，C正确；对于D，(logax)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,lna)))′＝eq\f(1,xlna)，D正确；故选A.〖答案〗A3．〖解析〗因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3lnx的切线，所以令y′＝2x－eq\f(3,x)＝－1，得x＝1或x＝－eq\f(3,2)(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2，故选B.〖答案〗B4．〖解析〗由图象可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，∵eq\f(f2－f1,2－1)＝a，∴易知f′(1)<a<f′(2)．〖答案〗B5．〖解析〗f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，∴切线方程为y＝x－1＋a，故0＝0－1＋a，解得a＝1，故选A.〖答案〗A6．〖解析〗由题意得f′(x)＝(2x＋1)lnx＋x＋1，则f′(1)＝2，又f(1)＝0，所以所求的切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.〖答案〗2x－y－2＝07．〖解析〗因为f(lnx)＝x＋lnx，所以f(x)＝x＋ex，所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.〖答案〗1＋e8．〖解析〗因为f′(x)＝sinx＋xcosx，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝sineq\f(π,2)＋eq\f(π,2)·coseq\f(π,2)＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－eq\f(a,2)，所以1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝－1，解得a＝2.〖答案〗29．〖解析〗(1)解法一：因为y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，所以y′＝24x3＋9x2－16x－4.解法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.(2)y′＝eq\f(x＋cosx′x＋sinx－x＋cosxx＋sinx′,x＋sinx2)＝eq\f(1－sinxx＋sinx－x＋cosx1＋cosx,x＋sinx2)＝eq\f(－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1,x＋sinx2).(3)y′＝eq\f([ln2x＋3]′x2＋1－ln2x＋3x2＋1′,x2＋12)＝eq\f(\f(2x＋3′,2x＋3)·x2＋1－2xln2x＋3,x2＋12)＝eq\f(2x2＋1－2x2x＋3ln2x＋3,2x＋3x2＋12).10．〖解析〗(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x－2)，又切线过点P(x0，xeq\o\al(3,0