高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)1.1.1集合(题型战法)(原卷版+解析)

第一章集合与常用逻辑用语、不等式1.1.1集合（题型战法）知识梳理一集合及其表示方法元素与集合的概念（1）集合：把一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象组成一个集合．（2）元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素.2．集合的元素具有以下特点：确定性、互异性、无序性.3．元素与集合的关系（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A．（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉4．实数集、有理数集、整数集、正整数集、自然数集、分别用字母R、Q、Z、N+或N5．集合的分类（1）空集：不含任何元素，记作∅.（2）非空集合：有限集：含有有限个元素；无限极：含有无限个元素.6.集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、数轴法、韦恩图法.二集合的基本关系1.子集一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记作：A⊆2.真子集一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作：A≠⊂B或B≠⊃3.集合的相等一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等.记作A＝B.4.子集或真子集的个数（1）集合元素个数为n,子集个数为2n（2）集合元素个数为n,真子集个数为（3）集合元素个数为n,非空子集个数为2n−1三集合的基本运算1．交集的概念一般地，给定两个集合A，B，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作A交B.2.交集运算的性质交集运算具有以下性质，对于任意两个集合A，B，都有：（1）A∩B＝B∩A；（2）A∩A=A；（3）A∩∅=∅∩A＝∅；（4）如果A⊆B，则A∩B=＝A，反之也成立.3.并集的概念一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作A并B4.并集运算的性质类比交集运算的性质，探索得出并集运算的性质，对于任意两个集合A，B，都有：（1）A∪B＝B∪A；（2）A∪A＝A；（3）A∪∅=∅∪A＝A；（4）如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立.5.全集的概念在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示.6.补集的概念如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作UA，读作A在U中的补集.7.补集运算的性质事实上，给定全集U及其任意一个子集A，补集运算具有如下性质：（1）A∪（UA）=U；（2）A∩（UA）=∅；（3）U（UA）=A.题型战法题型战法一元素与集合典例1．若M＝{x|x>－1}，则下列选项正确的是（

）A．0⊆M B．{0}∈M C．∅∈M D．{0}⊆M变式1-1．给出下列四个关系：π∈R，0∉Q，0.7∈N，0∈∅，其中正确的关系个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1变式1-2．下列关系中，正确的是（

）A．−2∈{0,1} B．32∈Z C．π∈R变式1-3．若集合A=xx=2n+1,n∈A．2∈A B．−4∈A C．3⊆A D．变式1-4．若集合M=xx−2<0,xA．0∉M B．0C．1⊆M D．题型战法二集合中元素的特征典例2．已知集合，若−4∈A，则实数a的值为（

）．A． B．1 C．5或 D．或1变式2-1．下面能构成集合的是（

）A．中国的小河流 B．大于5小于11的偶数C．高一年级的优秀学生 D．某班级跑得快的学生变式2-2．若x∈1,2,x2，则xA．0，2 B．0，1C．1，2 D．0，1，2变式2-3．若a+2∈1,3,a2，则A．或1或2 B．或1 C．或2 D．2变式2-4．已知集合A=0,m,m2−3m+2，且2∈A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3题型战法三集合的基本关系典例3．集合的子集个数为（

）A．4 B．8 C．16 D．32变式3-1．集合A=xx2A．x−1<x<5 B．x−5<x<1 C．x−1<x<4变式3-2．已知集合A=xlog2x<1,x∈RA．A≠⊂B B．B≠⊂A C．A=B 变式3-3．下列集合与集合A=2022，1A．(1,2022) B．x,yC．x|x2变式3-4．下列各式中：①0∈0,1,2；②0,1,2⊆2,1,0；③∅⊆0,1,2；④∅=0；⑤A．1 B．2 C．3 D．4题型战法四根据集合的包含关系求参数典例4．已知集合A=2,−2，B=xx2−ax+4=0，若AA．a−4<a<4 B．a−2<a<2 C．−4,4 变式4-1．已知集合A=x|x2+x−2=0，B=x|ax+1=0，若BA．−1 B． C．−1,12 D．变式4-2．已知集合A=x−2<x<1，集合B=x−m≤x≤m，若A⊆A． B．0,2 C．1,+∞ D．2,+∞变式4-3．已知集合A=x∈Zx2<4，B=1,aA．−2,−1,0 B．−2,−1 C．{−1,0} D．−1变式4-4．设a,b∈R，P=1,a，Q=−1,b，若P=Q，则A．−2 B． C．.0 D．1题型战法五集合的交并补运算典例5．已知集合A=x|x≥4或x≤−2，B=xy=lgx2A．[−1,2]B．−2,−1∪2,4C．2,4 变式5-1．已知集合A=x1≤x≤4，B=xx−12A．3,4 B．1,4 C．1,3 D．变式5-2．设集合U=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3,6，B=2,3,4，则A∩A．3 B．1,6 C．5,6 D．1,3变式5-3．已知全集U=x∈N0<x<6，A=3,4,5，B=A．1,2,3 B．2,3,4 C． D．变式5-4．记全集U=R，设集合则(CUA)∩B=（A．（−∞,−4）∪[6,+∞) C．（−∞,−4]∪（6,+∞) 题型战法六韦恩图的应用典例6．如图所示，阴影部分表示的集合是（

）A．(∁UB)∩A B．(∁UA)∩B变式6-1．已知全集U=Z，集合A=1,3,6,7,8，B=0,1,2,3,4，则图中阴影部分所表示集合为（A．0,2,4 B．2,4 C．0,2,3,4 D．1,3变式6-2．记全集，A=xx2−2x−3>0，B=A．1,3 B．−1,3 C．−1,0 D．−1,0变式6-3．已知集合A={−1,0,1,2,3,4}，B=xlnx2<2，图中阴影部分为集合MA．1 B．2 C．3 D．4变式6-4．已知集合A=x0<x<2，B=xA．−∞,−3∪2,+∞ C．−∞,0∪2,+∞ 题型战法七集合新定义问题典例7．定义集合A−B=x|x∈A且x∉B.己知集合U=x∈Z−2<x<6，A=0,2,4,5，B=A．3 B．4 C．5 D．6变式7-1．设P，Q是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊕”P⊕Q={x|x∈P∪Q，且．若P={x|0≤x≤6},Q={x|x>1}，则P⊕Q=（

A．{x|0≤x≤1或 B． C．{x|1≤x≤6} D．{x|0≤x<1或变式7-2．定义集合运算：A∗B=z∣z=xy,x∈A∩B,y∈A∪B.若集合A=1,2,3,B=0,1,2，则A．0 B．0,4 C．0,6 D．0,4,6变式7-3．若x∈A，且1x∈A，则称A为“影子关系”集合．在集合M=0,A．3个 B．4个 C．7个 D．8个变式7-4．给定集合A，若对于任意a,b∈A，有a+b∈A，且a−b∈A，则称集合A为闭集合，下列结论正确的个数是（①集合A=−4,−2,0,2,4②集合A=n|n=3k,k③若集合A1,A④若集合A1,A2为闭集合，且A1A．0 B．1 C．2 D．3第一章集合与常用逻辑用语、不等式1.1.1集合（题型战法）知识梳理一集合及其表示方法元素与集合的概念（1）集合：把一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象组成一个集合．（2）元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素.2．集合的元素具有以下特点：确定性、互异性、无序性.3．元素与集合的关系（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A．（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉4．实数集、有理数集、整数集、正整数集、自然数集、分别用字母R、Q、Z、N+或N5．集合的分类（1）空集：不含任何元素，记作∅.（2）非空集合：有限集：含有有限个元素；无限极：含有无限个元素.6.集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、数轴法、韦恩图法.二集合的基本关系1.子集一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记作：A⊆2.真子集一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作：A≠⊂B或B≠⊃3.集合的相等一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等.记作A＝B.4.子集或真子集的个数（1）集合元素个数为n,子集个数为2n（2）集合元素个数为n,真子集个数为（3）集合元素个数为n,非空子集个数为2n−1三集合的基本运算1．交集的概念一般地，给定两个集合A，B，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作A交B.2.交集运算的性质交集运算具有以下性质，对于任意两个集合A，B，都有：（1）A∩B＝B∩A；（2）A∩A=A；（3）A∩∅=∅∩A＝∅；（4）如果A⊆B，则A∩B=＝A，反之也成立.3.并集的概念一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作A并B4.并集运算的性质类比交集运算的性质，探索得出并集运算的性质，对于任意两个集合A，B，都有：（1）A∪B＝B∪A；（2）A∪A＝A；（3）A∪∅=∅∪A＝A；（4）如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立.5.全集的概念在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示.6.补集的概念如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作UA，读作A在U中的补集.7.补集运算的性质事实上，给定全集U及其任意一个子集A，补集运算具有如下性质：（1）A∪（UA）=U；（2）A∩（UA）=∅；（3）U（UA）=A.题型战法题型战法一元素与集合典例1．若M＝{x|x>－1}，则下列选项正确的是（

）A．0⊆M B．{0}∈M C．∅∈M D．{0}⊆M【答案】D【解析】【分析】利用元素与集合，集合与集合的关系求解.【详解】因为M＝{x|x>－1}，所以{0}⊆M，故选：D变式1-1．给出下列四个关系：π∈R，0∉Q，0.7∈N，0∈∅，其中正确的关系个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】【分析】根据自然数集、有理数集、空集的含义判断数与集合的关系.【详解】∵R表示实数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，∅表示空集，∴π∈R，0∈Q，0.7∉N，0∉∅，∴正确的个数为1.故选:D.变式1-2．下列关系中，正确的是（

）A．−2∈{0,1} B．32∈Z C．π∈R【答案】C【解析】【分析】根据自然数集、正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合的关系.【详解】对于A，−2∉对于B，32不是整数，所以3对于C，π∈对于D，因为∅不含任何元素，则5∉∅故选：C.变式1-3．若集合A=xx=2n+1,n∈A．2∈A B．−4∈A C．3⊆A D．【答案】C【解析】【分析】利用元素与集合，集合与集合的关系判断.【详解】因为集合A=x所以2∉A，−4∉A，3⊆A，0,3A故选：C变式1-4．若集合M=xx−2<0,xA．0∉M B．0C．1⊆M D．【答案】C【解析】【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系逐个分析判断【详解】对于A，因为M=xx−2<0,x∈N对于B，因为0是集合，且0∈M，所以0⊆对于C，因为1∈M，所以1⊆对于D，因为1是元素，1∈故选：C题型战法二集合中元素的特征典例2．已知集合，若−4∈A，则实数a的值为（

）．A． B．1 C．5或 D．或1【答案】B【解析】【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出a的值.【详解】∵A=a+1,a2+4a−9,2021，且−4∈A⑴、当−4=a2+4a−9即a=−5①、当a=−5时，a+1=−4，a2+4a−9=−4，此时②、当a=1时，a+1=2，a2⑵、当a+1=−4即a=−5时，此时A=−4,−4,2021综上所述：实数a的值为1.故选：B变式2-1．下面能构成集合的是（

）A．中国的小河流 B．大于5小于11的偶数C．高一年级的优秀学生 D．某班级跑得快的学生【答案】B【解析】【分析】结合集合中元素的特征，对选项逐个分析可选出答案.【详解】由题意，对于A，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；对于B，大于5小于11的偶数为6,8,10，可以构成集合；对于C，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；对于D，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性.故选：B.变式2-2．若x∈1,2,x2，则xA．0，2 B．0，1C．1，2 D．0，1，2【答案】A【解析】【分析】根据x∈1,2,x2，分x=1，，【详解】因为x∈当x=1时，集合为1,2,1，不成立；当时，集合为1,2,4，成立；当时，则x=1（舍去）或x=0，当x=0时，集合为1,2,0，成立；∴x=0或.故选：A变式2-3．若a+2∈1,3,a2，则A．或1或2 B．或1 C．或2 D．2【答案】D【解析】【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可.【详解】因为a+2∈所以a+2=1或3或a2当a+2=1时，即a=−1，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；当a+2=3时，即a=1，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；当a+2=a2时，解得a=2或故选：D变式2-4．已知集合A=0,m,m2−3m+2，且2∈A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【答案】A【解析】【分析】依题意可得m=2或m2【详解】解：因为A=0,m,m2−3m+2，且2∈A，所以m=2或m2−3m+2=2，解得m=2或m=0或m=3，当m=2时m2−3m+2=0，即集合A不满足集合元素的互异性，故m≠2，当m=0时集合故选：A题型战法三集合的基本关系典例3．集合的子集个数为（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【解析】【分析】求出集合A后可得其子集的个数.【详解】x∈故该集合的子集的个数为：24故选：C.变式3-1．集合A=xx2A．x−1<x<5 B．x−5<x<1 C．x−1<x<4【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式，即可求出集合A，再根据选项判断即可；【详解】解：由x2−4x−5<0，即(x−5)(x+1)<0，解得所以A=xx2−4x−5<0=故选：C变式3-2．已知集合A=xlog2x<1,x∈RA．A≠⊂B B．B≠⊂A C．A=B 【答案】B【解析】【分析】解不等式，得到A=−1,2【详解】x2−x−2<0，解得：−1<x<2，所以A=−1,2，故B故选：B.变式3-3．下列集合与集合A=2022，1A．(1,2022) B．x,yC．x|x2【答案】C【解析】【分析】根据集合相等，元素相同即可求解.【详解】(1,2022)表示一个点，不是集合，A不符；集合x,y|x=2022,y=1的元素是点，与集合Ax|x集合{(2022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符题意.故选：C.变式3-4．下列各式中：①0∈0,1,2；②0,1,2⊆2,1,0；③∅⊆0,1,2；④∅=0；⑤A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则0,1,2⊆③空集是任意集合的子集，故∅⊆0,1,2④空集没有任何元素，故∅≠⑤两个集合所研究的对象不同，故0,1,⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.题型战法四根据集合的包含关系求参数典例4．已知集合A=2,−2，B=xx2−ax+4=0，若AA．a−4<a<4 B．a−2<a<2 C．−4,4 【答案】D【解析】【分析】由并集结果得到B⊆A，分B=∅和B≠【详解】因为A∪B=A，所以B⊆A，当B=∅当B≠∅时，若Δ=a2−16=0，则a=−4或4，当a=−4时，B=−2若Δ=a2−16>0，则-2,2是方程x综上：实数a满足a−4≤a≤4故选：D变式4-1．已知集合A=x|x2+x−2=0，B=x|ax+1=0，若BA．−1 B． C．−1,12 D．【答案】D【解析】【分析】集合A=−2,1，根据B⊆A，分B=【详解】解：集合A=x|x2当B=∅，即a=0时，显然满足条件B当B≠∅时，B=因为B⊆A，所以B=−2或B=1，即−1a=−2综上，实数a的取值组成的集合是−1,0,1故选：D.变式4-2．已知集合A=x−2<x<1，集合B=x−m≤x≤m，若A⊆A． B．0,2 C．1,+∞ D．2,+∞【答案】D【解析】【分析】由集合包含关系可直接构造不等式组求得结果.【详解】∵A=x−2<x<1，A∴m≥0且−m≤−2m≥1，解得：m≥2，即m的取值范围为故选：D.变式4-3．已知集合A=x∈Zx2<4，B=1,aA．−2,−1,0 B．−2,−1 C．{−1,0} D．−1【答案】C【解析】【分析】先解出集合A，再根据B⊆A确定集合【详解】由题意得，A={x∈Z|−2<x<2}=−1,0,1，∵B=∴实数a的取值集合为−1,0,故选:C.变式4-4．设a,b∈R，P=1,a，Q=−1,b，若P=Q，则A．−2 B． C．.0 D．1【答案】A【解析】【分析】利用两个集合相等，元素相同，得到a=−1,b=1，进而求出答案.【详解】由题意得：a=−1,b=1，所以故选：A题型战法五集合的交并补运算典例5．已知集合A=x|x≥4或x≤−2，B=xy=lgx2A．[−1,2] B．−2,−1C．2,4 D．∅【答案】A【解析】【分析】首先根据对数函数的性质得到不等式，解一元二次不等式求出集合B，再根据补集、交集的定义计算可得；【详解】解：因为B=xy=lgx2−x−2，所以x2−x−2>0，即x−2x+1>0，解得x>2或，所以B=xy=故选：A变式5-1．已知集合A=x1≤x≤4，B=xx−12A．3,4 B．1,4 C．1,3 D．【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合B，再根据补集、交集的定义计算可得；【详解】解：由x−12≥4，即x−3x+1≥0，解得x≥3或x≤−1，即B=xx−12≥4={x|x≥3故选：C变式5-2．设集合U=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3,6，B=2,3,4，则A∩A．3 B．1,6 C．5,6 D．1,3【答案】B【解析】【分析】由补集和交集的定义可求得结果.【详解】由题设可得∁UB=1,5,6故选：B.变式5-3．已知全集U=x∈N0<x<6，A=3,4,5，B=A．1,2,3 B．2,3,4 C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出集合U，再求∁U【详解】U=x因为A=3,4,5，B=所以∁U故选：D变式5-4．记全集U=R，设集合则(CUA)∩B=（A．（−∞,−4）∪[6,+∞) C．（−∞,−4]∪（6,+∞) 【答案】A【解析】【分析】本题只要在数轴上画出相应的区间，再求交集即可.【详解】对于集合A：−4≤x≤4，∴CUA即是x＜−4或对于集合B：x2−5x−6=x−6x+1≥0在数轴上作图如下：故选：A.题型战法六韦恩图的应用典例6．如图所示，阴影部分表示的集合是（

）A．(∁UB)∩A B．(∁UA)∩B【答案】A【解析】【分析】利用韦恩图的定义直接表示.【详解】由图可知阴影部分属于A，不属于B，故阴影部分为∁U故选：A.变式6-1．已知全集U=Z，集合A=1,3,6,7,8，B=0,1,2,3,4，则图中阴影部分所表示的集合为（A．0,2,4 B．2,4 C．0,2,3,4 D．1,3【答案】A【解析】【分析】首先求出A∩B，依题意阴影部分表示∁B【详解】解：因为A=1,3,6,7,8，B=0,1,2,3,4，所以A∩B=1,3故选：A变式6-2．记全集，A=xx2−2x−3>0，B=A．1,3 B．−1,3 C．−1,0 D．−1,0【答案】D【解析】【分析】理解题目所给图形的含义，按交并补的定义计算即可.【详解】由题图知，阴影部分所表示的集合是∁U∵A=xx2∴A∪故∁U故选：D.变式6-3．已知集合A={−1,0,1,2,3,4}，B=xlnx2<2，图中阴影部分为集合MA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】由Venn图得到M=∁【详解】如图所示M=∁，，解得−e<x<e且x≠0，∴B=(−e,0)∪又A={−1,0,1,2,3,4}，∴A∩B={−1,1,2}，∴∁∴M={0,3,4}，所以M故选：C变式6-4．已知集合A=x0<x<2，B=xA．−∞,−3∪2,+∞ C．−∞,0∪2,+∞ 【答案】A【解析】【分析】根据阴影部分表