新高考数学二轮复习培优专题训练专题07 函数的性质及其应用（解析版）

专题07函数的性质及其应用1、（2023年新课标全国Ⅱ卷）若SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0（

）．A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则其定义域为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，关于原点对称.SKIPIF1<0，故此时SKIPIF1<0为偶函数.故选：B.2、（2023年新课标全国Ⅰ卷）设函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】函数SKIPIF1<0在R上单调递增，而函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则有函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D3、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）已知SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0不恒为0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D.4、（2023年新高考天津卷）函数SKIPIF1<0的图象如下图所示，则SKIPIF1<0的解析式可能为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即A、C中SKIPIF1<0上函数值为正，排除；故选：D5、【2022年全国甲卷】函数y=3x−A． B．C． D．【答案】A【解析】令f(x)=(3则f(−x)=(3所以f(x)为奇函数，排除BD；又当x∈(0,π2)时，3故选：A.6、【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122A．−21 B．−22 C．−23 D．−24【答案】D【解析】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g2−x因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+2)−f(x−2)=7，即g(x+2)=7+f(x−2)，因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，代入得f(x)+7+f(x−2)=5，即所以f3f4因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0=1，所以因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+4)−f(x)=7，又因为f(x)+g(2−x)=5，联立得，g2−x所以y=g(x)的图像关于点3,6中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，所以g因为f(x)+g(x+2)=5，所以f1所以k=122故选：D7、【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122A．−3 B．−2 C．0 D．1【答案】A【解析】因为fx+y+fx−y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f−y=2fy，即fy=f因为f2=f1−f0=1−2=−1，f3一个周期内的f1所以k=122故选：A．8、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设函数SKIPIF1<0，则f(x)（）A．是偶函数，且在SKIPIF1<0单调递增 B．是奇函数，且在SKIPIF1<0单调递减C．是偶函数，且在SKIPIF1<0单调递增 D．是奇函数，且在SKIPIF1<0单调递减【答案】D【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，关于坐标原点对称，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为定义域上的奇函数，可排除AC；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，排除B；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，D正确.故选：D.9、（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的偶函数，且在SKIPIF1<0单调递减，则A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0是R的偶函数，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在(0，+∞)单调递减，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选C．题组一运用函数的性质进行图像的辨析1-1、（2023·安徽蚌埠·统考三模）函数SKIPIF1<0的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】依题意，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数，所以D选项错误；因为SKIPIF1<0，所以C选项错误；因为SKIPIF1<0，所以B选项错误；因此排除了BCD选项，而A选项图象符合函数SKIPIF1<0的性质.故选：A.1-2、（2022·江苏无锡·高三期末）已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数的定义域为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为奇函数，图象关于原点对称，排除D.SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故选：A.1-3、（2022·广东汕尾·高三期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，函数SKIPIF1<0的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0为奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；又SKIPIF1<0，排除C，故选：A．1-4、（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数SKIPIF1<0的部分图象大致形状是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定义域关于原点对称，得SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是偶函数，图象关于SKIPIF1<0轴对称，排除BD；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，排除A.故选：C.题组二函数的性质2-1、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域均为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．2【答案】A【分析】依题意可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0为偶函数，再由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，再根据所给条件计算可得.【详解】因为SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为偶函数．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故选：A.2-2、（2023·云南·统考一模）（多选题）已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0逐项判断即可.【详解】因为SKIPIF1<0是定义在R上的偶函数，SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，且两函数在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以BD正确，C错误；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，A错误.故选：BD.2-3、（2022·山东烟台·高三期末）若定义在R上的奇函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的x的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意，定义在R上的奇函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，此时满足不等式SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上可得，不等式的解集为SKIPIF1<0.故选：C.2-4、（2022·江苏如皋·高三期末）“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数,则SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，f(x)＝sinx是奇函数，因此“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”充要条件，故选:C.2-5、（2022·江苏海门·高三期末）写出一个同时具有下列性质①②③的函数fx①为偶函数；②fx1x2=fx1+f【答案】−ln【解析】由题意可知函数为偶函数且在上为减函数，可取fx=−ln对于①，函数fx=−lnx的定义域为xx≠0对于②，对任意的非零实数、，fx1x对于③，当x∈0,+∞时，fx=−ln综上所述，函数fx故答案为：−ln题组三、函数性质的综合运用3-1、（2023·浙江·统考模拟预测）（多选题）已知定义在R上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.下列说法正确的是（

）A．3是函数SKIPIF1<0的一个周期B．函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称C．函数SKIPIF1<0是偶函数D．SKIPIF1<0【答案】AC【详解】对于A项，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以3是函数SKIPIF1<0的一个周期，故A正确；对于B项，因为，SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象的对称中心，故B错误；对于C项，因为，SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0是偶函数，故C项正确；对于D项，由C知，函数SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0.又3是函数SKIPIF1<0的一个周期，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故D错误.故选：AC.3-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）（多选题）已知函数SKIPIF1<0的定义域为R，且SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0为偶函数，且对任意的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则下列结论正确的为（

）A．SKIPIF1<0是偶函数 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】由已知奇偶性得出函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称且关于直线SKIPIF1<0对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．【详解】SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称且关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是周期函数，4是它的一个周期．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，B正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是偶函数，A正确；因此SKIPIF1<0的图象也关于点SKIPIF1<0对称，C正确；对任意的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故D错．故选：ABC．3-3、（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题：甲：是奇函数；乙：的图象关于直线对称；丙：在区间上单调递减；丁：函数的周期为2.如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】由连续函数的特征知：由于区间的宽度为2，所以在区间上单调递减与函数的周期为2相互矛盾，即丙、丁中有一个为假命题；若甲、乙成立，即，，则，所以，即函数的周期为4，即丁为假命题.由于只有一个假命题，则可得该命题是丁，故选：D.3-4、（2022·江苏无锡·高三期末）（多选题）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，则SKIPIF1<0称为高斯函数，又称为取整函数.如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.则下列结论正确的是（）A．函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的单调递增函数B．函数SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个零点C．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数D．对于任意实数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0【答案】BD【解析】对于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不是单调增函数，所以A错.对于B，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0要有零点，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0要想为SKIPIF1<0，必须SKIPIF1<0也为整数，在这个范围内，只有SKIPIF1<0两个点，所以B正确，对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不是奇函数，所以C错，对于D，如果我们定义SKIPIF1<0这样一个函数，就会有SKIPIF1<0，同时有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，会有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以D正确，故选：BD.1、（2022·山东济南·高三期末）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0是偶函数”是“SKIPIF1<0是偶函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】偶函数的图像关于SKIPIF1<0轴对称，奇函数图像关于原点对称，根据这一特征，若SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0是偶函数，若SKIPIF1<0是奇函数，SKIPIF1<0也是偶函数，所以“SKIPIF1<0是偶函数”是“SKIPIF1<0是偶函数”的充分不必要条件故选：A2、（2022·山东德州·高三期末）已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的大致图象为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题可知：函数定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故该函数为奇函数，排除A,C又SKIPIF1<0，所以排除B,故选：D3．（2023·安徽安庆·校考一模）函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在同一直角坐标系下的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合对数函数与指数函数的单调性判断即可.【详解】SKIPIF1<0，为定义域上的单调递增函数SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不成立；SKIPIF1<0，为定义域上的单调递增函数，SKIPIF1<0，故C和D不成立.故选：B.4、（2023·江苏南通·统考一模）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】设SKIPIF1<0，满足题意，即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，关于SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0满足条件，SKIPIF1<0.故选：A.5、（2023·江苏南京·校考一模）（多选题）已知函数SKIPIF1<0则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0是偶函数 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0是增函数 D．SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0【答案】BD【分析】利用反例可判断AC错误，结合函数的解析式可判断BD为正确，从而可得正确的选项.【详解】SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不是偶函数，故A错误.因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不是增函数，故C错误.SKIPIF1<0，故B正确.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，故D正确.故选：BD.6、（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选题）已知偶函数SKIPIF1<0与奇函数SKIPIF1<0的定义域均为R，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列关系式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．f（1）=3C．g（x）=-g（x+3） D．SKIPIF1<0【答案】AD【分析】根据函数的奇偶性及所给抽象函数的性质，利用SKIPIF1<0换为SKIPIF1<0可判断A，利用赋值可判断B，推理得出SKIPIF1<0后赋值可判断C，由条件推理可得SKIPIF1<0，即可判断D.【详解】由SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0换为SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，故A对；SKIPIF1<0，奇函数SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，故B错；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C错，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPI