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文档简介

2024-2025学年江苏省盐城市盐城中学高三毕业考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数.设,若对任意不相等的正数,,恒有,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.2.命题:存在实数,对任意实数,使得恒成立;:,为奇函数,则下列命题是真命题的是()A. B. C. D.3.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图,则该几何体的体积是()A. B. C. D.4.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的离心率为()A. B. C.3 D.45.已知α,β是两平面,l,m,n是三条不同的直线,则不正确命题是()A.若m⊥α,n//α,则m⊥n B.若m//α,n//α,则m//nC.若l⊥α,l//β,则α⊥β D.若α//β,lβ,且l//α,则l//β6.已知抛物线的焦点为,为抛物线上一点,,当周长最小时,所在直线的斜率为()A. B. C. D.7.已知函数则函数的图象的对称轴方程为()A. B.C. D.8.已知,则不等式的解集是()A. B. C. D.9.已知直线和平面,若,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.不充分不必要10.已知若在定义域上恒成立,则的取值范围是()A. B. C. D.11.胡夫金字塔是底面为正方形的锥体,四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现,该金字塔底面周长除以倍的塔高,恰好为祖冲之发现的密率.设胡夫金字塔的高为,假如对胡夫金字塔进行亮化,沿其侧棱和底边布设单条灯带,则需要灯带的总长度约为A. B.C. D.12.已知双曲线的左,右焦点分别为,O为坐标原点,P为双曲线在第一象限上的点,直线PO,分别交双曲线C的左,右支于另一点,且,则双曲线的离心率为()A. B.3 C.2 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设,则______.14.复数(其中i为虚数单位)的共轭复数为________.15.不等式对于定义域内的任意恒成立,则的取值范围为__________.16.设实数x,y满足,则点表示的区域面积为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,当不处罚时,有80人会闯红灯,处罚时,得到如表数据:处罚金额(单位:元)5101520会闯红灯的人数50402010若用表中数据所得频率代替概率.(1)当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少?(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类:类市民在罚金不超过10元时就会改正行为;类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷,则前两位均为类市民的概率是多少?18.(12分)设函数,.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)时,若,,求证:.19.(12分)已知与有两个不同的交点,其横坐标分别为().(1)求实数的取值范围;(2)求证:.20.(12分)设函数,是函数的导数.(1)若,证明在区间上没有零点;(2)在上恒成立,求的取值范围.21.(12分)设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为,求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点,证明:当时,.22.(10分)设的内角、、的对边长分别为、、.设为的面积,满足.(1)求;(2)若,求的最大值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】

求解的导函数,研究其单调性,对任意不相等的正数,构造新函数,讨论其单调性即可求解.【详解】的定义域为,,当时,,故在单调递减;不妨设,而,知在单调递减,从而对任意、,恒有,即,,,令,则,原不等式等价于在单调递减,即,从而,因为,所以实数a的取值范围是故选:D.此题考查含参函数研究单调性问题,根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题,属于一般性题目.2.A【解析】

分别判断命题和的真假性,然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.【详解】对于命题,由于,所以命题为真命题.对于命题,由于,由解得,且,所以是奇函数,故为真命题.所以为真命题.、、都是假命题.故选:A本小题主要考查诱导公式,考查函数的奇偶性,考查含有逻辑联结词命题真假性的判断,属于基础题.3.C【解析】

根据三视图作出几何体的直观图,结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示:由图可知,该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体,该几何体的体积为.故选:C.本题考查利用三视图计算几何体的体积,考查空间想象能力与计算能力,属于基础题.4.A【解析】

根据题意,由抛物线的方程可得其焦点坐标,由此可得双曲线的焦点坐标,由双曲线的几何性质可得,解可得,由离心率公式计算可得答案.【详解】根据题意,抛物线的焦点为,则双曲线的焦点也为,即,则有,解可得,双曲线的离心率.故选:A.本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程,关键是求出抛物线焦点的坐标,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.B【解析】

根据线面平行、线面垂直和空间角的知识,判断A选项的正确性.由线面平行有关知识判断B选项的正确性.根据面面垂直的判定定理,判断C选项的正确性.根据面面平行的性质判断D选项的正确性.【详解】A.若,则在中存在一条直线,使得,则,又,那么,故正确;B.若,则或相交或异面,故不正确;C.若,则存在,使,又,则,故正确.D.若,且,则或,又由,故正确.故选:B本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断,属于基础题.6.A【解析】

本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上,计算点P的坐标,计算斜率,即可.【详解】结合题意,绘制图像要计算三角形PAF周长最小值,即计算PA+PF最小值,结合抛物线性质可知,PF=PN,所以,故当点P运动到M点处,三角形周长最小,故此时M的坐标为,所以斜率为,故选A.本道题考查了抛物线的基本性质,难度中等.7.C【解析】

,将看成一个整体,结合的对称性即可得到答案.【详解】由已知,,令,得.故选:C.本题考查余弦型函数的对称性的问题,在处理余弦型函数的性质时,一般采用整体法,结合三角函数的性质,是一道容易题.8.A【解析】

构造函数,通过分析的单调性和对称性,求得不等式的解集.【详解】构造函数,是单调递增函数,且向左移动一个单位得到,的定义域为,且,所以为奇函数,图像关于原点对称,所以图像关于对称.不等式等价于,等价于,注意到,结合图像关于对称和单调递增可知.所以不等式的解集是.故选:A本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式,属于中档题.9.B【解析】

由线面关系可知,不能确定与平面的关系,若一定可得,即可求出答案.【详解】,不能确定还是,,当时,存在,,由又可得,所以“”是“”的必要不充分条件,故选:B本题主要考查了必要不充分条件,线面垂直,线线垂直的判定,属于中档题.10.C【解析】

先解不等式,可得出,求出函数的值域,由题意可知,不等式在定义域上恒成立,可得出关于的不等式,即可解得实数的取值范围.【详解】,先解不等式.①当时,由,得,解得,此时;②当时,由,得.所以,不等式的解集为.下面来求函数的值域.当时,,则,此时;当时,,此时.综上所述,函数的值域为,由于在定义域上恒成立,则不等式在定义域上恒成立,所以,,解得.因此,实数的取值范围是.故选:C.本题考查利用函数不等式恒成立求参数,同时也考查了分段函数基本性质的应用,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.11.D【解析】

设胡夫金字塔的底面边长为,由题可得,所以,该金字塔的侧棱长为,所以需要灯带的总长度约为,故选D.12.D【解析】

本道题结合双曲线的性质以及余弦定理,建立关于a与c的等式,计算离心率,即可.【详解】结合题意,绘图,结合双曲线性质可以得到PO=MO,而,结合四边形对角线平分,可得四边形为平行四边形,结合,故对三角形运用余弦定理,得到,而结合,可得,,代入上式子中,得到,结合离心率满足,即可得出,故选D.本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质,难度偏难.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.121【解析】

在所给的等式中令,,令,可得2个等式,再根据所得的2个等式即可解得所求.【详解】令,得,令,得,两式相加,得,所以.故答案为:.本题主要考查二项式定理的应用,考查学生分析问题的能力,属于基础题,难度较易.14.【解析】

利用复数的乘法运算求出,再利用共轭复数的概念即可求解.【详解】由,则.故答案为:本题考查了复数的四则运算以及共轭复数的概念,属于基础题.15.【解析】

根据题意,分离参数,转化为只对于内的任意恒成立,令,则只需在定义域内即可,利用放缩法,得出,化简后得出,即可得出的取值范围.【详解】解:已知对于定义域内的任意恒成立,即对于内的任意恒成立,令,则只需在定义域内即可,,,当时取等号,由可知,,当时取等号,,当有解时,令,则,在上单调递增,又,,使得,,则,所以的取值范围为.故答案为:.本题考查利用导数研究函数单调性和最值,解决恒成立问题求参数值,涉及分离参数法和放缩法,考查转化能力和计算能力.16.【解析】

先画出满足条件的平面区域,求出交点坐标,利用定积分即可求解.【详解】画出实数x,y满足表示的平面区域,如图(阴影部分):则阴影部分的面积,故答案为:本题考查了定积分求曲边梯形的面积,考查了微积分基本定理,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)降低(2)【解析】

(1)计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率,和不进行处罚时行人闯红灯的概率,求解即可;(2)闯红灯的市民有80人,其中类市民和类市民各有40人,根据分层抽样法抽出4人依次排序,计算所求的概率值.【详解】解:(1)当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率为;不进行处罚,行人闯红灯的概率为;所以当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低;(2)由题可知,闯红灯的市民有80人,类市民和类市民各有40人故分别从类市民和类市民各抽出两人,4人依次排序记类市民中抽取的两人对应的编号为,类市民中抽取的两人编号为则4人依次排序分别为,,,,,,,,,,,,共有种前两位均为类市民排序为,,有种,所以前两位均为类市民的概率是.本题主要考查了计算古典概型的概率,属于中档题.18.(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】

(1)首先对函数求导,再根据参数的取值,讨论的正负,即可求出关于的单调性即可;(2)首先通过构造新函数,讨论新函数的单调性,根据新函数的单调性证明.【详解】(1),令,则,令得,当时,则在单调递减,当时,则在单调递增,所以,当时,,即,则在上单调递增,当时,,易知当时,,当时,,由零点存在性定理知,,不妨设,使得,当时,,即,当时,,即,当时,,即,所以在和上单调递增,在单调递减;(2)证明:构造函数,,,,整理得,,(当时等号成立),所以在上单调递增,则,所以在上单调递增,,这里不妨设,欲证,即证由(1)知时,在上单调递增,则需证,由已知有,只需证,即证,由在上单调递增,且时,有,故成立,从而得证.本题主要考查了导数含参分类讨论单调性,借助构造函数和单调性证明不等式,属于难题.19.(1);(2)见解析【解析】

(1)利用导数研究的单调性,分析函数性质,数形结合,即得解;(2)构造函数,可证得:,,分析直线,与从左到右交点的横坐标,在,处的切线即得解.【详解】(1)设函数,,令,令故在单调递减,在单调递增,∴,∵时;;时.(2)①过点,的直线为,则令,,,.②过点,的直线为,则,在上单调递增.③设直线,与从左到右交点的横坐标依次为,,由图知.④在,处的切线分别为,,同理可以证得,.记直线与两切线和从左到右交点的横坐标依次为,.本题考查了函数与导数综合,考查了学生数形结合,综合分析,转化划归,逻辑推理,数学运算的能力,属于较难题.20.(1)证明见解析(2)【解析】

(1)先利用导数的四则运算法则和导数公式求出,再由函数的导数可知,函数在上单调递增,在上单调递减,而,,可知在区间上恒成立,即在区间上没有零点;(2)由题意可将转化为,构造函数,利用导数讨论研究其在上的单调性,由,即可求出的取值范围.【详解】(1)若,则,,设,则,,,故函数是奇函数.当时,,,这时,又函数是奇函数,所以当时,.综上,当时,函数单调递增;当时,函数单调递减.又,,故在区间上恒成立,所以在区间上没有零点.(2),由,所以恒成立,若,则,设,.故当时,,又,所以当时,,

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