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文档简介
2024-2025学年江苏省徐州市丰县中学高三下学期5月阶段性考试数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数满足,则的虚部为()A.5 B. C. D.-52.已知等差数列的公差为-2,前项和为,若,,为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为,则的最大值为()A.5 B.11 C.20 D.253.已知集合,则的值域为()A. B. C. D.4.已知双曲线:的焦点为,,且上点满足,,,则双曲线的离心率为A. B. C. D.55.设分别是双线的左、右焦点,为坐标原点,以为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于两点(位于轴右侧),且四边形为菱形,则该双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.6.在平面直角坐标系中,已知是圆上两个动点,且满足,设到直线的距离之和的最大值为,若数列的前项和恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.7.设为非零向量,则“”是“与共线”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知抛物线:,直线与分别相交于点,与的准线相交于点,若,则()A.3 B. C. D.9.做抛掷一枚骰子的试验,当出现1点或2点时,就说这次试验成功,假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为()A.13 B.110.若函数()的图象过点,则()A.函数的值域是 B.点是的一个对称中心C.函数的最小正周期是 D.直线是的一条对称轴11.双曲线﹣y2=1的渐近线方程是()A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.4x±y=0 D.x±4y=012.已知不同直线、与不同平面、,且,,则下列说法中正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.展开式的第5项的系数为_____.14.已知向量,,若满足,且方向相同,则__________.15.若,则的最小值为________.16.已知为等比数列,是它的前项和.若,且与的等差中项为,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρcos2θ=4asinθ (a>0),直线l的参数方程为x=-2+22t,y=-1+(I)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程(不要求具体过程);(II)设P(-2,-1),若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.18.(12分)已知椭圆的右焦点为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为,且与短轴两端点的连线相互垂直.(1)求椭圆的方程;(2)若圆上存在两点,,椭圆上存在两个点满足:三点共线,三点共线,且,求四边形面积的取值范围.19.(12分)已知函数,.(1)若不等式对恒成立,求的最小值;(2)证明:.(3)设方程的实根为.令若存在,,,使得,证明:.20.(12分)传染病的流行必须具备的三个基本环节是:传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在,方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径,为了有效防控新冠状病毒的流行,人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人,为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况,用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本,统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况,得到下面列联表:戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020(1)能否有的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关?(2)用样本估计总体,若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人,求恰好有2人是青年人的概率.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821.(12分)已知函数.(1)证明:函数在上存在唯一的零点;(2)若函数在区间上的最小值为1,求的值.22.(10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)把的参数方程化为极坐标方程:(2)求与交点的极坐标.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虚部为.故选C.本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.2.D【解析】
由公差d=-2可知数列单调递减,再由余弦定理结合通项可求得首项,即可求出前n项和,从而得到最值.【详解】等差数列的公差为-2,可知数列单调递减,则,,中最大,最小,又,,为三角形的三边长,且最大内角为,由余弦定理得,设首项为,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前项和.故的最大值为.故选:D本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查求前n项和的最值问题,同时还考查了余弦定理的应用.3.A【解析】
先求出集合,化简=,令,得由二次函数的性质即可得值域.【详解】由,得,,令,,,所以得,在上递增,在上递减,,所以,即的值域为故选A本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法,换元法要注意新变量的范围,属于中档题4.D【解析】
根据双曲线定义可以直接求出,利用勾股定理可以求出,最后求出离心率.【详解】依题意得,,,因此该双曲线的离心率.本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率,考查了运算能力.5.B【解析】
由于四边形为菱形,且,所以为等边三角形,从而可得渐近线的倾斜角,求出其斜率.【详解】如图,因为四边形为菱形,,所以为等边三角形,,两渐近线的斜率分别为和.故选:B此题考查的是求双曲线的渐近线方程,利用了数形结合的思想,属于基础题.6.B【解析】
由于到直线的距离和等于中点到此直线距离的二倍,所以只需求中点到此直线距离的最大值即可。再得到中点的轨迹是圆,再通过此圆的圆心到直线距离,半径和中点到此直线距离的最大值的关系可以求出。再通过裂项的方法求的前项和,即可通过不等式来求解的取值范围.【详解】由,得,.设线段的中点,则,在圆上,到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍,点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和,而圆的圆心到直线的距离为,,,..故选:本题考查了向量数量积,点到直线的距离,数列求和等知识,是一道不错的综合题.7.A【解析】
根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若,则与共线,且方向相同,充分性;当与共线,方向相反时,,故不必要.故选:.本题考查了向量共线,充分不必要条件,意在考查学生的推断能力.8.C【解析】
根据抛物线的定义以及三角形的中位线,斜率的定义表示即可求得答案.【详解】显然直线过抛物线的焦点如图,过A,M作准线的垂直,垂足分别为C,D,过M作AC的垂线,垂足为E根据抛物线的定义可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M为AN的中点,所以MD为三角形NAC的中位线,故MD=CE=EA=AC设MF=t,则MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故选:C本题考查求抛物线的焦点弦的斜率,常见于利用抛物线的定义构建关系,属于中档题.9.C【解析】
每一次成功的概率为p=26=【详解】每一次成功的概率为p=26=13故选:C.本题考查了二项分布求数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.10.A【解析】
根据函数的图像过点,求出,可得,再利用余弦函数的图像与性质,得出结论.【详解】由函数()的图象过点,可得,即,,,故,对于A,由,则,故A正确;对于B,当时,,故B错误;对于C,,故C错误;对于D,当时,,故D错误;故选:A本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质,需熟记性质与公式,属于基础题.11.A【解析】试题分析:渐近线方程是﹣y2=1,整理后就得到双曲线的渐近线.解:双曲线其渐近线方程是﹣y2=1整理得x±2y=1.故选A.点评:本题考查了双曲线的渐进方程,把双曲线的标准方程中的“1”转化成“1”即可求出渐进方程.属于基础题.12.C【解析】
根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.【详解】对于,若,则可能为平行或异面直线,错误;对于,若,则可能为平行、相交或异面直线,错误;对于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正确;对于,若,只有当垂直于的交线时才有,错误.故选:.本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析,关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.70【解析】
根据二项式定理的通项公式,可得结果.【详解】由题可知:第5项为故第5项的的系数为故答案为:70.本题考查的是二项式定理,属基础题。14.【解析】
由向量平行坐标表示计算.注意验证两向量方向是否相同.【详解】∵,∴,解得或,时,满足题意,时,,方向相反,不合题意,舍去.∴.故答案为:1.本题考查向量平行的坐标运算,解题时要注意验证方向相同这个条件,否则会出错.15.【解析】
由基本不等式,可得到,然后利用,可得到最小值,要注意等号取得的条件。【详解】由题意,,当且仅当时等号成立,所以,当且仅当时取等号,所以当时,取得最小值.利用基本不等式求最值必须具备三个条件:①各项都是正数;②和(或积)为定值;③等号取得的条件。16.【解析】
设等比数列的公比为,根据题意求出和的值,进而可求得和的值,利用等比数列求和公式可求得的值.【详解】由等比数列的性质可得,,由于与的等差中项为,则,则,,,,,因此,.故答案为:.本题考查等比数列求和,解答的关键就是等比数列的公比,考查计算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(I)x2=4aya>0,x-y+1=0【解析】
(I)利用所给的极坐标方程和参数方程,直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程;(II)联立直线的参数方程和C的直角坐标方程,结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案.【详解】(I)曲线C:ρcos2可得ρ2cos2直线l的参数方程为x=-2+22t,x-y=-1,得x-y+1=0;(II)将x=-2+22t,y=-1+2t韦达定理:t1由题意得MN2=PM可得(t即32(a+1)解得a=本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化,以及参数方程的综合知识,结合等比数列,熟练运用知识,属于较易题.18.(1);(2)【解析】
(1)又题意知,,及即可求得,从而得椭圆方程.(2)分三种情况:直线斜率不存在时,的斜率为0时,的斜率存在且不为0时,设出直线方程,联立方程组,用韦达定理和弦长公式以及四边形的面积公式计算即可.【详解】(1)由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知,,∵过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.又,解得.∴椭圆的方程为(2)由(1)可知圆的方程为,(i)当直线的斜率不存在时,直线的斜率为0,此时(ii)当直线的斜率为零时,.(iii)当直线的斜率存在且不等于零时,设直线的方程为,联立,得,设的横坐标分别为,则.所以,(注:的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.)由可得直线的方程为,联立椭圆的方程消去,得设的横坐标为,则..综上,由(i)(ii)(ⅲ)得的取值范围是.本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目,通常利用的关系,确定椭圆方程是基础;通过联立直线方程与椭圆方程建立方程组,应用一元二次方程根与系数,得到目标函数解析式,运用函数知识求解;本题是难题.19.(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】
(1)由题意可得,,令,利用导数得在上单调递减,进而可得结论;(2)不等式转化为,令,,利用导数得单调性即可得到答案;(3)由题意可得,进而可将不等式转化为,再利用单调性可得,记,,再利用导数研究单调性可得在上单调递增,即,即,即可得到结论.【详解】(1),即,化简可得.令,,因为,所以,.所以,在上单调递减,.所以的最小值为.(2)要证,即.两边同除以可得.设,则.在上,,所以在上单调递减.在上,,所以在上单调递增,所以.设,因为在上是减函数,所以.所以,即.(3)证明:方程在区间上的实根为,即,要证,由可知,即要证.当时,,,因而在上单调递增.当时,,,因而在上单调递减.因为,所以,要证.即要证.记,.因为,所以,则..设,,当时,.时,,故.且,故,因为,所以.因此,即在上单调递增.所以,即.故得证.本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题,考查导数的应用,转化思想,构造函数研究单调性,属于难题.20.(1)有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.(2)【解析】
(1)根据列联表和独立性检验的公式计算出观测值,从而由参考数据作出判断.(2)因为样本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年轻人有10人,用样本估计总体,则出行不戴口罩的年轻人的概率为,是老年人的概率为.根据独立重复事件的概率公式即可求得结果.【详解】(1)由题意可知,有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.(2)由样本估计总体,出行不戴口罩的年轻人的概率为,是老年人的概率为.人未戴口罩,恰
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