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文档简介
2024-2025学年湖南省醴陵二中、醴陵四中高三数学试题模拟试卷(三)试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.根据如图所示的程序框图,当输入的值为3时,输出的值等于()A.1 B. C. D.2.若执行如图所示的程序框图,则输出的值是()A. B. C. D.43.斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点,则的最大值为A.2 B. C. D.4.要排出高三某班一天中,语文、数学、英语各节,自习课节的功课表,其中上午节,下午节,若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻(注意:上午第五节和下午第一节不算相邻),则不同的排法种数是()A. B. C. D.5.已知平面平面,且是正方形,在正方形内部有一点,满足与平面所成的角相等,则点的轨迹长度为()A. B.16 C. D.6.已知复数满足:(为虚数单位),则()A. B. C. D.7.已知等比数列的前项和为,若,且公比为2,则与的关系正确的是()A. B.C. D.8.一个频率分布表(样本容量为)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在上的频率为,则估计样本在、内的数据个数共有()A. B. C. D.9.设函数(,为自然对数的底数),定义在上的函数满足,且当时,.若存在,且为函数的一个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.10.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是()A. B. C. D.11.函数的值域为()A. B. C. D.12.下列图形中,不是三棱柱展开图的是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为________.14.已知,则展开式中的系数为__15.已知,则_____.16.正项等比数列|满足,且成等差数列,则取得最小值时的值为_____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知直线的参数方程:(为参数)和圆的极坐标方程:(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)已知点,直线与圆相交于、两点,求的值.18.(12分)某商场为改进服务质量,随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查.调查后,就顾客“购物体验”的满意度统计如下:满意不满意男4040女8040(1)是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?(2)为答谢顾客,该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动.据统计,在此期间顾客购买该商品的支付情况如下:支付方式现金支付购物卡支付APP支付频率10%30%60%优惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顾客按4折支付,1/2的顾客按6折支付,1/6的顾客按8折支付将上述频率作为相应事件发生的概率,记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为,求的分布列和数学期望.附表及公式:.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)如图,三棱柱中,平面,,,分别为,的中点.(1)求证:平面;(2)若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.20.(12分)已知,.(1)解;(2)若,证明:.21.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于、两点,求的面积.22.(10分)已知,且满足,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
根据程序图,当x<0时结束对x的计算,可得y值.【详解】由题x=3,x=x-2=3-1,此时x>0继续运行,x=1-2=-1<0,程序运行结束,得,故选C.本题考查程序框图,是基础题.2.D【解析】
模拟程序运行,观察变量值的变化,得出的变化以4为周期出现,由此可得结论.【详解】;如此循环下去,当时,,此时不满足,循环结束,输出的值是4.故选:D.本题考查程序框图,考查循环结构.解题时模拟程序运行,观察变量值的变化,确定程序功能,可得结论.3.C【解析】
设出直线的方程,代入椭圆方程中消去y,根据判别式大于0求得t的范围,进而利用弦长公式求得|AB|的表达式,利用t的范围求得|AB|的最大值.【详解】解:设直线l的方程为y=x+t,代入y2=1,消去y得x2+2tx+t2﹣1=0,由题意得△=(2t)2﹣1(t2﹣1)>0,即t2<1.弦长|AB|=4.故选:C.本题主要考查了椭圆的应用,直线与椭圆的关系.常需要把直线与椭圆方程联立,利用韦达定理,判别式找到解决问题的突破口.4.C【解析】
根据题意,分两种情况进行讨论:①语文和数学都安排在上午;②语文和数学一个安排在上午,一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目,由分类加法计数原理可得答案.【详解】根据题意,分两种情况进行讨论:①语文和数学都安排在上午,要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻,将节语文课和节数学课分别捆绑,然后在剩余节课中选节到上午,由于节英语课不加以区分,此时,排法种数为种;②语文和数学都一个安排在上午,一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午,一个安排在下午,但节语文课不加以区分,节数学课不加以区分,节英语课也不加以区分,此时,排法种数为种.综上所述,共有种不同的排法.故选:C.本题考查排列、组合的应用,涉及分类计数原理的应用,属于中等题.5.C【解析】
根据与平面所成的角相等,判断出,建立平面直角坐标系,求得点的轨迹方程,由此求得点的轨迹长度.【详解】由于平面平面,且交线为,,所以平面,平面.所以和分别是直线与平面所成的角,所以,所以,即,所以.以为原点建立平面直角坐标系如下图所示,则,,设(点在第一象限内),由得,即,化简得,由于点在第一象限内,所以点的轨迹是以为圆心,半径为的圆在第一象限的部分.令代入原的方程,解得,故,由于,所以,所以点的轨迹长度为.故选:C本小题主要考查线面角的概念和运用,考查动点轨迹方程的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查数形结合的数学思想方法,属于难题.6.A【解析】
利用复数的乘法、除法运算求出,再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】由,则,所以.故选:A本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念,属于基础题.7.C【解析】
在等比数列中,由即可表示之间的关系.【详解】由题可知,等比数列中,且公比为2,故故选:C本题考查等比数列求和公式的应用,属于基础题.8.B【解析】
计算出样本在的数据个数,再减去样本在的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知,样本在的数据个数为,样本在的数据个数为,因此,样本在、内的数据个数为.故选:B.本题考查利用频数分布表计算频数,要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系,考查计算能力,属于基础题.9.D【解析】
先构造函数,由题意判断出函数的奇偶性,再对函数求导,判断其单调性,进而可求出结果.【详解】构造函数,因为,所以,所以为奇函数,当时,,所以在上单调递减,所以在R上单调递减.因为存在,所以,所以,化简得,所以,即令,因为为函数的一个零点,所以在时有一个零点因为当时,,所以函数在时单调递减,由选项知,,又因为,所以要使在时有一个零点,只需使,解得,所以a的取值范围为,故选D.本题主要考查函数与方程的综合问题,难度较大.10.D【解析】
根据三视图判断出几何体为正四棱锥,由此计算出几何体的表面积.【详解】根据三视图可知,该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为,所以侧面积为.所以该几何体的表面积是.故选:D本小题主要考查由三视图判断原图,考查锥体表面积的计算,属于基础题.11.A【解析】
由计算出的取值范围,利用正弦函数的基本性质可求得函数的值域.【详解】,,,因此,函数的值域为.故选:A.本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解,解答的关键就是求出对象角的取值范围,考查计算能力,属于基础题.12.C【解析】
根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知,ABD选项可以围成三棱柱,C选项不是三棱柱展开图.故选:C本小题主要考查三棱柱展开图的判断,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
根据三视图知该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体,结合图中数据求出它的体积.【详解】根据三视图知,该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体,如图所示:结合图中数据,计算它的体积为.故答案为:.本题考查了根据三视图求简单组合体的体积应用问题,是基础题.14.1.【解析】
由题意求定积分得到的值,再根据乘方的意义,排列组合数的计算公式,求出展开式中的系数.【详解】∵已知,则,
它表示4个因式的乘积.
故其中有2个因式取,一个因式取,剩下的一个因式取1,可得的项.
故展开式中的系数.
故答案为:1.本题主要考查求定积分,乘方的意义,排列组合数的计算公式,属于中档题.15.【解析】
对原方程两边求导,然后令求得表达式的值.【详解】对等式两边求导,得,令,则.本小题主要考查二项式展开式,考查利用导数转化已知条件,考查赋值法,属于中档题.16.2【解析】
先由题意列出关于的方程,求得的通项公式,再表示出即可求解.【详解】解:设公比为,且,时,上式有最小值,故答案为:2.本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算,中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1):,:;(2)【解析】
(1)消去参数求得直线的普通方程,将两边同乘以,化简求得圆的直角坐标方程.(2)求得直线的标准参数方程,代入圆的直角坐标方程,化简后写出韦达定理,根据直线参数的几何意义,求得的值.【详解】(1)消去参数,得直线的普通方程为,将两边同乘以得,,∴圆的直角坐标方程为;(2)经检验点在直线上,可转化为①,将①式代入圆的直角坐标方程为得,化简得,设是方程的两根,则,,∵,∴与同号,由的几何意义得.本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,考查利用直线参数的几何意义求解距离问题,属于中档题.18.(1)有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关;(2)67元,见解析.【解析】
(1)根据表格数据代入公式,结合临界值即得解;(2)的可能取值为40,60,80,1,根据题意依次计算概率,列出分布列,求数学期望即可.【详解】(1)由题得,所以,有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关.(2)由题意可知的可能取值为40,60,80,1.,,,.则的分布列为4060801所以,(元).本题考查了统计和概率综合,考查了列联表,随机变量的分布列和数学期望等知识点,考查了学生数据处理,综合分析,数学运算的能力,属于中档题.19.(1)详见解析;(2).【解析】
(1)连接,,则且为的中点,又∵为的中点,∴,又平面,平面,故平面.(2)由平面,得,.以为原点,分别以,,所在直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,,,,,.取平面的一个法向量为,由,得:,令,得同理可得平面的一个法向量为∵平面平面,∴解得,得,又,设直线与平面所成角为,则.所以,直线与平面所成角的正弦值是.20.(1);(2)见解析.【解析】
(1)在不等式两边平方化简转化为二次不等式,解此二次不等式即可得出结果;(2)利用绝对值三角不等式可证得成立.【详解】(1),,由得,不等式两边平方得,即,解得或.因此,不等式的解集为;(2),,由绝对值三角不等式可得.因此,.本题考查含绝对值不等式的求解,同时也考查了利用绝对值三角不等式证明不等式,考查推理能力与运算求解能力,属于中等题.21.(1),;(2).【解析】
(1)在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程,在曲线的极坐标方程两边同时乘以,结合可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)计算出
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