第08讲二次函数（知识精讲真题练模拟练自招练）

第08讲二次函数（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）

U【考纲要求】

1.二次函数的概念常为中档题.主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；

2.二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；

3.抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一

般较难，在解答题中出现.

©【知识导图】

二次函数的概念

实

二二次函数的图象

际

次一0)~=ar」+声0)

问

函

数

题|yNa(N~~/i)2+*(a/0).y=aT2+far+c(aWO)

1-日函数的对称轴、顶点坐标

用函数观点看

一元二次方程

最大面积是多少

【考点梳理】

考点一、二次函数的定义

一般地，如果（a、b、c是常数，a*0）,那么y叫做x的二次函数.

考点二、二次函数的图象及性质

<..,2\

歹=ax2+bx+c（aW0）的图象是一条抛物线，顶点为"一.

、2。4a,

2.当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下.

3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小.|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大.

②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置.c=0时，抛物线过原点；c>0时，抛物线与y轴交于正半

轴；c<0时，抛物线与y轴交于负半轴.

③ab的符号决定抛物线的对称轴的位置.当ab=O时，对称轴为y轴；当ab>0时，对称轴在y轴左

侧；当ab<0时、对称轴在y轴的右侧.

y^a(x+h)2+k的图象，可以由歹=狈2的图象移动而得至IJ.

将y向上移动k个单位得：y-ax2+k.

将y=ax?向左移动h个单位得：y-a(x+h)2.

将y=ax2先向上移动k(k>0)个单位，再向右移动h(h>0)个单位，即得函数歹=a(x—")2+左的图象.

5.几种特殊的二次函数的图象特征如下：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

y=ax2x=o(y轴)(0,0)

y=ax'+左x=0(y轴)(o,

当a>0时k)

y=a(x-h)2开口向上x=A仍，0)

当a<0时

y=a(x-A)2+£x=A(h,k)

开口向下

b4ac-b2

y-ar+bx+c

2a(2a4a)

考点三、二次函数的解析式

：y=ax2+bx+c(a^O).

若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为丁=。/+云+。，将己知条件代入，求出a、

b、c的值.

2.交点式(双根式)：^=tz(x-xl)(x-x2)(a0).

若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(X-0),(x2,0),设所求二次函数为

y^a(x-x.)(x-x2),将第三点(m,n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系

数，最后将解析式化为一般形式.

：y=a(x-h)2+k(a0).

若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为

y=a(x-h)2+k,将己知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式.

：y=a(x-x])(x-x2)+m(a0).

若已知二次函数图象上两对称点(XI,m),(x〃m),则可设所求二次函数为

y=a(x-x])(x-x2)+m(a^0),将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式.

考点四、二次函数:av+6+c(aW0)的图象的位置与系数a、b、c的关系

1.开口方向：a>0时，开口向上，否则开口向下.

2.对称轴：-2>0时•，对称轴在y轴的右侧；当-2<0时.，对称轴在y轴的左侧.

2a2a

3.与x轴交点：4ac>0时，有两个交点；〃一4ac=0时，有一个交点；/一4。。<0时，没有交

点.

考点五、二次函数的最值

1.如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），

2

anb,4ac-b

即当x=----时，y岳值=--------

2a最值4a

iWxWx”那么，首先要看一2是否在自变量的取值范围AWXWXZ内.

2a

①若在此范围内，贝h

“八一4ac-h2「”…b\

当a>0时,yM=—一此时,彳=一厂，

=ax

歹最大值]+。（此口寸，ax：-\-bxx+c>ax；+bx2+c）；

当aVO时，y最大值=4a；qb（此时,》=_4）,

V最小值=ax：+如+c（此时，ax：+如+c<ax1+bx2+c）.

②若不在此范围内，则：

当y随x的增大而增大时，y最大值=ax；+bx2+c（此时，x=x2）,

N最小值=ax：+bx]+c（此时,x=x）；

当y随x的增大而减小时，歹最大值=ax；+如+c（此时，》=%），

V最小值=ax2+云2+c（此时，x=x?）.

考点六、二次函数与一元二次方程的关系

函数>=4』+岳r+e（4wO）,当尸=0时，得到一元二次方程a?+Ax+c=o（awO）,那么一元

二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二

次方程根的情况.

（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时④纥>o,则方程有两个不相等实根；

（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时4=32_4纪=0,则方程有两个相等实根;

(3)当二次函数的图象与X轴没有交点，这时4=62-4戈<0,则方程没有实根.

-—【典型例题】

题型一、应用二次函数的定义求值

例1.已知抛物线y=(m-1)x2+mx+m2-4的图象过原点，且开口向上.

(1)求m=,并写出函数解析式；

(2)写出函数图象的顶点坐标及对称轴.

【思路点拨】

(1)直接根据抛物线的性质可知mT>0,m--4=0,解之即可得至l」m=2,即y=x?+2x；

(2)y=x2+2x=(x+1)--I直接可写出顶点坐标及对称轴.

【答案与解析】

(1)•.•抛物线丫=(m-1)x?+mx+mJ4的图象过原点，且开口向上，

且m2-4=0,

解得tn=±2,而m>l,

m=2,

y=X2+2X；

(2)Vy=x2+2x=(x+1)2-1,

・二顶点坐标为(T,T),对称轴为x=T.

【总结升华】

主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式和象限内点的坐标特点.

用待定系数法求函数解析式的一般步骤是：

(1)写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数：

(2)把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组.：

(3)解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式.

【变式】已知抛物线y=(机一l)/+3x+加2一1过原点，求团

【答案】

解：由题意得加2-1=0,，m=±l.

又：mTWO,:.mWl,取m=T.

题型二、二次函数的图象及性质的应用

例2.已知点M(-2,5),N(4,5)在抛物线y=ax2+6x+c,则抛物线的对称轴为.

【思路点拨】

M(-2,5),N(4,5)两点纵坐标相等，根据抛物线的对称性，对称轴为两点横坐标的平均数.

【答案】x=l；

【解析】因为M(-2,5),N(4,5)两点纵坐标相等，所以M,N两点关于抛物线的对称轴对称，

所以抛物线的对称轴为直线x=l.

【总结升华】抛物线上纵坐标相等的两点是关于抛物线的对称轴对称的两点.抛物线的对称性：当抛物线

上两点纵坐标相等时，对称轴为两点横坐标的平均数.

【变式1】如图，已知二次函数歹=一^/+云+。的图象经过A(2,0)、B(0,-6)两点.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连结BA、BC,求aABC的面积.

【答案】

(1)把A(2,0)、B(0,-6)代入歹=一；刀2+bx+c

导：1—2+26+c=0

c=-6

解得《b=4

c=-6

1,

，这个二次函数的解析式为歹=—二一+4x—6

4

(2)•.•该抛物线对称轴为直线x=--------=4

2x(—；)

，点C的坐标为(4,0)

，AC=OC-OA^4-2=2

,"SMBC=—xACxOB=—x2x6=6.

22

【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线尸-3尸3与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线

*V+ZIY+C经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).

(1)求抛物线的解析式及点B坐标;

(2)若点M是线段BC上一动点，过点\1的直线EF平行y轴交x轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最

大值；

(3)试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P,使以M、F、B、P为顶点的四边形是平行

四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.

【答案】

解：(1)当y=0时，-3x-3=0,x=T

AA(-1,0)

当x=0时,y=-3,

AC(0,-3),

.1-b+c=0.jb=-2

c=-3c=-3

抛物线的解析式是：y=x2-2x-3.

当y=0时，x-2x-3=0,

解得：X|=-l,X2=3

AB(3,0).

(2)由(1)知B(3,0),C(0,-3)直线BC的解析式是：y=x-3,

设M(x,x-3)(0WxW3),则E(x,x-2x-3)

39

ME=(x-3)-(x“-2x-3)=-x+3x=-(x--)+

24：

39

.•.当x=±时，ME的最大值为

24

(3)答：不存在.

9「31533

111(2)知ME取最大值时ME二一,E(—,---),M(-,--)

42422

33

AMF--,BF=0B-0F--.

22

设在抛物线x轴下方存在点P,使以P、MF、B为顶点的四边形是平行四边形,

则BP〃MF,BF〃PM.

33

AP(0,--)或P2(3,-一)

l222

33

当Pi(0,--)时,由(1)知y=x'2x-3=-3W—-

22

；.P,不在抛物线上.

3

当P,(3,--)时,由(1)知y=x"-2x-3=0#——

22

.••P不在抛物线上.

综上所述：抛物线x轴下方不存在点P,使以P、F、B为顶点的四边形是平行四边形.

题型三、求二次函数的解析式

例3.抛物线yual+bx+c的顶点为(2,3),且与x轴的两个交点之间的距离为6,求抛物线解析式.

【思路点拨】

已知了抛物线的对称轴方程和抛物线与x轴两交点间的距离，可求出抛物线与x轴两交点的坐标：然后用

待定系数法求出抛物线的解析式，

【答案与解析】

解：；抛物线的顶点为(2,3),

抛物线的对称轴为直线x=2.

又；抛物线与x轴的两个交点之间的距离为6,

根据抛物线的对称性知抛物线与x轴交点为(7,0),(5,0).

设抛物线为y=a(x—2)2+3,

,/过点(T,0),

a(-l-2)2+3=0.

1

••Cl——.

3

/.抛物线解析式为y=—；(x—2)2+3.

„„145

即尸——X2+—X+-.

333

【总结升华】求二次函数解析式选择恰当的方法很重要，可以节省时间.

【变式】请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数(aWO)的图象同时满足下列条

件：①开口向下；②当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增大而减小.这样的二次函

数的解析式可以是.

【答案】由①知a<0,由②知抛物线的对称轴为直线x=2,因此解析式满足-2=2,且a<0即可.

2a

答案：y=-/+4x-5(答案不唯一)

题型四、二次函数图象的位置与a、b、c的关系

例4.已知二次函数y=ar?+bx+c(aH0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b<a+c；③

4a+2b+c>0；④2c<3b；⑤a+b>m(am+b)(mWl的实数).其中正确的结论有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【思路点拨】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛

物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【答案】B；

【解析】由图象可知aVO,b>0,c>0,a-b+c<0,a+b+c>0,由对称性知，当x=2时函数值大于零，

：.4a+2b+c>0,由对称性知9a+3b+c<0,且----=1,

2a

9b

.*•-----F3b+c<0,2c<3b.

2

把b=-2a代入a+b>m(am+b)中可验证此项正确，故③④⑤正确.

【总结升华】数形结合是解此类题的关键.难度较大，要求有很强的逻辑推理能力.

【变式】如图所示的二次函数丁=62+bx+c的图象中，张凯同学观察得出了下面四条信息：

(1)b2-4ac>0；(2)c>l；(3)2a一伙0；(4)a+田c簿堡的有()

A.2个B.3个C.4个D.1个

【答案】D.(2)错了.

题型五、求二次函数的最值

例5.二次函数丁=/+10X一5的最小值为（）

A.-35B.-30C.-5D.20

Aac-b2

【思路点拨】直接套用求函数最值的公式即可，即yr小

4a

【答案】B；

【解析】

解析1：配方法化成顶点式来解，y=x2+10x-5=（x+5）2-30.

因此当x=-5,加小=一30.

解析2：用顶点坐标公式：-2=一_12_=—5,

2a2x1

4ac-b24xlx（-5）-102“

-------=--------------=-30.

4a4x1

【总结升华】求二次函数的最值有两种方法：一是用配方法化成顶点式，顶点纵坐标即为最值，二是用顶

点坐标公式处二匕］来求.

、2a4a?

题型六、二次函数综合题

例6.如左图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同.正常水位时，大孔

水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米（即＞10=6米），小孔顶点N距水面4.5米（即NC=4.5米）.当水

位上涨刚好淹没小孔时，借助右图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.

【思路点拨】先求出大孔所在抛物线解析式，再由EF所在高度求出相应宽度EF.

【答案与解析】

解：设抛物线解析式为歹=。犬+6.

依题意得，B(10,0)在图象上，

aX102+6=0,解得a=-0.06.

y=-0.06%2+6.

当y=4.5时，一0.06X?+6=4.5,

解得x=±5，

DF=5,EF=10,即水面宽度为10米.

【总结升华】解决二次函数在物体运动或抛物线建筑方面的应用题，先求抛物线解析式，然后再具体问题

具体分析(即要求横向宽度找纵向条件，要求纵向高度找横向条件)，充分体现了函数建模思想.

【变式1】如图所示，足球场上守门员在0处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运

动员乙在距0点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高，球落地后又一次弹

起。据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度

的一半.

(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式。

(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？(取46弋7)

(3)运动员乙要抢到第二个落地点D,他应再向前跑多少米？(取2、%-5)

【答案】

(1)如图所示，设第一次落地时，抛物线的表达式为y=a(x—6尸+4.由已知当x=0时，y=l.

即1=36。+4,a=--.

12

1.

*••表达式为y=---(x-6)4*+4.

⑵令y=0,--^（X-6）2+4=0.

二（x-6）2=48.

解得玉=46+6心13,/=-4有+6<0（舍去）.

，足球第一次落地距守门员约13米.

⑶如图所示，第二次足球弹出后的距离为CD,

根据题意得CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位）,

1,

2=——（X-6）2+4,

12

解得玉=6-2#，x2=6+2>/6.

CD=|X,-X2|=4A/6^10.

BD=13-6+10=17（米）.

答：他应再向前跑17米.

【变式2]已知关于x的一元二次方程（"?-2）x2-（«?=0.（其中勿为实数）,

（1）若此方程的一个非零实数根为4，

①当F/时，求卬的值；

②若记，"（左+!）-2左+5为y,求y与卬的关系式；

k

（2）当而<2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.

4

【答案】

解：（1）4为（加-2）/一（初一1）%+加=0的实数根,

/.（加一2）k2一（加一1）%+=0.X

①当k初时，

・・・k为非零实数根，

，mWO,方程※两边都除以m,得（〃[一2）加一（加—1）+1=0.

整理，得加2_3m+2=0.

解得zn,=1,m2=2.

;（w-2）x2-（77?-l）x+zw=0是关于x的一元二次方程，，mW2.

/.m=1.

②・・,k为原方程的非零实数根，

・、将方程※两边都除以k,得（相-2）A-（加-1）+”=0.

k

整理，得〃7%+!）-2k="7-1.

k

/.y=m（k+：）—24+5=加+4.

（2）解法*：A=[-（m-1）]2-4m（m-2）=-3m2+6w+1=-3W（/H-2）+1.

当,<勿<2时，m>0,w-2Vo.

4

>0,-3ni（m-2）+\>l>0,A>0.

/.当L</〃V2时，此方程有两个不相等的实数根.

4

解法二：直接分析,时，函数y=（〃?一2）--（加一1）1+机的图象,

4

V该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交，

・,・该抛物线必与x轴有两个不同交点.

・・・当叫V2时，此方程有两个不相等的实数根.

4

解法三：△=［一（加-I）］2-4〃2。72-2）=-3/7?2+6掰+1=-3（加一1）2+4.

结合△=-3（77?-1）2+4关于m的图象可知，（如图）

1，7

当上<z»Wl时，—<A^4；

416

当\<m<2时，1<AV4.

，当如V2时，A>0.

4

:.当时，此方程有两个不相等的实数根.

4

一.选择题（共3小题）

1.（2018•上海）下列对二次函数的图象的描述，正确的是（）

A.开口向下

B.对称轴是y轴

C.经过原点

D.在对称轴右侧部分是下降的

【分析】/、由。=1>0,可得出抛物线开口向上，选项4不正确；

B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线》=工，选项8不正确：

2

C、代入x=0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确：

D、由。=1>0及抛物线对称轴为直线》=工，利用二次函数的性质，可得出当时，y随x值的增大

22

而增大，选项。不正确.

综上即可得出结论.

【解答】解：A,Va=l>0,

，抛物线开口向上，选项N不正确；

B、；-_^_=A,

2a2

.••抛物线的对称轴为直线x=L,选项8不正确；

2

C>当x=0时，y=^-x=Q,

・・・抛物线经过原点，选项C正确；

D,-：a>0,抛物线的对称轴为直线》=工，

2

.•.当寸，y随x值的增大而增大，选项。不正确.

2

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误

是解题的关键.

2.（2016•上海）如果将抛物线y=/+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）

A.y—（x-1）2+2B.y—（x+1）2+2C.y—^+XD.y—^+i

【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【解答】解：•••抛物线y=f+2向下平移1个单位，

•••抛物线的解析式为y=f+2-1,即产/+1.

故选：C.

【点评】主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析

式求得平移后的函数解析式.

3.（2021•上海）将函数产=4『+公+。（aWO）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（）

A.开口方向不变B.对称轴不变

C.夕随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变

【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，。不变，抛物线的增减性不变.

【解答】解：A,将函数yuaf+bx+c（aWO）的图象向下平移两个单位，。不变，开口方向不变，故不符

合题意.

B、将函数^=°/+乐+。（a¥O）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题

，显、♦

C、将函数y=a/+bx+c（aWO）的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则y随

x的变化情况不变，故不符合题意.

D、将函数夕=公2+瓜+。"WO）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故符合题

Jit.

息.

故选：D.

【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，

开口方向不变，顶点坐标改变.

二.填空题（共2小题）

4.（2020•上海）如果将抛物线向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是y=，+3.

【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解.

【解答】解：抛物线y=/向上平移3个单位得到y=x2+3.

故答案为：y—x~+3.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故〃不变，所以求平移后

的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出

解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

5.（2017•上海）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0,-1）,那么这个二次函数的解析式

可以是”=a-1.（只需写一个）

【分析】根据顶点坐标知其解析式满足1,由开口向上知据此写出一个即可.

【解答】解：•.•抛物线的顶点坐标为（0,-1）,

该抛武线的解析式为-1,

又：二次函数的图象开口向上，

；.a>0,

,这个二次函数的解析式可以是y=2x2-1,

故答案为：y=2?-1.

【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键.

三.解答题（共7小题）

6.(2022•上海)在平面直角坐标系方分中，抛物线y=[2+6x+c过点/(-2,-1),8(0,-3).

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)平移抛物线，平移后的顶点为P("?,〃)(«7>0).

i.如果&。命=3,设直线X=A,在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求左的取值范

围；

ii.点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点0,且/8PQ=120°,求点尸的坐标.

【分析】(1)根据点48的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

(2)/.根据三角形面积求出平移后的抛物线的对称轴为直线x=2,开口向上，由二次函数的性质可得出

答案；

2

ii.P(w,^-m-3),证出8P=PQ,由等腰三角形的性质求出乙BPC=60°,由直角三角形的性质可求

出答案.

【解答】解：(1)将4(-2,-1),8(0,-3)代入夕=12+版+“得：

2

[-l=2-2b+c

1~3=c

解得：(b=0,

Ic=-3

二抛物线的解析式为-3.

2

(2)i.-：y=ljc2-3,

2

抛物线的顶点坐标为(0,-3),

即点8是原抛物线的顶点，

•••平移后的抛物线顶点为尸(加，〃),

•••抛物线平移了|，川个单位，

X3|w|=3,

2

Vw>0,

・•〃?=2,

即平移后的抛物线的对称轴为直线x=2,

・・•在”=左的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上，

・・・心2；

ii,把P(小，/7)代入'=>1^-3,

2

:.P(m,~2^-

由题意得，新抛物线的解析式为尸/(x-m)2+〃=/x2-mx+m2-3,

：.Q(0,m2-3),

,:B(0,-3),

222222l4,P2=222224,

：.BQ=m,Bp=m+(ym-3+3)=m--1-mQm+[(ym-3)-(m-3)]=m-^m

：.BP=PQ,

♦：PB=PQ,PC±BQ,

...BC=1_8Q=X«2,NBPC=L/BPQ=LX120°=60°,

2222

工in2

.,.tan/8PC=tan60°2_^=rr；

PC|m|v

，加=2我或加=-2日（舍），

2

/.«=—m-3=3,

2

二尸点的坐标为（2愿，3）.

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象

上点的坐标特征，平移的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握

待定系数法是解题的关键.

7.（2021•上海）已知抛物线了=亦2+。（“W0）经过点尸（3,0）、Q（1,4）.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点/在直线P0上，过点/作轴于点8,以N8为斜边在其左侧作等腰直角三角形/8C.

①当。与4重合时，求C到抛物线对称轴的距离；

②若C在抛物线上，求C的坐标.

【分析】(1)尸(3,0)、Q(1,4)代入y=a/+c即可得抛物线的解析式为y=-工好+且；

22

(2)①过C作于，，交y轴于G,4与0(1,4)重合时，/8=4,GH=\,由△/BC是等腰直

角三角形，得CH=AH=BH=LiB=2,C到抛物线对称轴的距离是CG=1；

2

②过C作C//J■月8于//,先求出直线尸0为y=-2"6,设/(w,-2〃?+6),则4?=-2加+6,yc=-

m+3,xc—-(-m+3-机)—2m-3,将C(2m-3,-m+3)代入y=-工？+9解得5=工或〃?=3(与

222

P重合，舍去)，即可求出C(-2,1).

2

【解答】解：(1)P(3,0)、Q(1,4)代入y=af+c得：

a=

(O=9a+c,解^2

I4=a+c9

C=7T

...抛物线的解析式为：y=-4+旦；

22

(2)①过C作于，，交y轴于G,如图：

当“与°(1,4)重合时，AB=4,GH=\,

：△NBC是等腰直角三角形，

.•.△ZCW和△8CH也是等腰直角三角形，

;.CH=AH=BH=LB=2,

2

:.CG=CH-GH=\,

而抛物线N=-12+2的对称轴是y轴(x=。),

22

••.C到抛物线对称轴的距离是CG=1：

②过C作于"，如图:

设直线P0解析式为少=h+6,将尸(3,0)、Q(1,4)代入得:

[0=3k叱解得付-2,

I4=k+b\b=6

直线PQ为y=-2x+6,

设4（〃z,-2加+6）,则48=|-2加+6],

：.CH=AH=BH=1AB=\-m+3],

2

当-m+330,yc=-加+3时，xc=-（~加+3-m）=2m-3,

将C（2〃?-3,-加+3）代入y=-工2+旦得：

22

-m+3=-▲（2〃？-3）2+—,

22

解得“=>1或"1=3（与尸重合，舍去），

'.m——,2m-3--2,-m+3——,

22

：.C（-2,5）

2

当-m+3V0,yc=-〃?+3时，xc=m-（〃？-3）=3,

C（3,-m+3）,由尸（3,0）可知加=3,

此时/、B、C重合，舍去,

：.C(-2,A)

2

【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及解析式、对称轴、等腰直角三角形、一次函数等知识，解题的

关键是用含字母的代数式表示C的坐标.

8.(2020•上海)在平面直角坐标系中，直线y=-L+5与x轴、y轴分别交于点/、B(如图).抛物

2

线歹=4f+以(oWO)经过点/.

(1)求线段48的长；

(2)如果抛物线夕=af+bx经过线段N8上的另一点C,且8C=遥，求这条抛物线的表达式；

(3)如果抛物线^=°/+队的顶点。位于△/OB内，求a的取值范围.

【分析】(1)先求出48坐标，即可得出结论；

(2)设点C(w,-XM+5),则8c=近_制|,进而求出点C(2,4),最后将点/,C代入抛物线解析式

22

中，即可得出结论；

(3)将点/坐标代入抛物线解析式中得出b=-10”，代入抛物线解析式中得出顶点。坐标为(5,-

25a),即可得出结论.

【解答】解：(1)针对于直线y=-1+5,

2

令x=0,y=5,

：.B(0,5),

令y=0,则-1+5=0,

2

Ax=10,

：.A(10,0),

：.AB=yJ52+102=5^5；

(2)设点设(m,--L/H+5),

2

•B(0,5),

・，•BC={.2+(-^-m+5_5)2=^^-|加I，

♦:BC=屏,

.・.2ZL|加尸返，

2

，团=±2,

•・♦点C在线段上，

••〃?=2,

：.C(2,4),

将点/(10,0),C(2,4)代入抛物线y="2+bx(。¥0)中，得［l00a+10b=0,

I4a+2b=4

，1

..，

b=t

.•.抛物线y=--kr2+-^r；

42

(3):•点/(10,0)在抛物线^=办2+云中，得100a+106=0,

:.b=-10a,

.•.抛物线的解析式为〉=分2-\Qax=a(x-5)2-25a,

.•.抛物线的顶点。坐标为(5,-25a),

将x=5代入y=-1+5中，得夕=-_Lx5+5=a,

222

•.•顶点。位于△/O8内，

/.0<-25a<$,

2

二-J^<a<0；

10

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求

法，求出点。的坐标是解本题的关键.

9.(2019•上海)在平面直角坐标系中(如图)，已知抛物线-2x,其顶点为Z.

(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点力的坐标，并说明它的变化情况；

(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”.

①试求抛物线y=/-2x的“不动点”的坐标；

②平移抛物线夕=X2-2X,使所得新抛物线的顶点8是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C,

且四边形。/8C是梯形，求新抛物线的表达式.

1

O1x

【分析】（1）Va=l>0,故该抛物线开口向上，顶点4的坐标为（1,-1）;

（2）①设抛物线“不动点”坐标为（f,则f=P-2l,即可求解；②新抛物线顶点8为“不动点”，

则设点8（m,加），则新抛物线的对称轴为：x=m,与x轴的交点C（机，0）,四边形O/8C是梯形，则

直线x=，W在y轴左侧，而点4（1,-1）,点8（机，m）,则加=-1,即可求解.

【解答】解：（1）Va=l>0,

故该抛物线开口向上，顶点N的坐标为（1,-1）,

当x>l,y随x的增大而增大，当x<l,y随x增大而减小；

（2）①设抛物线“不动点”坐标为（/,/）,则片理-27,

解得：f=0或3,

故"不动点"坐标为（0，0）或（3,3）；

②当OC〃/8时，

♦.•新抛物线顶点8为“不动点”，则设点3（〃?，m）,

，新抛物线的对称轴为：x=m,与x轴的交点C（加，0）,

:四边形O/8C是梯形，

.,.直线、=加在y轴左侧，

♦：BC与04不平行，

J.OC//AB,

又；点”（1,-1）,点8Cm,m）,

m--19

故新抛物线是由抛物线-2x向左平移2个单位得到的；

当08〃/C时，

同理可得：抛物线的表达式为：y=(x-2)2+2=X2-4x+6,

当四边形0/8C是梯形，字母顺序不对，故舍去，

综上，新抛物线的表达式为：y=(x+l)2-i.

【点评】本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常

按照题设顺序，逐次求解即可.

10.(2016•上海)如图，抛物线y=a/+bx-5(aWO)经过点4(4,-5),与x轴的负半轴交于点8,与

y轴交于点C,且。。=508,抛物线的顶点为点D

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)联结/8、BC、CD、DA,求四边形Z8C。的面积：

(3)如果点E在y轴的正半轴上，且NBE0=4BC,求点E的坐标.

【分析】(1)先得出C点坐标，再由0C=5B。，得出8点坐标，将N、8两点坐标代入解析式求出a,

b；

(2)分别算出△/8C和△4CD的面积，相加即得四边形/8C。的面积；

(3)由NBEOn/NBC可知，tan/8E0=tanN/8C,过C作边上的高C”,利用等面积法求出CH,

从而算出tan/MC,而80是已知的，从而利用tan/8EO=tan//8C可求出EO长度，也就求出了E点

坐标.

【解答】解：(1):•抛物线产=苏+反-5与y轴交于点C,

：.C(0,-5),

；.0C=5.

：OC=5O8,

：.0B=\,

又点8在x轴的负半轴上，

：.B(-1,0).

•.•抛物线经过点/(4,-5)和点B(-1,0),

.Ji6a+4b-5=-5,解得卜=1,

Ia~b_5=0lb=-4

.•.这条抛物线的表达式为y=x2-4x-5.

（2）由y=x2-4x-5,得顶点。的坐标为（2,-9）.

连接/C,

\,点4的坐标是（4,-5）,点C的坐标是（0,-5）,

又SAXBC=^X4X5=10,SAXCO=1X4X4=8,

22

:・S四边形ABCD=Sa4BE~S&4CD=18.

（3）过点。作CH_L/8,垂足为点

,/SJBC=/XABXCH=10,（-j/+（o+5）2=5近,

:.CH=2近,

在中，/BHC=90°,8c=V^,8//=五。2-CH2=3近，

.•.tan/C8〃=qi=2.

BH3

:在RTZXBOE中，NBOE=9Q°,tanZBEO=^-,

E0

"：NBEO=NABC,

二地上，得EO=3,

E032

.,.点E的坐标为（0,3）.

2

【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积求法、等积变

换、勾股定理、正切函数等知识点，难度适中.第（3）问，将角度相等转化为对应的正切函数值相等是

解答关键.

11.（2018•上海）在平面直角坐标系中（如图）.已知抛物线y=-」"2+6x+c经过点/（-1,0）和

点3（0,互），顶点为C,点。在其对称轴上且位于点C下方，将线段。C绕点。按顺时针方向旋转

2

90°,点C落在抛物线上的点尸处.

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求线段。的长；

（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点。的位置，这时点尸落在点E的位置，如果点例在y轴上，且

以。、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点用的坐标.

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式：

（2）利用配方法得到丁=-1（x-2）2+1,则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直

线x=2,如图，设CO=f,则。（2,旦一